1、求曲线的方程 重点 难点 求曲线方程的方法 步骤 几何条件的代数化 复习回顾 2 练习 1 设A 2 0 B 0 2 能否说线段AB的方程为x y 2 0 2 方程x2 y2 0表示的图形是 1 复习曲线的方程和方程的曲线的概念 3 证明已知曲线的方程的方法和步骤 1曲线上的点的坐标都是方程的解 2以方程的解为坐标的点都在曲线上 由两点间的距离公式 点M所适合条件可表示为 将上式两边平方 整理得 x 2y 7 0 我们证明方程 是线段AB的垂直平分线的方程 1 由求方程的过程可知 垂直平分线上每一点的坐标都是方程 解 2 设点M1的坐标 x1 y1 是方程 的解 即 x 2y1 7 0 x1
2、7 2y1 解 设M x y 是线段AB的垂直平分线上任意一点 也就是点M属于集合 例1 设A B两点的坐标是 1 1 3 7 求线段AB的垂直平分线的方程 分析 利用坐标法求曲线方程要先有 或建立 坐标系 在具体问题中 一种是给定了坐标系 另一种是没给定坐标系 需自己建立适当的坐标系 即点M1在线段AB的垂直平分线上 由 1 2 可知方程 是线段AB的垂直平分线的方程 点M1到A B的距离分别是 由上面的例子可以看出 求曲线 图形 的方程 一般有下面几个步骤 说明 一般情况下 化简前后方程的解集是相同的 步骤 5 可以省略不写 如有特殊情况 可适当予以说明 既审查验证特殊情况 另外 也可以省
3、略步 2 直接列出曲线方程 1 建系设动点 建适当的坐标系 用实数对 x y 表示所求曲线上任意一点M的坐标 求谁设谁 2 列几何条件 写出适合条件p的点M集合P M p M 3 坐标代换 用坐标表示条件p M 列出方程f x y 0 4 化简 化方程f x y 0为最简形式 5 证明 说明化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上 例2 已知一条直线l和它上方的一个点A 点A到l的距离是2 一条曲线也在l的上方 它上面的每一点到A的距离减去到l的距离的差都是2 建立适当的坐标系 求这条曲线的方程 取直线l为x轴 过点A且垂直于直线l的直线为y轴 建立坐标系xOy 解 2 列式 3 代换 4 化简
4、5 审查 1 建系设点 因为曲线在x轴的上方 所以y 0 所以曲线的方程是 设点M x y 是曲线上任意一点 MB x轴 垂足是B 通过上述两个例题了解坐标法的解题方法 明确建立适当的坐标系是求解曲线方程的基础 同时 根据曲线上的点所要适合的条件列出等式 是求曲线方程的重要环节 严格按步骤解题是基本能力 x y 解 由题意知A a 0 B a 0 分析 求轨迹方程时 要充分挖掘图形的几何性质 寻找形成曲线的条件所包含的等量关系 设点C x y C x y B a 0 x A a 0 0 法1 故三点不共线 点C的纵坐标y 0 法2 由A B C三点不共线 A B C 法3 连结OC A B C
5、 分析4 如图 设C x y B a 0 y C x y x A a 0 0 分析 利用坐标法求曲线方程要先有 或建立 坐标系 在具体问题中 一种是给定了坐标系 另一种是没给定坐标系 需自己建立适当的坐标系 如何建立适当坐标系呢 探索性练习 已知线段AB的长为6 动点P到A B的距离平方和为26 求动点P的轨迹方程 课本P37习题2 1A组第3题 建立适当坐标系的基本原则 结论 1 坐标系不同虽曲线形状一样其方程却不同 2 要注意选择几何图形与坐标系的适当相对位置 以简化方程形式 本节学习了一种方法 直接法求曲线方程 求曲线方程时 这五个步骤不一定要全部实施 如第二步 第五步 注意 1 建标要适当 2 化简变形要考查等价与否 即考察曲线的完备性和纯粹性 直接法求曲线方程五个步骤的实质是将产生曲线的几何条件逐步转化为含动点坐标的代数方程的过程 因此求曲线方程时要注意挖掘题中形成曲线的等量关系 归纳与小结
