1、第02章 单自由度系统的振动2.1 一根抗弯刚度的简支架，两支承间跨度l1=2m，一端伸臂l2=1m，略去梁的分布质量，试求悬臂端处重为Q=2548 N的重物的自由振动频率。【提示：， 1/s】题 2-1 图BAQl1l2题 2-2 图2m1mQkkAB2.2 梁AB其抗弯刚度，A端与B端由弹簧支承，弹簧刚性系数均为k=52.92 kN/m，如图所示。略去梁的分布质量，试求位于B端点左边1米处，重为Q=4900 N的物块自由振动的周期。 【解法1：通过计算静变形求解。A，B弹簧受力为和，压缩量为和，则由弹簧引起的静变形为；利用材料力学挠度公式求出梁变形引起的静变形。周期为：s。解法2：通过弹簧
2、刚度的串并联计算总等效刚度求解。A，B弹簧相对Q处的等效刚度为（产生单位变形需要的力，利用解法1中计算的静变形结果）；利用材料力学挠度公式求出梁相对Q处的等效刚度；总等效刚度为：。周期为s。】题 2-4 图lakACB2.4 一均质刚杆重为，长度为。处为光滑铰接，在C处由刚性系数为的弹簧使杆在水平位置时平衡。弹簧质量不计，求杆在竖直面内旋转振动时的周期。【解：利用定轴转动微分方程：，得：，】2.8 一个重为98 N的物体，由刚性系数为k=9.8 kN/m的弹簧支承着（简化为标准m-k-c振动系统），在速度为1 cm/s时其阻力为0.98 N。求10周振幅减小比为多少？【解：Ns/m，1/s，】
3、题2.10图2.10 题2.10图所示振动系统，物块质量为25 kg，弹簧刚度为2 N/mm，E210 GPa，悬臂梁长250 mm，梁横截面宽20 mm，高3 mm，求固有频率。梁的分布质量不计。【解：梁的参数m4。解法1：通过计算静变形求解。m，固有频率1/s。解法2：通过通过弹簧刚度的串并联计算总等效刚度求解。，固有频率1/s。】2.13 求题2.13图所示系统的固有频率。【提示：利用定轴转动微分方程或能量法。注意重力的影响。，】题2.14图 题2.13图2.14 求题2.14图所示系统的固有频率。 【解法1：通过计算静变形求解。，固有频率。解法2：利用牛顿定律。，而：利用，得又，求出：
4、，则振动方程为：，固有频率1/s。解法3：利用机械能守恒。取静平衡位置为重力势能零点，弹簧原长为弹性势能零点，利用前面求出的，代入后利用得到振动方程为：，】2.15 求题2.15图所示系统微幅振动的微分方程（m2视为均质圆盘）。答:题2.15图题2.16图 2.16 求题2.16图所示系统振动的微分方程和固有频率（不计杆的质量，c为黏滞阻尼）。答:，2.17 标准m-k-c振动系统，弹簧刚度为32.14 kN/m，物块质量为150 kg。（1）求系统的临界阻尼系数；（2）该系统的阻尼系数为0.685 kNs/m时，问经过多少时间振幅减到10；（3）衰减振动周期是多少。【解：（1）1/s，Ns/
5、m（2），n2.285，（3）】题2.18图2.18 题2.18图所示系统，在空气中振动周期为T1，在液体中振动周期为T2，试证明液体的粘性阻尼系数为。2.19 求题2.19图所示系统的固有频率。【解法1：通过计算静变形求解。，由梁的变形公式得：而：，则：题2.19图固有频率。解法2：利用弹性元件串并联。与并联，然后与串联，则：，固有频率=。解法3：利用牛顿定律。，利用梁的变形公式有：又，求出：利用前面求出的最后得到振动方程为：，固有频率。解法4：利用机械能守恒。取静平衡位置为重力势能零点，弹簧原长为弹性势能零点，利用前面求出的，代入后利用得到振动方程】第3章 单自由度系统强迫振动题 3-8图
6、ABQl/2l/2tA3.8 图3-8所示简支梁中间放一台重为2 kN的电机，其中转子重0.4 kN，偏心距e=0.02 cm，电机静作用时的挠度st=2 cm，若电机的转速为1450 rpm，试求：电机稳态强迫振动的振幅(略去梁的质量)。【解：固有频率，等效弹性系数，振动方程，即：题3.22图振幅为m。】3.22 题3.22图所示系统，m9800 kg，k966280 N/m，在质量块上作用有激振力 N，在弹簧固定端有支撑位移 cm，求系统的稳态响应。【解：振动方程，即，固有频率，频率比,，响应为cm】3.23 机器重4410N，支撑在弹簧隔振器上，弹簧静变形为0.5 cm，机器有一偏心重，
7、产生偏心激振力 N，w为激振力频率，g为重力加速度，不计阻尼。求（1）在机器转速为1200 r/min时传入地基的力；（2）机器的振幅。【解：振动方程，固有频率。（1）偏心激振力，频率比，传入地基的力为N（2）cm】3.24 弹簧质量系统，m196 kg，k1.96105 N/m，作用在质量上的激振力为，阻尼系数为627.2 Ns/m。求（1）质量块的振幅及放大因子；（2）如果把激振频率调整为5 Hz，放大因子为多少；（3）如果把激振频率调整为15 Hz，放大因子为多少；（4）若忽略阻尼，上面3种情况的放大因子又是多少，由此说明阻尼对振幅的影响。【解：固有频率，阻尼比（1）频率比0.316，振
