1、經 微積分a40a57a53 年度a41 元 a53a48a58 積分與平 上 積 元 a53a48a58 積分與平 上 積 a40課 a120a55a46a56a41 設 數 數 a102a40a120a59a121a41 a120 偏 數 a102a120a40a120a59a121a41 a61 a50a120a121 a102a40a120a59a121a41 何a63 答a46 根據微分與積分 互逆性a44 以 計算 a120 偏 數時a44 要 a121 固 a44 視 常數a44 僅 微分 a44 a120 微分a44 故 逆 算中a44 計算 a120 不 積分時a44 亦 a
2、121 固 a44 視 常數a44 僅 積分 a44 a120 積分a44 得 a102a40a120a59a121a41 a61 a90 a102a120a40a120a59a121a41a100a120 a61 a90 a50a120a121a100a120 a61 a50a121 a90 a120a100a120 a61 a50a121 a1 a49a50a120a50 a43 a67a40a121a41 a61 a120a50a121 a43 a67a40a121a41 其中第 個等號成立乃 a120 積分時a44 視 a121 常數a44 故 提出a44 且第 個等號中 a67a40
3、a121a41 a120 積分 積分 常數a44 內 a121 式 a44 不 於 般 數a44 而是 個 a49 中 數 于振華 經 微積分a40a57a53 年度a41 元 a53a48a58 積分與平 上 積 數 a120 而言a44 更廣義 常數a44 a67a40a121a41 a120 作偏微 分時a44 於 a121 式 a44 不是 般 數a44 但不 有任 何 a120a44 故依 視 常數a44 而得出 a48a46 a46 上式 a120 微分a44 並視 a121 常數a44 得 a64 a64a120a91a120 a50a121 a43 a67a40a121a41a
4、93 a61 a50a120a121 a43 a48 a61 a102a120a40a120a59a121a41 式成立a44 故 a102a40a120a59a121a41 a120a50a121 a43 a67a40a121a41 義a46 種 個 數 積分a44 稱 偏積分 a40a112a97a114a116a105a97a108 a105a110a116a101a103a114a97a116a105a111a110a41a46 a46 何 積分a63 答a46 例a44 a120 積分 a90 a50a121 a49 a50a120a121a100a120 何a63 其中上積分 a1
5、21 式 a44 乃 a44 a120 積分時a44 視 a121 常數a44 而不是 有 數才視 常數a46 a50 中 數 于振華 經 微積分a40a57a53 年度a41 元 a53a48a58 積分與平 上 積 微分與積分 互逆性a44 以 a120 偏 數時a44 僅 微分 a120 微分a44 故根據微積分基 a44 先 出 a120 偏積分a44 再 上下積分 代入積分 數 a120 內a44 並 其 a44 得 a90 a50a121 a49 a50a120a121a100a120 a61 a120a50a121 a43 a67a40a121a41 a12a12 a12a50a
6、121a120a61a49 a61 a91a40a50a121a41a50a121 a43 a67a40a121a41a93 a0a91a40a49a41a50a121 a43 a67a40a121a41a93 a61 a52a121a51 a0a121 a46 上例 a44 積分常數 積分時a44 忽略a44 數 數 積分a46 例a49a46 試 下列 偏積分a46 a40a97a41 a90 a120 a49 a40a50a120a50a121a0a50 a43 a50a121a41a100a121 a40a98a41 a90 a53a121 a121 a112a120a0a121a10
7、0a120 a60解a62 a40a97a41 a121 偏積分a44 故根據微積分基 a44 視 a120 常數a44 僅 a121 積分a44 並 忽略 a121 積分常數a44 a51 中 數 于振華 經 微積分a40a57a53 年度a41 元 a53a48a58 積分與平 上 積 a120 式 a67a40a120a41 下a44 積分 上下 代入積分 數 a121 內a44 並 其 a44 得 式 a61 a40a50a120a50a41 a32 a0a49a121 a33 a43 a121a50 a12a12 a12a12 a12 a120 a121a61a49 a61 a32
8、a0a50a120 a50 a120 a43 a120 a50 a33 a0a40a0a50a120a50 a43 a49a41 a61 a51a120a50 a0a50a120a0a49 a40a98a41 乃 a120 偏積分a44 故根據微積分基 a44 視 a121 常數a44 僅 a120 積分a44 時 忽略 a120 積分常數a44 a121 式 a67a40a121a41 下a44 積分 上下 代入積分 數 a120 內a44 並 其 a44 得 式 a61 a90 a53a121 a121 a40a120a0a121a41a49a61a50a100a120 a61 a50a5
9、1a40a120a0a121a41a51a61a50 a12a12 a12a12a53a121 a120a61a121 a61 a50a51a40a52a121a41a51a61a50 a0 a50a51a40a48a41a51a61a50 a61 a49a54a51 a121a51a61a50 a46 上例 a44 偏積分 代入積分 上下 後a44 先視 常數 數 數a44 a120 偏積分a44 得 a121 a52 中 數 于振華 經 微積分a40a57a53 年度a41 元 a53a48a58 積分與平 上 積 數a59 a121 偏積分a44 得 a120 數a46 a44 考慮再
