1、 2换元积分法和分部积分法 问题 解决方法 利用复合函数 设置中间变量 过程 令 一 第一类换元法 在一般情况下 由此可得换元法定理 第一类换元公式 凑微分法 说明 使用此公式的关键在于将 化为 观察重点不同 所得结论不同 定理1 例1求 解 一 解 二 解 三 例2求 解 一般地 例3求 解 例4求 解 例5求 解 例6求 解 例7求 解 例8求 解 例9求 原式 例10求 解 例11求 解 说明 当被积函数是三角函数相乘时 拆开奇次项去凑微分 例12求 解 例13求 解 一 使用了三角函数恒等变形 解 二 类似地可推出 解 例14设求 令 例15求 解 问题 解决方法 改变中间变量的设置方
2、法 过程 令 应用 凑微分 即可求出结果 二 第二类换元法 证 设为的原函数 令 则 第二类积分换元公式 例16求 解 令 例17求 解 令 例18求 解 令 说明 1 以上几例所使用的均为三角代换 三角代换的目的是化掉根式 一般规律如下 当被积函数中含有 可令 可令 可令 说明 2 积分中为了化掉根式除采用三角代换外还可用双曲代换 也可以化掉根式 例中 令 积分中为了化掉根式是否一定采用三角代换 或双曲代换 并不是绝对的 需根据被积函数的情况来定 说明 3 三角代换很繁琐 令 解 例20求 解 令 说明 4 当分母的阶较高时 可采用倒代换 令 解 例22求 解 令 分母的阶较高 例23求 解 令 基本积分表 三 小结 两类积分换元法 一 凑微分 二 三角代换 倒代换 根式代换 基本积分表 2 思考题 求积分 思考题解答 练习题 练习题答案
