1、,两个计数原理,滨海中学 王玉北,知识网络,复习导引,1、“分类”与“分步”应该如何理解？“分类”：做一件事情，完成它有n类办法,每一类中的每一种方法都可以独立地完成这件事情，而且相互之间不依赖，这样完成事情的方法数可以用分类计数原理，把每一类的方法数相加得到；“分步”计数原理，作一件事情需要n个步骤，而且依次完成每一步，才能完成这件事情，这样完成事情的方法数可以用分步计数原理，把每一步的方法数相乘得到.2、两个计数原理如何选用？两个原理的区别在于一个和分类有关，一个与分步有关，选用时，关键在于分清楚完成该件事情到底是分类还是分步.分类是要设计好分类的标准，防止重复和遗漏，分步时要注意步与步之
2、间的连续性.,考点练习,1、一名学生去书店，发现3本好书，决定至少买其中一本，这名学生购书的方案有( )种.A、3 B、6 C、7 D、9,C,2、将5名大学毕业生全部分配到3所不同的学校，不同的分配方式有( )种.A、8 B、15 C、125 D、243,D,考点练习,3、如图，某电子器件由3个电阻组成的回路，其中共有6个焊接点A、B、C、D、E、F，若某个焊接点脱落，整个电路就会不通，现在电路不通了，那么焊接点脱落的可能性有( )种.A、8 B、36 C、63 D、64,C,考点练习,4、(2003年北京春季高考题)某班新年联欢晚会,原定的5个节目已排成节目单，开演前，又增加两个节目，若将
3、这两个节目插入原节目中，则不同插入方法有( )种.A、42 B、30 C、20 D、12,A,考点练习,5、三边长均为整数且最大边为11的三角形的个数为 .,6、圆周上有2n个点 (n1)以其中三个点为顶点的直角三角形的个数为 .,典题型举例,【例1】电视台在“欢乐大本营”节目中拿出两个信箱，其中存放着先后两次竟猜成绩优秀的观众来信，甲信箱有30封信，乙信箱有20封信，现由主持人抽奖决定幸运观众，若先确定一名幸运之星，再从两信箱中各确定一名幸运伙伴，有多少种不同的结果？,典题型举例,解：分两类（1）幸运之星在甲信箱中抽，先决定幸运之星， 再在两信箱着各抽一名幸运伙伴，有 302920=1740
4、0种结果。（2）幸运之星在乙信箱中抽，同理有 201930=11400种结果。 因此共有17400+11400=28800种结果。点评:运用两个原理解答时是先分类后分步还是先分步后分类应就具体问题而定,典题型举例,【例2】从3，2，1，0，1，2，3，中任取3个不同的数作为抛物线y=ax2+bx+c(a0)的系数，若抛物线过原点且顶点在第一象限，则这样的抛物线共有多少条？,典题型举例,解：抛物线y=ax2+bx+c(a0) 过原点且顶点在第一 象限，,则a,b,c应满足:,分三步，a=-3,-2,-1; b=1,2,3; c=0,所以抛物线的条数N=331=9,点评:本题关键是要确定待定参数a
5、,b,c，故应根据题意确定a,b,c的范围.,典题型举例,【例3】如图，将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端点颜色不同，如果只有5种颜色可供使用，求不同的染色方法总数.,典题型举例,解：由题设，四棱锥S-ABCD的顶点S、A、B所染颜色互不相同，它们共有543=60种染色方法;,当S、A、B染好后，不妨设其颜色分别为颜色1,2,3；,若C为颜色2，则D可染颜色3,4,5之一，有3种染法；,若C染颜色4，则D可染颜色3或5，有两种染法；,若C染颜色5，则D可染颜色3或4，也有两种染法，,可见，当S、A、B染好后，C与D还有7种染法，因此不同的染色方法共有607=420种。,
6、点评:在运用两个原理时，为了使问题得到简化，可以将具有实际意义的事物符号化、数学化。,典题型举例,【例4】如图，六边形ABCDEF，以及它的中心O共7个点，一质点从A出发，每一步都是从其中一个点跳到相邻的另一点，若该质点3步或4步首次跳到D的位置，有多少种不同的跳法？,典题型举例,解：分类讨论：,从点A到点E走2步的走法有2种，,从点E到点D走1步有1种，2步的走法有1种，这时共有4种；,从A到E点走3步的走法有3种，从E点到D走1步的走法有1种，所以这种情况下共有3种走法。,所以经过点E到达D点的走法共有7种；,同理经过点C到达点D的走法也有7种，,同样的分析与求解，可得经过点O到达点D的走
7、法有6种。,综上符合条件的走法共有20种。,点评:解决本题的关键是把握好分类和分步，并具有分类讨论的思想。,典题型举例,【例5】(2003年全国高考题第15题) 某城市中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分，如图，现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽同样颜色的花，不同的栽法有多少种？,典题型举例,解析：由于第1，2，3块两两相邻，先安排这3块，有432=24种不同的种法；给第4块种花，若第4块与第6块同色，只有一种方法，则第5块只有2种种法;若第4块与第2块同色，共有21=2种种法；若第4块与第6块不同色，但第4块与第2块同色，则第6块有2种种法，而第5块只有1种种法，共有
8、2种种法；若第4块与第6块不同色，第4块与第2块不同色，则第5块只有1种种法，所以第4块与第6块不同色时，有1种种法.综上共有24(2+2+1)=120种不同的种植方法.,拓展训练,1.集合A中有n个元素，其中m个是特殊元素(mn)，已知集合A的五元子集共68个，且每个子集中都含有至少一个特殊元素，此外，集合A的任意三元子集都恰好被一个五元子集所包含.(1)求n的值;(2)请回答：所有五元子集中是否有至少含4个特殊元素的集合？,解：（1）根据题意，共有 个三元子集，因为每一个三元子集都恰好被一个五元子集所包含，所以每一个五元子集中包含了 个三元子集，故有 解得n=17,拓展训练,（2）假设每个五元子集中至多含有3种特殊元素，把含有1种特殊元素，2种非特殊元素的三元子集设为A3，据题意，68个五元子集中，有个 含有3种特殊元素，且每个子集中可有 （3个）,另一方面，含有2种或1种特殊元素的五元子集，应有 （个）,且这样的子集中都有 （6个A3）,再者，子集A3的个数为:,即m3-18m2+137m-408=0,因为408的正因数1，3，8，17均非上述方程的解，据有理根定理方程无正整数解，这说明假设是错误的，故结论是正确的。,课堂练习,书面作业, P.301-302 习题: 一.二, P.302 习题: 10.11.12.13,课后训练,
