1、空间向量之应用 3 利用空间向量求距离 课本 如果表示 向量 a 的有向线段所在直线垂直于平面 ，则称这个 向量垂直于平面 ，记作 a . 如果 a ，那么向量 a 叫做 平面 的法向量 . l a 课本 已知向量 A B a 和轴 l ， e 是 l 上与 l同方向的单位向量 . 作点 A 在 l 上的射影A 1 ， 作点 B 在 l 上的 射影 B 1 ，则 A 1 B 1 叫做 向量 AB 在轴上或在 e 方向上的正射影 ，简称 射影 . b l A B B1 A1 n 11A B nABn已知向量 A B a 和轴 l ， e 是 l 上与 l同方向的单位向量 . 作点 A 在 l 上
2、的射影A 1 ， 作点 B 在 l 上的 射影 B 1 ，则 A 1 B 1 叫做 向量 AB 在轴上或在 e 方向上的正射影 ，简称 射影 . n P A O M N P A ndn方法指导 ：若点 P为平面 外一点，点 A为平面 内任一点，平面的法向量为 n，则点 P到平面 的距离公式为 一、求点到平面的距离 这个结论说明 , 平面外一点到平面的距离等于连结此点与平面上的任一点 ( 常选择一个特殊点 ) 的向量在平面的法向量上的射影的绝对值 . 如图 A , 空间一点 P 到平面 的距离为 d , 已知平面 的一个法向量为 n , 且 AP 与 n 不共线 , 能否用 AP 与 n 表示
3、d ? 如何用向量法求点到平面的距离 ： 分 析 : 过 P 作 P O 于 O, 连结 O A . 则 d =| PO |= | | c o s .P A AP O PO , ,n PO n . c o s A P O = | c o s ,P A n |. d =| PA | co s ,P A n |= | | | | | c os , |P A n P A nn = |P A nn . nAPO例 1、已知正方形 ABCD的边长为 4，CG 平面 ABCD， CG=2,E、 F分别是 AB、AD的中点，求点 B到平面 GEF的距离。 D A B C G F E x y z D A B
4、C G F E x y z 解：如图，建立空间直角坐标系 C xy z 由题设 C ( 0 , 0, 0 ) ， A ( 4, 4 , 0) ， B ( 0, 4 , 0) ， D ( 4, 0, 0 ) ， E ( 2 , 4, 0 ) ， F ( 4, 2, 0 ) ， G( 0 , 0, 2) ( 2 , 2 , 0 ) , ( 2 , 4 , 2 ) ,EF EG 设平面 E F G 的一个法向量 为 ( , , )n x y z : 如图，已知正方形 A B C D 的边长为 4 ， E 、 F 分别是AB 、 AD 的中点， GC 平面 A B C D ，且 GC 2 ，求点B 到
5、平面 E F G 的距离 . n E F n E G，| B E | 2 1 1 .11ndn 2 2 02 4 2 0xyxy 11( , , 1 ) ,33nB ( 2, 0, 0 )E 答 : 点 B 到平面 EFG 的距离 为 2 1 111 . 例 1 练习 1: 的距离。到平面求，平面SCDAaADaBCABSAABCDABABCDSA,290S B C D A x y z 练习 ( 用向量法求距离 ) : 如图 , ABCD 是矩形 , PD 平面 ABCD , P D D C a , 2A D a , 、MN 分别是 、A D PB 的中点 , 求点 A 到平面 M N C 的距离 . A P D C B M N 练习 2:
