1、变力做功的求解方法物理与电子信息工程学院 物理学摘要 功是物理学中最常见的物理量，变力做功的求解方法也是贯穿大学物理的重点和难点之一，它在力学、理论力学中都占有十分重要的地位。本文分别用图像法、动能定理、功能原理、微元法、平均力法、等值法等不同方法对物理学中变力做功的求解方法进行了较全面、系统的研究,并附以实例说明这些方法的应用。通过对这些方法和实例的讨论，以使我能对变力做功的求解方法有更深刻的理解和巩固，进一步提高我灵活运用这些方法解决实际问题的能力。 关键词 变力 功 图像法 等效代换法1 前言功是物理学中最常见的物理量，对于变力做功的求解，教材上通常采用极限的思想和微积分的方法将物体的运
2、动轨迹分割成许多小段，因每小段很小，所以每小段可视为一方向不变的位移，而在这小位移上的力也可视为恒力。又因小位移为无穷小量，可认为它与轨迹重合，称之为元位移，而力在元位移上做的功称之为元功。这样就顺利的将求解变力做功的问题转化为了求无数多个元功之和。然而，求解变力做功的方法并不是唯一的，在很多实际问题中也可以根据实际寻找最为简便有效的方法。对此，本文将分别从图像法、微元法、等值法、平均力法、动能定理、功能原理等不同角度对变力做功的求解方法进行较全面、系统的研究，并以实例说明这些方法的应用。2 用图像法求变力做功功是描写力对空间的积累作用的，它的大小可以用作用力随位移变化的关系曲线，如图2.2.
3、1力-位移图象下的一块图形面积的大小来表示。如图甲所示表示恒力的力-位移图像，横坐标表示力F在位移方向上的分量，功W的数值等于直线下方画有斜线部分的面积如图乙所示表示变力的力-位移图像，曲线下方画有斜线部分的面积就表示变力所做的功，它近似地等于成阶梯形的小矩形面积的总和。图2.2.1 力-位移图象在F-x图象中，图线和横轴所围成的面积即表示力所做的功，即功是力对位移的积累效应。如果已知在位移x内F随位移变化的图象，可以根据图象与x轴所围成的面积求出变力F对物体做的功，这种求功的方法称为图像法。 线性变化的力是一种特殊情况的变力，作用力是位移的线性函数，它的力-位移图象是一条倾斜的直线，直线下方
4、的梯形或三角形的面积表示为线性变力的大小。在功的求解问题中，当已知力与位移的函数关系或力与位移的关系曲线时，就可以用图像法求解。如重心位置变化时的重力所做的功；弹簧伸缩时弹力所做的功；打击木桩时的阻力所做的功，它们的力与位移都成线性关系：。在求这些力做的功时，由于很容易找到力和位移的函数关系，作出图线，可以用图像法很简单的进行求解。利用图像法求解功的思路是：首先确定研究对象，进行受力分析，找出力与位移之间的函数关系式；根据题意及关系式作出图线；最后利用几何关系求出图线和坐标轴围成的面积，即为所求力的功。例1：质量为m的质点在外力的作用下沿轴运动，已知时质点位于原点，且初速度为零，设外力F随距离
5、性地减小，且时，;当时，。试求质点从运动到处的过程中，力F对质点所做功和质点在处的速率1。分析与解：当时，并且外力随距离增大而减小；又当时，。所以当质点从运动到处的过程中，变力F所做的功转化为质点运动的动能。因此我们用图像发求变力所做的功，再则求出质点在处的速度。由于力F随距离的增加而减小，所以建立以轴为横轴，轴为竖轴的平面坐标系，如图所示：图2.2.2 例1示意图设变力F做功为W，质点运动到处的速度为，所以：图中阴影部分的面积对应的就是变力F做的功，即又由于变力F所做的功转化为质点的动能，已知质点的质量为m；则： 解得力F对质点所做的功为：质点在处的速度为：由此可见，当力和位移成线性关系时，