8、幅m，放大因子（2）0.990，（3）2.97，题3.31图 （4）1.11，51.8，0.128】3.31 题3.31图示钢梁，自由端物块重量为3000 N，m4，E210 GPa，A端支座按正弦波mm作微小振动，梁质量不计，求物块稳态振动振幅。【解：利用材料力学公式求出C处的静位移，则固有频率。设C处的相对位移为y1，方程为，即相对振幅为m，因此总振动幅度为m3.48mm】3.32 题3.32图示钢梁，物块重量为60 kN， m4，E210 GPa， 端支座有脉动力矩 Nm作用，梁质量不计，求物块稳态振动振幅。答: 0.996 mm。第4章单自由度系统振动理论的应用4.1 求题4-1图所示
9、系统的固有频率。设(1)悬臂梁的质量可忽略不计；(2)悬臂梁的等效弹性系数分别为k1和k2。题 4-1图k1k3k2k4xm题 4-2 图k1k2mx题 4-3 图kmabk1m1JAx4.2 求题4-2图所示系统的固有频率，假定滑轮质量不计。【解法1】通过计算静变形求解。设对应于，的静变形为，则，即，固有频率。【解法2】利用牛顿定律。设绳拉力为F，则，而：，再利用解法1的结果，求得：，则振动方程为：，固有频率1/s。【解法3】利用机械能守恒。取静平衡位置为重力势能零点，弹簧原长为弹性势能零点。利用前面解法1和解法2求出的有利用得到振动方程为：，】4.3 如题4-3图所示为一摇杆机构，摇杆质量
10、为mA，相对于支点A的转动惯量为JA,求系统相对于x座标的等效质meq和等效弹性系数keq。4.4 如题4-4图所示为一发动机阀门装置，摇杆相对支点的转动惯量为JA，设推杆的有效质量为mr、有效刚度为kr，试求系统的等效质量meq和等效弹性系数keq。 4.5 如题4-5图所示为一机构示意图，若弹簧ka的伸长不变，试推导该系统的运动方程。题 4-4 图abJAmr，krms，ksz凸轮题 4-5 图m1m2m3k1kaL1L2L4L44.6 用能量法求如题4-6图所示系统的固有频率，并用牛顿第二定律校核之，假定均质杆质量不计。4.7 在题4-7图所示系统中已知梁的质量为m1，浮体A置于水中，和
11、连杆的质量为m2，浮体的横截面积为S，求系统的运动方程。4.8 一单自由度系统若 m=7 kg、，求（a）阻尼因子；（b）对数衰减率；（c）任意两相邻振幅比。题 4-7 图L2L1kA题 4-6 图60k=7kN/m500mm150mm200mmm4.9 试导出题4-9图（a）、（b）所示系统的运动方程式，假定杆为刚性且不计质量。题 4-11 图l/4l题 4-10 图ml1l2kl3题4-9图（a）（b）m1m2baakmmckcaaab4.10 如题4-10图所示系统。已知，,各杆自重不计。求（a）系统的固有频率fn；（b）阻尼比；（c）阻尼存在系统的固有频有频率fd。4.11 如题4-1
12、1图所示，一匀质杆OA长l=24 cm，质量m2 kg，O端为一摩擦固定铰支，在距上端为l/4=6 cm处受一谐和激振力P=P0sintt，P0=2 N激振频率f=1 Hz，求系统的稳态振动振幅。4.12 一无阻尼振动系统的运动规律为，若以激振，其中 ，求下列情况下外力对系统所做的功：（a）最初一秒间；（b）最初1/40秒间。4.13 一台设备质量为m，以弹性系数为k的弹簧支撑，置于基础上，而基础运动,如题4-13图所示。求（a）若使设备的振幅等a时的k值；（b）若设备质量为100 kg，基础的振动频率为67 Hz,使其振幅小于a，求k的值。题 4-13 图mkmk/2k/2ch题 4-14
13、图4.14 一物体m，支承如图4-14所示落向地板，假若支承首先接触地板时，弹簧无应力。设下落高度h=1.5m，m=18kg，c=72Ns/m，k=1.8kN/m求物体的加速度。4.15 求下列函数的富里叶级数表达式和此周期函数的富里叶谱。1-10T/2Tt1-10T/2Tt题 4-15 图4.16 系统的激振有两个谐波分量。（a）画出激振波形；（b）用复数法求每一个谐波分量的稳态响应；（c）画出合成的稳态响应波形。4.17 如图所示带转轮阻尼系统，设m=9kg，k=7kN/m，,初始条件为，求（a）位移振幅每周衰减；（b）最大速度；（c）速度振幅每周衰减；（d）物体m停止的位置。4.18 对于题4-18图所示系统，使激振力作用在质量m上，试证明每周的能量耗散为4FX，其中F为摩擦力。题 4-18 图xkm
