1、广度优先遍历(Breadth-FirstTraversal)1、广度优先遍历的递归定义设图 G 的初态是所有顶点均未访问过。在 G 中任选一顶点 v 为源点，则广度优先遍历可以定义为：首先访问出发点 v，接着依次访问 v 的所有邻接点 w1，w2 ，wt，然后再依次访问与 wl，w2，wt 邻接的所有未曾访问过的顶点。依此类推，直至图中所有和源点 v有路径相通的顶点都已访问到为止。此时从 v 开始的搜索过程结束。若 G 是连通图，则遍历完成；否则，在图 c 中另选一个尚未访问的顶点作为新源点继续上述的搜索过程，直至 G 中所有顶点均已被访问为止。广度优先遍历类似于树的按层次遍历。采用的搜索方法
2、的特点是尽可能先对横向进行搜索，故称其为广度优先搜索(Breadth-FirstSearch)。相应的遍历也就自然地称为广度优先遍历。2、广度优先搜索过程在广度优先搜索过程中，设 x 和 y 是两个相继要被访问的未访问过的顶点。它们的邻接点分别记为 x1，x2，xs 和 y1，y2，yt 。为确保先访问的顶点其邻接点亦先被访问，在搜索过程中使用 FIFO 队列来保存已访问过的顶点。当访问 x 和 y 时，这两个顶点相继入队。此后，当 x 和 y 相继出队时，我们分别从x 和 y 出发搜索其邻接点 x1，x2，xs 和 y1，y2，yt，对其中未访者进行访问并将其人队。这种方法是将每个已访问的顶
3、点人队，故保证了每个顶点至多只有一次人队。3、广度优先搜索算法（3） 广度优先遍历算法类似于 DFSTraverse。 【参见 DFSTraverse 算法】4、图的广度优先遍历序列广度优先遍历图所得的顶点序列，定义为图的广度优先遍历序列，简称 BFS 序列。（1）一个图的 BFS 序列不是惟一的（2）给定了源点及图的存储结构时，算法 BFS 和 BFSM 所给出 BFS 序列就是惟一的。【例】下图中 G7 以邻接矩阵为存储结构，以 v0 为出发点的 BFS 搜索过程【参见动画演示】和 BFS 序列为 V0，V1，V3，V4 ，V2 ，V6，V5，V7【例】上图中 G7 以邻接表为存储结构，以
4、 v0 为出发点的 BFS 搜索过程和 BFS 序列【参见动画演示】5、算法分析对于具有 n 个顶点和 e 条边的无向图或有向图，每个顶点均入队一次。广度优先遍历(BFSTraverse)图的时间复杂度和 DFSTraverse 算法相同。当图是连通图时，BFSTraverse 算法只需调用一次 BFS 或 BFSM 即可完成遍历操作，此时 BFS 和 BFSM 的时间复杂度分别为 O(n+e)和 0(n2)。、图的遍历和树的遍历类似，图的遍历也是从某个顶点出发，沿着某条搜索路径对图中每个顶点各做一次且仅做一次访问。它是许多图的算法的基础。深度优先遍历和广度优先遍历是最为重要的两种遍历图的方法
5、。它们对无向图和有向图均适用。注意：以下假定遍历过程中访问顶点的操作是简单地输出顶点。2、布尔向量 visited0 n-1的设置图中任一顶点都可能和其它顶点相邻接。在访问了某顶点之后，又可能顺着某条回路又回到了该顶点。为了避免重复访问同一个顶点，必须记住每个已访问的顶点。为此，可设一布尔向量 visited0 n-1 ，其初值为假，一旦访问了顶点 Vi 之后，便将 visitedi置为真。深度优先遍历(Depth-First Traversal)1图的深度优先遍历的递归定义假设给定图 G 的初态是所有顶点均未曾访问过。在 G 中任选一顶点 v 为初始出发点(源点)，则深度优先遍历可定义如下：