6、可用图像法简单、直观的求解变力做功。3 从能量转化的角度求变力做功贯穿功和能全部的知识重点是“功是能量变化的量度”。功是过程量，能是状态量，不同的过程决定不同的状态变化，或者说由于不同性质的力做功引起不同性质能量的变化。所以在求解变力做功时，可以把问题转化为求解动能的改变量或者机械能的改变量。3.1 用动能定理求变力做功质点在一定时间的运动过程中，其动能改变的数值等于在同样时间内外力对该质点做的功。因此，在功的计算中，如果一个物体受到几个力的作用，除了变力外，其他力对物体不做功或做功之和为零，就可以利用动能定理直接求解变力做的功，即由其做功的结果-动能的变化求变力F的功： 。动能定理求变力做功
7、适用于多个力做功，但只有一个力是变力，其余的都是恒力，而且这些恒力所做的功又容易计算，研究对象本身的动能增量也比较容易计算时，用动能定理就可以求出这个变力所做的功2。如在人通过定滑轮拉物体的过程中，求绳对物体的拉力所做的功。物体始、末状态的动能已知为零，以绳为研究对象，受到人的拉力和物体对绳的拉力，根据动能定理即可求得绳对物体的拉力所做的功等于人对绳的拉力所做的功。又如要求人通过定滑轮拉物体的过程中滑动摩擦力做的功，先求出其它力如重力、支持力、拉力等做的功，再找出始、末状态的动能，利用动能定理即可求解。利用动能定理求解的思路如下：首先明确研究对象，对研究对象做受力分析；再确定物理过程，研究在所
8、确定的物理过程中那些力做功，并求出外力做功的代数和；再确定研究过程的初、末状态的动能；最后根据动能定理列方程，结合其它有关规律分析求解。例2：如图所示，用同种材料制成的一个轨道，A段为1/4圆弧，半径为R，水平放置的BC段长为R，一小物块质量为m，与轨道间动摩擦因数为，当它从轨道顶端A点由静止下滑时恰好运动到C点静止，求物块在AB段克服摩擦力做的功3？ 图3.1 例2示意图分析：物块由A运动到B的过程中共受三个力作用：重力G、支持力N,摩擦力f。由于轨迹是弯曲的，支持力和摩擦力均为变力，但支待力时刻垂直速度方向，故支持力不做功，因而该过程中只有重力和摩擦力做功。解答：设在B点时速度为,A点时速
9、度为，由动能定理知，其中有，。所以 ： （1）物块由B运动到C的过程中，重力和支持力不做功,.仅有摩擦力做功，设为。由动能定理得： （2）又 . （3）由（1）（2）（3）可得：。在求解变力做功的问题中，利用动能定理只需考查一个物体运动过程的始末两个状态有关物理量的关系，对过程的细节不予细究，与牛顿定律观点比较，这正是它的方便之处。3.2 用功能原理求变力做功功能原理是力学中的基本原理之一，它描述了物体系统的机械能增量等于一切外力非保守力对系统所作的总功和系统内非保守力所作的总功的代数和。即任何物体，系统外力非保守力对其作的总功+系统内非保守力做的总功 = 系统的机械能（动能与势能之和）的增量
10、。 （3.5）该原理对一切惯性参考系都成立，所以求变力做的功可以根据功能关系求解。只有非保守力做功，才能使机械能发生变化。起重机提升重物，非保守力做了正功，才使重物的动能和势能增加，若重物上升一定高度又逐步匀速下降，钓钩对重物做负功，重力势能减小。保守力做功会引起系统动能放入改变，但不会引起系统机械能的改变。 若多个力对系统做功，如果这些力中只有一个变力做功，且其它的力所做的功及系统的机械能增量都比较容易解时，就可用功能原理求得变力所做的功。如在用力F匀速提起一物体的过程中，要求F做的功时,由于物体的重力势能要变化，求出它的变化量,即为F所做的功。人通过定滑轮匀速拉物体的过程中，求人做的功，物
11、体重力势能的增量即为人做的功。功能原理求解功的思路：首先确定研究对象是一物体或系统,分析受力情况，确定研究过程的初、末状态的机械能,最后列方程求解。例3：在下图中，劲度系数为k的轻弹簧下端固定，沿斜面放置，斜面倾角为。质量为m的物体从与弹簧上端相距为a的位置以初速度沿斜面下滑并使弹簧最多压缩b。求物体与斜面之间的摩擦因数4。图3.2 例3示意图解析：将物体、弹簧、地球视为一个系统，重力和弹力是保守内力，正压力与物体位移垂直不做功，只有摩擦力为非保守内力且做功。根据系统的功能原理，摩擦力做的功等于系统机械能的增量，并注意到弹簧最大压缩时物体的速度为零，即有以及可以解得从功能关系的角度来审视一个物
