1、第14章 命题演算中的归结,第三部分 知识的表示和推理,一种新的推理规则：归结,作为合式公式的子句,许多推理规则（包括假言推理）可以组合成一个规则，叫做归结(resolution)。这里使用的归结应用于代表合式公式的一个特殊的形式子句(clause) 。,一个文字或者是一个原子(在这种情况下，它叫做肯定文字(positive literal)，或者是一个原子的否定(在这种情况下，它叫做否定文字(negative literal)。,一种新的推理规则：归结,作为合式公式的子句,一个子句是一个文字的集合。这个集合是对这个集合中的所有文字的析取式的一个缩写。 因此，一个子句是一种特殊的合式公式。通常
2、把子句写为析取式，但是当它们用集合概念来表达时，有些包含归结的定义就会比较简单。 例如，子句P， Q，R(相当于PQR)是一个合式公式。空子句 (有时候写为Nil)相当于F(它的值是假)。,一种新的推理规则：归结,子句上的归结,命题演算的归结规则可以陈述如下：从1和2 (其中1和2是文字的集合，而是一个原子)，我们可以推出12，它被称为两个子句的归结式(resolvent)。原子是被归结的原子(atom resolved upon)，这个过程叫做归结。,例子： 归结RP和PQ产生RQ。这两个被归结的子句可以写成隐含式RP和P Q。一条应用于这些隐含的、叫做链式( chaining)的推理规则产
3、生R Q，它等价于归结式R Q。因此我们知道链是归结的一个特例。,一种新的推理规则：归结,子句上的归结, 归结R和RP产生P。既然第二个子句与R P等价，我们知道假言推理也是归结的一个特例。 在P上归结PQW和PQRS产生QRSW。注意只有一个Q的个例出现在归结式中这个毕竟被定义为一个集合。 在Q上归结 PWQR 和 PQR 产生PRRW。在R上归结它们产生 PQQW。在这种情况下，既然RR 和 QQ 有真值，那么这些归结式中的每一个的值也是真的。在这个例子中，我们必须在Q上或者在R上归结，但不能两者同时!也就是说， PW不是这两个子句的归结式!,一种新的推理规则：归结,用来归结一个肯定文字产
4、生空子句。因为和是互补的，从和可以推出F。任何同时包含和的合式公式的集合都是不可满足的。 另一方面，一个包含一个原子和它的否定的子句(如)，不管的真假值，总是为真值。,子句上的归结,一种新的推理规则：归结,归结的合理性,刚才描述的归结规则是一种合理的推理规则。 就是说，假如子句1和2都有真值，那么它们的归结式12也有真值。验证这一事实的一种方法是“用实例来推论”。 我们知道原子或者为真值或者为假值。假如(情形1) 为真值，那么就有假值，故要使2为真，子句2必须为真值。假如(情形2) 为假值，那么要使子句1为真，子句1必须有真值。结合这两种情形，可以看到或者1或者2必须有真值；因此12就有真值。
5、一种相似的论证可以用真值表来进行。,转换任意的合式公式为子句的合取式,命题演算中的任何合式公式都可以被转换为一个等价的子句的合取式。 一个表示为子句的合取式的合式公式叫做合取范式。 一个表示为文字合取式的析取式的合式公式叫做析取范式。,转换任意的合式公式为子句的合取式,用一个例子来说明转换一个任意的合式公式为合取范式的过程的每一步，用来说明这个过程的合式公式是： 1)用符号，用等价的形式来消除蕴含符号： 2)用德摩根定律和用消除双符号的方法来缩小符号的辖域： 3)首先，用结合律和分配律把它转换为CNF。 然后,一个子句的合取式(即一个合式公式的CNF形式)常常(用蕴含子句的合取式)表示为一个子
6、句的集合；因而是,在第3步中把合式公式(或合式公式的部分)从DNF形式转换到CNF形式 。,转换任意的合式公式为子句的合取式,归结是一种合理的推理规则，也就是说，res 蕴含 ，其中是一个子句。但是归结并不完备。例如，PR PR，但是不能在子句的集合 P , R上用归结推出PR(因为这里没有什么可以被归结的)。所以不能直接用归结来决定所有的逻辑涵蕴。 为验证这个过程， PR的否定是PR，表示为子句的(合取的)集合，我们所要验证的否定是P，R。为说明这些子句与PR的不一致性，将P和R加到这个集合中，从而得到P，R， P， R。在后面这个集合的成员上归结产生出空子句，这是一个矛盾式，所以我们间接地