10、些 數積分a44 義 下a46 義a46 積分 積分稱 積分 a40a100a111a117a98a108a101 a105a110a116a101a103a114a97a108a41a44 有下述 種型式a46 a40a49a41 先 a121 積分a44 再 a120 積分 積分a58 a90 a98 a97 a90 a103a50a40a120a41 a103a49a40a120a41 a102a40a120a59a121a41a100a121a100a120 a61 a90 a98 a97 a34a90 a103 a50a40a120a41 a103a49a40a120a41 a102
11、a40a120a59a121a41a100a121 a35 a100a120 積分 數 a100a121a100a120a44 內往 依 積分a44 內 積分 上下 a120 數 a40 a121 積分而言a44 是常數a41a44 計算出 a121 積分後a44 得 數 a120 數a44 再 a120 積分a44 時 積分上下 數a44 故最 後 積分 數a46 a40a50a41 先 a120 積分a44 再 a121 積分 積分a58 a90 a100 a99 a90 a104a50a40a121a41 a104a49a40a121a41 a102a40a120a59a121a41a1
12、00a120a100a121 a61 a90 a100 a99 a34a90 a104 a50a40a121a41 a104a49a40a121a41 a102a40a120a59a121a41a100a120 a35 a100a121 a53 中 數 于振華 經 微積分a40a57a53 年度a41 元 a53a48a58 積分與平 上 積 積分 數 a100a120a100a121a44 內往 依 積分a44 內 積分 上下 a121 數 a40 a120 積分而言a44 是常數a41a44 計算出 a120 積分後a44 得 數 a121 數a44 再 a121 積分a44 時 積分上下
13、 數a44 故最 後 積分 數a46 例a50a46 試 積分 a90 a52 a48 a90 a120 a48 a50 a40a120 a43 a49a41a40a121 a43 a49a41a100a121a100a120 a60解a62 根據積分 數 型式 a100a121a100a120a44 是 個先 a121a44 再 a120 積分 積分a44 故根據積分 數 a44 並 a121 積分 上下 a44 乃 a120 數a44 代入積分 數 a121 後a44 得 式 a61 a90 a52 a48 a34a90 a120 a48 a50 a40a120 a43 a49a41a40
14、a121 a43 a49a41a100a121 a35 a100a120 a61 a90 a52 a48 a20 a50 a120 a43 a49 a108a110a40a121 a43 a49a41 a21a120 a121a61a48 a100a120 a61 a90 a52 a48 a50 a120 a43 a49a91a108a110a40a120 a43 a49a41a0a108a110a49a93a100a120 a61 a90 a52 a48 a50a108a110a40a120 a43 a49a41 a120 a43 a49 a100a120 乃 數 a120 積分a46 a5
15、4 中 數 于振華 經 微積分a40a57a53 年度a41 元 a53a48a58 積分與平 上 積 接著a44 根據 a117 a61 a108a110a40a120 a43 a49a41a59 a100a117 a61 a49a120 a43 a49a100a120 代入 a44 以 冪 a44 上式得 式 a61 a90 a52 a48 a50a108a110a40a120 a43 a49a41a124 a123a122 a125 a117 a49 a120 a43 a49a100a120a124 a123a122 a125 a100a117 a61 a91a108a110a40a12
16、0 a43 a49a41a93a50 a12a12 a12a52a120a61a48 a61 a40a108a110a53a41a50 a0a40a108a110a49a41a50 a61 a40a108a110a53a41a50 乃 數a46 應 a46 平 域 積 設 域 a82 a97 a20 a120 a20 a98a59 a103a49a40a120a41 a20 a121 a20 a103a50a40a120a41 乃 個以垂 方 述 域a44 a46 先a44 根據 經 a44 上 於 數 域 積公式a44 得 a82 積 a61 a90 a98 a97 a91上 數a0下 數a
17、93a100a120 a61 a90 a98 a97 a91a103a50a40a120a41a0a103a49a40a120a41a93a100a120 a55 中 數 于振華 經 微積分a40a57a53 年度a41 元 a53a48a58 積分與平 上 積 根據 述 積分 義a44 被積 數 a49 且積分 a100a121a100a120 積分 a90 a98 a97 a90 a103a50a40a120a41 a103a49a40a120a41 a100a121a100a120 a61 a90 a98 a97 a20 a121 a12a12 a12a103a50a40a120a41a