12、理过程，分析这一过程中各个力做功情况,及其相应的能量转化情况，是一条重要的解题思路。特别是在一个复杂的运动过程中，只要选好始、末状态，并把握好过程中各力所做的功，再用功能关系列式，就能化繁为简，化难为易。其实，功能原理与动能定理并无本质的不同，它们的区别仅在于功能原理中引入了势能而无需考虑内保守力的功，这正是功能原理的优点。3.3 用求恒定功率下的变力做功功率的定义式变形公式中没有要求恒力条件，所以利用此式只要给出功率与过程经历的时间都可以计算出功率保持不变的情况下变力所做的功。 这种方法通常用于求机械做功的问题，如汽车的运动等。汽车以额定功率起动时，力F是变力，求某段时间内汽车牵引力做的功可
13、以根据来计算。例4：质量为M的汽车，沿平直的公路加速行驶，当汽车的速度为时，立即以不变的功率行驶，经过距离，速度达到最大值.设汽车行驶过程中受到的阻力始终不变，求汽车的速度由增至的过程中所经历的时间及牵引力做的功5。分析：汽车以恒定功率加速的运动是加速度逐渐减小的变加速运动，此过程中牵引力是变力，当加速度减小到0时，即牵引力等于阻力时，速度达到最大值。由于汽车的功率恒定，故可用来计算牵引力做的功。解答：设汽车从 (初态)加速至 (末态)的过程所经历的时间为t，行驶过程中所受的阻力为f，牵引力做的功为。对汽车加速过程用动能定理有 （1）又 （2）联立（1）、（2）式，解得：在求解变力做功的问题中
14、，利用只需考查一个物体运动过程的功率大小与过程经历的时间长短，这也正是它的方便之处。4 用等效代换法求变力做功在求解变力做功的一些题目中，整个运动过程中的“动态”是非常复杂的，而我们往往只需要把握住“始”和“终”时刻的状态，定性地分析过程，运用等效的观点，将整个过程等效为一个相对简单的过程，从而方便求解。这种求功的方法称为等效代换法。4.1用微元法求变力做功对于变力做功的求解也可以采用极限的思想和微积分的方法将物体的运动轨迹分割成许多小段，因小段很小，每段可视为一方向不变的位移，在这小位移上的力也可视为不变的。那小位移为无穷小量，可认为与轨迹重合，称元位移，力在元位移上的功称元功。这样就将变力
15、做功转化为在无数多个无穷小的位移上的恒力所做元功的代数和，即微元法求解变力做功。此法常应用于求解力的大小不变、方向改变变力做功问题（如滑动摩擦力做功，空气阻力做功）。在某一位移区间，力随位移变化的关系为，求该变力的功可用微元法，即将位移区间分成n（n）个小区间，在每个小区间内将力视为恒力，求其元功，由于功是标量，具有“可加性”，那么总功等于每个小区间内元功之代数和的极限。即变力在这段位移中所做的功为，在数学上，确定元功相当于给出数列通项式，求总功即求数列n项和，当数列n时的极限6。当物体在变力作用下做曲线运动时，若力的方向与速度在同一直线上或与物体运动的切线方向成某一固定角度，且力与位移的方向
16、同步变化时，可用微元法将曲线分成无限个小元段，每一小元段可以认为恒力做功，总功即为每个小元段做功的代数和。如在圆形轨道上拉一物体，此时拉力方向与速度在一条直线上，求拉力所做的功；物体做曲线运动时，求滑动摩擦力做的功；物体做平抛运动时，求重力做的功；通过定滑轮拉一物体，求拉力做的功时都可采用微元法。利用微元法求解功的基本方法是：首先隔离选择恰当微元作为突破整体研究的对象，微元可以是一小段线段，一小段圆弧，一小块面积，一小段时间但应具有整体对象的基本特征。再将微元模型化，在某一段小位移内的力视为恒力，并运用相关的公式，求解这个微元与所求物体的关联。最后将一个微元的求解结果推广到其他微元，并充分利用