7、从PR中得到PR。,归结反驳,归结反驳,一般说来，为从一个合式公式的集合中证得一个任意的合式公式，一个归结反驳(resolution refutation)有以下过程： 1)把中的合式公式转换成子句形式一个(合取的)子句集合。 2)把待验证的合式公式的否定转换成子句形式。 3)把从第1步和第2步得到的子句转换成一个单一的集合 4)反复地对中的子句应用归结，并且把结果加到中，直到再也没有更多的归结项可被加上去，或者产生一个空子句。,归结反驳,不需验证，列出以下的结论： 归结反驳的完备性：假如，那么归结反驳过程将导出空子句。因而，我们说命题归结是反驳完备的(refutation complete)
8、。 由归结反驳作命题演算的可决定性：假如是一个子句的有限集合，并且，假如 ，那么归结反驳过程会在未导出空子句的情况下终止。,归结反驳,在上一章的举积木例子中所用的推理可以用归结反驳来推导。我们有合式公式的集合： 1) BAT_OK 2) MOVES 3) BAT_OKLIFTABLE MOVES 第3个合式公式的子句形式是： 4) BAT_OK LIFTABLEMOVES 待证的合式公式的否定产生另一个子句： 5) LIFTABLE 现在我们用归结来导出下列子句： 6) BAT_OKMOVES (用4归结5得出) 7) BAT_OK (用2归结6得出) 8) Nil (用1归结6得出),归结反
9、驳,也可以表述这个反驳为一个反驳树(refutation tree)，如图所示。,归结反驳搜索策略,排序策略,定义：把原始的子句(包括那些待证合式公式的否定的子句形式)叫做0层归结项(0-th level resolvent)。(i+1)层的归结项是一个i层归结项和一个j层(ji)归结项归结的统一归结项。,可以使用前面介绍的各种排序策略。例如，广度优先和深度优先策略。,排序归结的一个通用策略是单元优先(unit-preference)策略。使用这个策略，我们优先用这样的一种归结，在这种归结中至少有一个子句由一个单一的文字构成。这样的一个子句叫做单元子句(unit clause)。,归结反驳搜索
10、策略,精确策略,精确策略不涉及被归结子句的排序，它们只允许某些归结发生。其中某些限制(而不是全部!) 使归结反驳完备。 1. 支持集 子句2是另一个子句1的后裔(descendant)，当且仅当：(a) 2是1和另一些子句的一个归结项；或者(b) 2是1的后裔与另一些子句的一个归结项。假如2是1的一个后裔，那么1是2的一个祖先。支持集(set of support)定义为由一些子句组成，这些子句或者来源于待证定理的否定，或者是这些子句的后裔。 支持集策略只允许这样一些归结：在其中正在被归结的子句中的一个在支持集中。 支持集策略是反驳完备的。也就是说，假如我们只对一个不可满足的子句集合运用支持集
11、归结，那么最终会导出空子句。,归结反驳搜索策略,2. 线性输入 线性输入(linear-input)策略只允许这样的归结：其中至少有一个正被归结的子句是原始子句集的一个成员(包括那些待证合式公式的否定)。下图中的归结反驳也服从一个支持线性输入策略。,精确策略,线性输入策略不是反驳完备的，这从下列不一致的子句的集合就可以看出： PQ，PQ，PQ，PQ 这些子句没有模型，所以对它们来说不存在一个归结反驳。,3. 祖先过滤 祖先过滤(ancestry-filtering)策略仅允许这样一些归结：在其中至少有一个正被归结的子句的一个或者是原始子句集的一个，或者是正被归结的别的子句的一个祖先。祖先过滤策
12、略是反驳完备的。,精确策略,归结反驳搜索策略,Horn子句,Horn子句是一种特殊类型的子句，它在人工智能和计算机科学的其他领域中都很重要。一个Horn子句就是至多只有一个肯定文字的子句。下面是一些Horn子句的例子： P, PQ, PQR, PR,Horn子句,有三种类型的Horn子句。 一个单一原子常被称为一个“事实”。 一个蕴含常被称为一个“规则”它的前件由一个肯定文字的合取组成，而它的后件由一个肯定的文字组成。 一个否定文字的集合写成带有一个由肯定文字的合取组成的前件和一个空后件的蕴含形式。例如，当人们否定一个由肯定文字的合取组成的待证的合式公式时，这种形式即可获得。所以这类子句常称为一个“目标”。 这三类Horn子句的例子分别是： P， PQ R， PQ 。,Horn子句,一个有关命题的Horn子句的重要结果是，存在着线性时间的演绎算法。直观地说，用非Horn子句作NP难题推理的原因是，在试图验证一个肯定文字的析取式如PQ时，我们必须考虑多种情况验证P或者Q。在Horn子句中，没有肯定文字的析取式。 为验证源于Horn子句的规则和事实的目标证明系统，通常以下面的方式提供排序信息给系统：用一定的序列写出事实和规则；用一定的序列写出在每个规则和目标的前件中的文字；然后在基于这些序列的深度优先的样式中搜索一个验证。,
