1、置 换 群(pormutation group)本讲的教学目的和要求:置换群是一种特殊的变换群。换句话说，置换群就是有限集上的变换群。由于是定义在有限集上，故每个置换的表现形式，固有特点都是可揣测的。这一讲主要要求：1、 弄清置换与双射的等同关系。2、掌握置换轮换对换之间的联系和置换的奇偶性。3、置换的分解以及将轮换表成对换之积的基本方法要把握。4、对称群与交错群的结构以及有限群的cayley定理需要理解。本讲的重点与难点：对于置换以及置换群需要侧重注意的是：对称群和交错群的结构和置换的分解定理（定理2）。注意：由有限群的cayley定理可知：如把所有置换群研究清楚了。就等于把所有有限群都研究
2、清楚了，但经验告诉我们，研究置换群并不比研究抽象群容易。所以，一般研究抽象群用的还是直接的方法。并且也不能一下子把所有群都不得找出来。因为问题太复杂了。人们的方法是将群分成若干类（即附加一定条件）；譬如有限群；无限群；变换群；非变换群等等。对每个群类进行研究以设法回答上述三个问题。可惜 ， 人们能弄清的群当今只有少数几类（后面的循环群就是完全解决了的一类群）大多数还在等待人们去解决。变换群是一类应用非常广泛的群，它的具有代表性的特征置换群，是现今所研究的一切抽象群的来源，是抽象代数创始人E.Galais(1811-1832)在证明次数大于四的一元代数方程不可能用根号求解时引进的。一 置换群的基
3、本概念定义1.任一集合到自身的映射都叫做的一个变换，如果是有限集且变换是一一变换（双射），那么这个变换为的一个置换。 有限集合的若干个置换若作成群，就叫做置换群。含有个元素的有限群的全体置换作成的群，叫做次对称群。通常记为.明示：由定义1知道，置换群就是一种特殊的变换群（即有限集合上的变换群）而次对称群也就是有限集合的完全变换群。现以为例，设：是的一一变换。即: , ,利用本教材中特定的表示方法有：，.由于映射中只关心元素之间的对称关系.而不在乎元素的具体内容.故可证.故此. :,.稍做修改: ： =.用=来描述的一个置换的方便之处是显而易见的.当然,上述的置换可记为，,但习惯上都将第一行按自
4、然序列排写这就可以让我们都统一在一种表示置换的方法内进行研究工作了.习惯上称它为三元置换.二.置换的乘积. 设的任二个置换,那么由于和都是一一变换,于是也是的一一变换.且有 :,.用本教材的记法为:,.换句话说:例1. 计算下列置换的乘积:(1) , (2) , (3) .解: 注意:置换乘积中,是从左到右求变换值,这是与过去的习惯方法不同的.例2. 设,那么的全部一一变换构成的三次对称群为 .其中, , , , 所以.其中是恒等变换.即是的单位元.定理1.次对称群的阶是.由于置换群也是变换群,故必蕴含着变换群的一切特征.譬如,不可交换性:三 循环置换及循环置换分解.(1)循环置换(轮换) 前
5、面我们已经引入了置换的记法,下面,再介绍一种记法.设有8元置换,的变换过程为,即其他元素都不改变,若将不发生改变的文字都删掉,那么上述置换可写成循环置换的形式:注意:循环置换是置换的另一种表达形式,它以发生变化的文字的变化次序为序,表达成轮换的形式.虽然表达形式简捷,但所含置换的原有文字的数目可能反映不出来.这要求事先予以说明.例如.“8元置换”.一般地,每个循环的表达方法不唯一,例如.这是 因为,每个循环置换都可视为一个首尾相接的圆环:所以,循环中的每个文字都可以置于首位.一旦首位确定后,整个循环置换的表达形式也就确定了. 但习惯上,总是将循环置换中出现的最小文字置在首位.的单位(恒等置换)
6、同上,习惯写成.定义2. 中的一个将变到，变到变回到而其余文字（如果还有其他文字）不发生变化的置换，叫做循环置换（或称循环）,记为()例3在中. 叫作3循环置换. 叫作5循环置换. 叫作1循环置换.（2）循环置换分解很容易发现，并不是每个置换都能成为循环置换.比如5元置换不可能是循环置换，但我们会发现可见，虽不是循环置换，但它是循环置换之积。定义3. 设和都是循环置换.如果与不含相同的文字，那么称与是不相连的.定理2. 每一个元置换都可以写成若干个不相连的循环置换的乘积.（循环置换分解定理）【证明】.设是中任一个元置换，下面对中改变文字的个数用数学归纳法。 如果使中每个文字都不发生改变，则是恒
7、等置换.即，定理2成立. 假设最多变动个文字时，定理成立。现考察变动了个元的情形： 首先在被变动的文字中随意取一个文字，从出发找到在下的象,再找的象, ,直到找到，其中：.于是因为只变动了个文字，故.如果，则本身就是一个循环置换:定理证毕。如果，模仿的做法。由于中只变动了个文字，中只能变动个文字.由归纳假设，必可以写成若干个不相连的循环置换之积:还需特别说明:中的所有循环置换中不可能再出现,否则,当 因为是互不相连,只在中出现.将，但前面已有即将使保持不动，这样就导出了矛盾. 这恰说明：是互不相连的循环置换之积.明示：将置换写成不互相连的循环置换之积是表示置换的第二种方法.四循环置换的性质问题
8、1.是一个3阶群（三次对称群），所以中每个元素的阶自然都是以有限的，那么具体是多少呢？比如：,则,.这里是3-循环置换，恰好的阶是3.这不是巧合,我们有：结论1. 循环置换的阶就是解释：循环置换的一次方则将变成，二次方则将变成，次方则将变回到，其余文字也是如此。所以，当时，而. .问题2.每个置换都是双射，那么的逆置换也必是双射必也是置换，那么会是什么样子呢？设 若将表成循环置说明：循环置换的逆置换就是将每个文字的变动方向反向.结论2:循环置换的逆置换也是循环置换且问题3.由前已知,两个变换一般是不能交换的,所以,两个置换一般也不能交换的.但是我们会发现.设结论3.两个不相连的循环置换是可以交
9、换的。结论4.任一个循环置换定义4.每个循环置换都叫做一个对换.利用结论4,我们有:定理3.每个元置换都能表示成若干个对换的乘积。例4.结论4是“因地制宜”用现有的文字构成对换之积，有时我们需要一些其他文字“加入”对换之中,于是有了结论5.设.且五.置换的奇偶性.虽然由结论4,5可知,每个置换都能写成对换之积.且对换之积的表示形式不是唯一的.(比如)但对换个数的奇偶性是不会改变的。结论6.任意一个置换表成对换之积时，表示式中对换个数的奇偶性不变.定义5.一个置换叫做偶(奇）置换可以表成偶(奇)数个对换之积.利用结论4知.我们能很容易地判断出循环置换的奇偶性.结论7.一个循环置换是偶(奇)置换为
10、奇(偶)数. 考察下面的例子:.而中全部偶置换共有12个: 那么就是中的一切偶置换组成的集合,对于置换的乘法,能发现:l 中乘法封闭l 中乘法满足结合律l 中有单位元l 中每个置换有逆元, 逆元也在中(由结论2)所以是一个群,这个特殊的置换群习惯是上称为4次交换群.定义6. 次对称群中全部偶置换组成的集合构成一个群.叫做次交错群.其中:.定义7 次对称群中两个置换称为的共轭 。定义8 设称为的一个划分。设元置换表示为互不交换的轮换的乘积其中为的一个划分，称它是由确定的划分。结论8 中两个置换共轭它们确定的划分相同。（证明略）课堂训练:给出下列6元置换.1) 求,;2) 求, 3) 求, 和的组
11、织置换表达式,并求出和,.4) 求,.5) 将,和写成对换之积,并判断其奇偶性.解:1) 2) 3) 4)5) 是奇置换；是奇置换；是奇置换；是偶置换.对称性变换与对称群例1 证明等腰三角形的两底角相等。定义1：保持长度不变的变换称为正交变换。定义2; 平面上（空间中）图形，若平面上（空间中）的一个正交变换把变成与自己重合，称此变换是的对称性变换。命题1 图形的全体对称性变换在变换的乘法下是一个群。（的对称性群）。例1 正方形的对称性群。（4个旋转，4个反射）。例2等边三角形的对称性群。（3个旋转，3个反射）.定义3 设为域上一多项式，为任意元置换，若在的各文字的脚标上进行置换后不变，称为域上一个元对称多项式。例3 定义4设为域上一多项式，为任意元置换，若换后不变，称为的一个对称变换。命题2 的全体对称性变换在变换的乘法下是一个群。（的对称性群）。例4 考虑的全部对称性变换。介绍晶体及晶体对称性定律。