6、首先访问出发点 v，并将其标记为已访问过；然后依次从 v出发搜索 v 的每个邻接点 w。若 w 未曾访问过，则以 w 为新的出发点继续进行深度优先遍历，直至图中所有和源点 v 有路径相通的顶点(亦称为从源点可达的顶点) 均已被访问为止。若此时图中仍有未访问的顶点，则另选一个尚未访问的顶点作为新的源点重复上述过程，直至图中所有顶点均已被访问为止。图的深度优先遍历类似于树的前序遍历。采用的搜索方法的特点是尽可能先对纵深方向进行搜索。这种搜索方法称为深度优先搜索(Depth-First Search)。相应地，用此方法遍历图就很自然地称之为图的深度优先遍历。2、深度优先搜索的过程设 x 是当前被访问
7、顶点，在对 x 做过访问标记后，选择一条从 x 出发的未检测过的边(x，y)。若发现顶点 y 已访问过，则重新选择另一条从 x 出发的未检测过的边，否则沿边(x，y)到达未曾访问过的 y，对 y 访问并将其标记为已访问过；然后从 y 开始搜索，直到搜索完从 y 出发的所有路径，即访问完所有从 y 出发可达的顶点之后，才回溯到顶点 x，并且再选择一条从x 出发的未检测过的边。上述过程直至从 x 出发的所有边都已检测过为止。此时，若 x 不是源点，则回溯到在 x 之前被访问过的顶点；否则图中所有和源点有路径相通的顶点(即从源点可达的所有顶点)都已被访问过，若图 G 是连通图，则遍历过程结束，否则继
8、续选择一个尚未被访问的顶点作为新源点，进行新的搜索过程。注意：遍历操作不会修改图 G 的内容，故上述算法中可将 G 定义为 ALGraph 或 MGraph 类型的参数，而不一定要定义为 ALGraph 和 MGraph 的指针类型。但基于效率上的考虑，选择指针类型的参数为宜。4、深度优先遍历序列 对图进行深度优先遍历时，按访问顶点的先后次序得到的顶点序列称为该图的深度优先遍历序列，或简称为 DFS 序列。（1）一个图的 DFS 序列不一定惟一当从某顶点 x 出发搜索时，若 x 的邻接点有多个尚未访问过，则我们可任选一个访问之。（2）源点和存储结构的内容均已确定的图的 DFS 序列惟一 邻接矩
9、阵表示的图确定源点后，DFS 序列惟一DFSM 算法中，当从 vi 出发搜索时，是在邻接矩阵的第 i 行上从左至右选择下一个未曾访问过的邻接点作为新的出发点，若这样的邻接点多于一个，则选中的总是序号较小的那一个。【例】对连通图 G7 用邻接矩阵表示时，以 v0 为初始出发点的 DFS 遍历过程如下图(a)所示，具体算法的执行过程【参见动画演示】 。DFS 序列是 v0，v1，v2，v5，v4，v6，v3，v7只有给出了邻接表的内容及初始出发点，才能惟一确定其 DFS 序列邻接表作为给定图的存储结构时，其表示不惟一。因为邻接表上边表里的邻接点域的内容与建表时的输入次序相关。因此，只有给出了邻接表
10、的内容及初始出发点，才能惟一确定其 DFS 序列。【例】连通图 G7 用邻接表表示时，以 v0 为初始出发点的 DFS 算法的执行过程和 DFS 序列【参见动画演示】（3）栈在深度优先遍历算法中的作用深度优先遍历过程中，后访问的顶点其邻接点被先访问，故在递归调用过程中使用栈（系统运行时刻栈）来保存已访问的顶点。5、算法分析对于具有 n 个顶点和 e 条边的无向图或有向图，遍历算法 DFSTraverse 对图中每顶点至多调用一次 DFS 或 DFSM。从 DFSTraverse 中调用 DFS(或 DFSM)及 DFS(或 DFSM)内部递归调用自己的总次数为 n。当访问某顶点 vi 时，DF
11、S(或 DFSM)的时间主要耗费在从该顶点出发搜索它的所有邻接点上。用邻接矩阵表示图时，其搜索时间为 O(n)；用邻接表表示图时，需搜索第 i 个边表上的所有结点。因此，对所有 n 个顶点访问，在邻接矩阵上共需检查 n2 个矩阵元素，在邻接表上需将边表中所有 O(e)个结点检查一遍。所以，DFSTraverse 的时间复杂度为 O(n2) （调用 DFSM）或 0(n+e)（调用 DFS） 。1、 最小生成树对于连通的带权图(连通网 )G，其生成树也是带权的。生成树 T 各边的权值总和称为该树的权，记作：这里:TE 表示 T 的边集w(u ，v)表示边(u，v)的权。权最小的生成树称为 G 的
12、最小生成树(Minimum SpannirngTree)。最小生成树可简记为 MST。2、生成树和最小生成树的应用生成树和最小生成树有许多重要的应用。2 源最短路径问题(Single-Source Shortest-PathsProblem) 单源最短路径问题：已知有向带权图(简称有向网)G=(V ，E) ，找出从某个源点 sV 到 V 中其余各顶点的最短路径。按平均时间将排序分为四类：（1）平方阶(O(n2)排序一般称为简单排序，例如直接插入、直接选择和冒泡排序；（2）线性对数阶(O(nlgn)排序如快速、堆和归并排序；（3）O(n1+)阶排序是介于 0 和 1 之间的常数，即 01，如希尔
13、排序；（4）线性阶(O(n)排序如桶、箱和基数排序。各种排序方法比较简单排序中直接插入最好，快速排序最快，当文件为正序时，直接插入和冒泡均最佳。影响排序效果的因素因为不同的排序方法适应不同的应用环境和要求，所以选择合适的排序方法应综合考虑下列因素：待排序的记录数目 n；记录的大小(规模)；关键字的结构及其初始状态；对稳定性的要求；语言工具的条件；存储结构；时间和辅助空间复杂度等。不同条件下，排序方法的选择(1)若 n 较小(如 n50)，可采用直接插入或直接选择排序。当记录规模较小时，直接插入排序较好；否则因为直接选择移动的记录数少于直接插人，应选直接选择排序为宜。(2)若文件初始状态基本有序
14、( 指正序)，则应选用直接插人、冒泡或随机的快速排序为宜；(3)若 n 较大，则应采用时间复杂度为 O(nlgn)的排序方法：快速排序、堆排序或归并排序。快速排序是目前基于比较的内部排序中被认为是最好的方法，当待排序的关键字是随机分布时，快速排序的平均时间最短；堆排序所需的辅助空间少于快速排序，并且不会出现快速排序可能出现的最坏情况。这两种排序都是不稳定的。若要求排序稳定，则可选用归并排序。但本章介绍的从单个记录起进行两两归并的 排序算法并不值得提倡，通常可以将它和直接插入排序结合在一起使用。先利用直接插入排序求得较长的有序子文件，然后再两两归并之。因为直接插入排序是稳定的，所以改进后的归并排
15、序仍是稳定的。(4)在基于比较的排序方法中，每次比较两个关键字的大小之后，仅仅出现两种可能的转移，因此可以用一棵二叉树来描述比较判定过程。当文件的 n 个关键字随机分布时，任何借助于“比较“ 的排序算法，至少需要 O(nlgn)的时间。箱排序和基数排序只需一步就会引起 m 种可能的转移，即把一个记录装入 m 个箱子之一，因此在一般情况下，箱排序和基数排序可能在 O(n)时间内完成对 n 个记录的排序。但是，箱排序和基数排序只适用于像字符串和整数这类有明显结构特征的关键字，而当关键字的取值范围属于某个无穷集合( 例如实数型关键字) 时，无法使用箱排序和基数排序，这时只有借助于“ 比较“的方法来排序。若 n 很大，记录的关键字位数较少且可以分解时，采用基数排序较好。虽然桶排序对关键字的结构无要求，但它也只有在关键字是随机分布时才能使平均时间达到线性阶，否则为平方阶。同时要注意，箱、桶、基数这三种分配排序均假定了关键字若为数字时，则其值均是非负的，否则将其映射到箱(桶) 号时，又要增加相应的时间。