18、121a61a103 a49a40a120a41 a21 a100a120 a61 a90 a98 a97 a91a103a50a40a120a41a0a103a49a40a120a41a93a100a120 a44 上述 式a44 得 a82 積 a61 a90 a98 a97 a90 a103a50a40a120a41 a103a49a40a120a41 a100a121a100a120 且 a82 述式 a40垂 方 a41 列出 應 積 分 a40 a100a121a100a120a41a46 a44 若 域 a82 a58 a40 a99 a20 a121 a20 a100a59 a
19、104a49a40a121a41 a20 a120 a20 a104a50a40a121a41 亦 a44 個以 平方 述 域a44 a46 先a44 根據 平 方 方式 積 公式a44 以 a44 得 a82 積 a61 a90 a100 a99 a91 數a0左 數a93a100a121 a61 a90 a100 a99 a91a104a50a40a121a41a0a104a49a40a121a41a93a100a121 a56 中 數 于振華 經 微積分a40a57a53 年度a41 元 a53a48a58 積分與平 上 積 被積 數 a49 且積分 a100a120a100a121 積
20、分 a90 a100 a99 a90 a104a50a40a121a41 a104a49a40a121a41 a100a120a100a121 a61 a90 a100 a99 a20 a120 a12a12 a12a104a50a40a121a41a120a61a104 a49a40a121a41 a21 a100a121 a61 a90 a100 a99 a91a104a50a40a121a41a0a104a49a40a121a41a93a100a121 故a44 上 式a44 得 a82 積 a61 a90 a100 a99 a90 a104a50a40a121a41 a104a49a4
21、0a121a41 a100a120a100a121 且 a82 述式 a40 平方 a41 列出 應 積 分 a40 a100a120a100a121a41a46 a49a46 域 a82 述方式與 應 積分 要 致a44 亦 a44 垂 方 述時a44 積分 a100a121a100a120a59 平方 述時a44 積分 a100a120a100a121a46 a50a46 若不明 指 積分 時a44 域 a82 積 表 成 a90a90 a82 a100a65 例a51a46 試 a121 a61 a120a50 與 a121 a61 a120a51 所圍出 域 積a46 a57 中 數
22、于振華 經 微積分a40a57a53 年度a41 元 a53a48a58 積分與平 上 積 a60解a62 a40a49a41 出 域 a82a44 以便 述 a82a46 根據 經 a44 先 交 a44 得 域 圍a44 亦 a44 令 a120a50 a61 a120a51 亦 於 a120a50a40a120a0a49a41 a61 a48 得 a120 a61 a48a59a49 故 a48 a20 a120 a20 a49 a40a49a41 接著a44 a120 圍內固 a120a44 a121 圍a44 亦 a44 上下 數a44 個方式是a44 a120 a61 a49a50
23、a44 代入 a50 個 a121a44 得 a18a49 a50 a19a51 a61 a49a56 a60 a49a52 a61 a18a49 a50 a19a50 故 a120a51 a20 a121 a20 a120a50 a40a50a41 a44 根據 a40a49a41 式與 a40a50a41 式a44 以垂 方 述a44 得 域 a82 a58 a40 a48 a20 a120 a20 a49a59 a120a51 a20 a121 a20 a120a50 a49a48 中 數 于振華 經 微積分a40a57a53 年度a41 元 a53a48a58 積分與平 上 積 a46
24、 a40a50a41 a82 積a46 根據 a82 述方式a44 個垂 方 述a44 以 應 積分 a100a121a100a120a44 得 a82 積 a61 a90 a49 a48 a90 a120a50 a120a51 a100a121a100a120 a61 a90 a49 a48 a32 a121 a12a12 a12a120 a50 a121a61a120a51 a33 a100a120 a61 a90 a49 a48 a40a120a50 a0a120a51a41a100a120 a61 a18a49 a51a120 a51 a0 a49 a52a120 a52 a19a12
25、a12 a12a12a49 a48 a61 a49a51 a0 a49a52 a61 a49a49a50 例a52a46 給 個 積分 a90 a50 a48 a90 a52 a121a50 a100a120a100a121 a40a97a41 試 出 積分所表 域 a82a46 a40a98a41 試以 個積分 表 a82 積a46 a40a99a41 試 明 種表 應得 積a46 a49a49 中 數 于振華 經 微積分a40a57a53 年度a41 元 a53a48a58 積分與平 上 積 a60解a62 a40a97a41 根據給 積分 a100a120a100a121a44 得 a1