17、个微元间的对称关系，矢量方向关系，近似极限关系，对各微元的解出结果进行叠加，以求出整体量的合理解答。例5：一对质量分别为和的质点，彼此之间存在万有引力的作用。设固定不动，在的引力作用下由a点经某路径l运动到b点。已知在a点和b点时距分别为和，求万有引力的功7。 图4.1 例5示意图解析：在上图中，取为坐标原点，某时刻对的位矢为r，引力F与r方向相反。当在引力作用下完成元位移dr时，引力做的元功为：由图可见，此处为位矢大小的增量，故上式可以写为： 这样，质点由a点运动到b点引力做的总功为： “微元法”的使用，在整个物理学上都意义巨大。4.2 用平均力法求变力做功当作用在物体上的力的方向不变，其大
18、小随位移作线性变化时，可用力对该段位移的平均值代替定义式中的值求功。在功的计算中，力与位移成线性关系：，且力的方向不变，其图象如图3.5所示，则图中阴影部分的面积大小在数值上等于变力所做功的大小，即，也就是说，变力F由F线性地变到F的过程中所做的功等于该过程的平均力所做的功。图4.2 线性力的图像利用平均值等效法求功的思路：首先求在某一段位移始、末两时刻受到的力，求其平均值，再计算平均力所做的功，即为变力在这段位移内的功。如在打击木桩的过程中，木桩把得到的能量用来克服阻力做功，而阻力与木桩进入的深度成正比，是一个变力，因此只要求出这个变力的平均值所做的功，就可求得变力做的功。在弹簧被拉伸或被压
19、缩的过程中，弹力F的大小改变而方向不变时，由于弹力与位移成正比，力的大小随位移按线性规律变化，能够求出变力对位移的平均值。在整个过程中弹力做的功等于平均值在这一过程中所做的功。例6：要把长为的铁钉钉人木板中，每打击一次消耗的能量为,已知钉子在木板中遇到的阻力与钉子进人木板的深度成正比，比例系数为k，则钉子全部进入木板需要打击几次?分析：在把打子打入木板的过程中，钉子把得到的能量用来克服阻力做功，而转化为系统内能，而阻力与钉子进入木板的深度成正比，先求出生阻力的平均值，便可求出阻力做的功。解答：钉子在整个过程中受到的平均值为：钉子克服阻力做的功为：设全过程共打击n次，则消耗的总能量：即 ： 注意
20、:在具体的数据运算中n只能取整数。平均值等效思维具有一定的灵活性和技巧性，须在认真分析物理特征的基础上，进行合适的等效变换，才能获得简捷的求解方法。4.3 用等值法求变力做功当某一变力的功和某一恒力的功相等，则可以通过计算恒力的功求出变力的功。而恒力做功又可以用公式计算，从而使问题变的简单。如例2中所求的绳的拉力对物体所做的功，由于绳拉物体的力的方向不断变化，故绳拉物体的力为变力F，但此时力对物体所做的功与手拉绳的力F做的功相等。F为恒力，F作用点的位移与物体的位移相连，即：，则绳对物体的拉力F所做的功。在磁场中，洛伦兹力对物体不做功，在求解变力做功时，如果此变力刚好等于洛仑兹力，还可以将变力
21、转化为洛仑兹力，求出变力的功。例7：如图3.3所示，在空间有匀强磁场，磁感应强度的方向垂直纸面向里，大小为B。光滑绝缘空心的细管MN的长度为L，管M端有一质量为m、带正电q的小球p。开始时小球p相对管静止，管带着小球p沿垂直于管长度方向以恒定速度u向图中右方水平运动，不计重力。小球p从管的M端运动到N端的过程中，管壁对小球做的功是多少8？ 图4.3 例7示意图分析与解：由于管壁对小球的力是变力，不能直接用功的公式求解，而管壁对小球的作用力等于洛仑兹力的分力。此题可采用等值法将变力做功转化为恒力做功求解。首先找到和管壁相等的恒力，分析小球的受力可知，如图3.4：小球在竖直方向受洛仑兹力的一个分力
22、F，向左为洛仑兹力的另一个分力F。在水平方向向右为管壁对小球的作用力F。由于洛仑兹力对小球不做功，所以洛仑兹力的分力做功之和为零，即在竖直方向洛仑兹力的分力做的功，数值上等于洛仑兹力在水平方向分力做功的值，即。小球在水平方向做匀速直线运动，管壁对小球的作用力所做的功在数值上等于洛仑兹力在水平方向的分力所做的功，水平方向上洛仑兹力的分力，v是变化的，F是变力，将变力做功转化为恒力做功。由，即可计算出F做的功。 图4.3 例7小球受力示意图等效方法是解决物理问题的常用方法之一，它是通过对问题中的某些因素进行变换或直接利用相似性，移用某一规律进行分析而得到相等效果，利用等效法从而使问题变得简单易解。