26、21 圍 a48 a20 a121 a20 a50 且 於 a121 圍內固 a121a44 a120 圍 a121a50 a20 a120 a20 a52 故得 平方式 述 域 a82 a58 a40 a48 a20 a121 a20 a50 a121a50 a20 a120 a20 a52 a46 a40a98a41 根據 a44 亦 以形成垂 方 a44 a120 a61 a48 a44 至 a120 a61 a52a44 故得 a120 圍 a48 a20 a120 a20 a52 且 於 個固 a120a44 方 圍 a121 a61 a48 a44 至曲線 a120 a61 a12
27、1a50a59a121 a21 a48 上 a121 值a44 經 兩邊 根號a44 亦 於 a121 a61 a112a120a44 故得 a121 圍 a48 a20 a121 a20 a112a120 a44 以垂 方式 述a44 得 域 a82 a58 a40 a48 a20 a120 a20 a52 a48 a20 a121 a20 a112a120 a49a50 中 數 于振華 經 微積分a40a57a53 年度a41 元 a53a48a58 積分與平 上 積 並 得 a82 積 a61 a90 a52 a48 a90 a112a120 a48 a100a121a100a120 個
28、 垂 方 述所 應 積分 a100a121a100a120 積 分a44 與給 積分 積分 域 上 不 a44 c142 認 種不 述方式a44 是 a46 a40a99a41 先a44 給 積分a44 先 a120 積分a44 再 a121 積 分a44 得 a82 積 a61 a90 a50 a48 a90 a52 a121a50 a100a120a100a121 a61 a90 a50 a48 a40a52a0a121a50a41a100a121 a61 a18 a52a121 a0 a49a51a121a51 a19a12a12 a12a12a50 a48 a61 a56a0 a56a
29、51 a61 a49a54a51 接著a44 根據 a40a98a41 中 積分a44 先 a121 積分a44 再 a120 積 分a44 得 a82 積 a61 a90 a52 a48 a90 a112a120 a48 a100a121a100a120 a61 a90 a52 a48 a112a120a100a120 a61 a50a51a120a51a61a50 a12a12 a12a12a52 a48 a61 a50a51a40a52a41a51a61a50 a61 a50a51a40a56a41 a61 a49a54a51 a49a51 中 數 于振華 經 微積分a40a57a53
30、年度a41 元 a53a48a58 積分與平 上 積 致 結 a44 且必 致a44 是計算 個 域 積a46 a46 例暗 經 適 積分 改 a44 出 來積 分 下不易計算 積分a44 例a53a46 例a53a46 試 積分 a90 a51 a48 a90 a51 a121 a101a120a50a100a120a100a121 a60解a62 先a44 認 積分 積分 與積分 是 致 a44 亦 a44 先 a120 積分a44 積分 上下 個 a121 數a59 再 a121 積分a44 積分 上下 數a46 但先 a120 積分時a44 被積 數 a101a120a50 代入 所
31、a50a120a44 故 接積 分a44 亦 a44 積分 a100a120a100a121 時a44 不 能a46 故a44 積分 改成 a100a121a100a120a44 亦 a44 要以不 方式 新 述 a82a44 下述a46 根據 式a44 是以 平方 述 a82a44 得 a82 a58 a40 a48 a20 a121 a20 a51 a121 a20 a120 a20 a51 a46 而 域亦 以垂 方 述a44 得垂 方 a120 a61 a48 a44 至 a120 a61 a51a44 故 a120 圍 a48 a20 a120 a20 a51 a49a52 中 數
32、于振華 經 微積分a40a57a53 年度a41 元 a53a48a58 積分與平 上 積 且 於 個固 a120a44 方 圍 a121 a61 a48 a44 至 線 a120 a61 a121 上 a121 值a44 亦 於 a121 a61 a120a44 故 a121 圍 a48 a20 a121 a20 a120 併上述 式a44 以垂 方 述a44 得 域 a82 a58 a40 a48 a20 a120 a20 a51 a48 a20 a121 a20 a120 a44 根據 應 積分 a100a121a100a120a44 得 式 a61 a90 a51 a48 a90 a1
33、20 a48 a101a120a50a100a121a100a120 被積 數 a101a120a50 a44 但是 改成先 a121 積分後a44 a120 被積 數 被視 常數a44 使得先 a121 積分是 行 a44 並 代入積分 上下 後a44 上式得 式 a61 a90 a51 a48 a101a120a50 a1a121 a12a12 a12a12a120 a121a61a48 a100a120 a61 a90 a51 a48 a120a101a120a50a100a120 乃 數 積分a46 時 以代入 a120 積分時 所 a120 亦出 了a44 故根據 a117 a61
34、a120a50a59 a100a117 a61 a50a120a100a120 a49a53 中 數 于振華 經 微積分a40a57a53 年度a41 元 a53a48a58 積分與平 上 積 代入 a44 上式得 式 a61 a49a50 a90 a51 a48 a101a120a50a124a123a122a125 a101a117 a1a50a120a100a120a124 a123a122 a125 a100a117 a61 a49a50a101a120a50 a12a12 a12a12a51 a48 a61 a49a50a101a57 a0 a49a50 a49a54 中 數 于振華