23、5 结束语变力做功的求解方法并不是唯一的，本文分别从图像法、动能定理、功能原理、微元法、平均力法、等值法等不同角度对变力做功的求解方法进行了较全面、系统的研究,并附以实例说明这些方法的应用。通过对以上方法和实例的讨论，使我对变力做功的求解方法有了更深刻的理解和巩固，并且进一步提升了我灵活运用这些方法解决实际问题的能力。参考文献1 东南大学等七所工科院校编，物理学（第五版）上册 M. 北京：高等教育出版社，28-29. 2 漆安慎,杜婵英.力学（第二版）M. 北京：高等教育出版社，2005,120150.3 陈世民.理论力学简明教程（第二版）M.北京：高等教育出版社，2008,96109.4 粱
24、昆淼,俞超,邱树业.力学讨论.四川教育出版社，1985,8990.5 周纫兰,贾宝林.怎样学习功和能M.北京：电子工业出版社，1993,1617，2122.6 胡则梁.力学M.上海科学技术出版社，1988,6264，6768.7 洪嘉振,杨长俊. 理论力学（第二版）M. 北京：高等教育出版社，2002,1301390.8 柳祖亭. 理论力学解题指导及习题M. 北京：机械工业出版社，2000,7981.Method for solving the variable force actingKe DingrongInstitute of Physics and Electronic Enginee
25、ring physics 06200145Abstract Work is one of the most common physical variables in physics, variable method for solving the force is doing work through the physics of the important and difficult one, its mechanics, theoretical mechanics plays an important role in both. This paper used the image meth
26、od, kinetic energy theorem, functional theory, micro-element method, the average force method, the equivalent law in different ways to change forces acting on the physics of the solution method was more comprehensive and systematic research, along with examples of The application of these methods. T
27、hrough discussion of these methods and examples, so that I can become a force acting in the solution of a deeper understanding and consolidation of Improve my flexibility in the use of these methods to solve practical problems.Key words Variable force Work Image Method Equivalent substitution method
