1、第六章 向量代数与空间解析几何习题详解复习题A一 、判断正误:1、 若且，则； ( )解析 =0时，不能判定或例如，有，但2、 若且，则； ( )解析 此结论不一定成立例如，则，但3 、若，则或； ( )解析 两个相互垂直的非零向量点积也为零4、 ( )解析 这是叉积运算规律中的反交换律二、选择题:1 、 当与满足（ D ）时，有； (为常数)； ； 解析 只有当与方向相同时，才有(A)中，夹角不为0，(B)，(C)中，方向可以相同，也可以相反2、下列平面方程中，方程( C )过轴；(A) ； (B) ； (C) ； (D) 解析 平面方程若过轴，则，故选C3 、在空间直角坐标系中，方程所表示
2、的曲面是( B )；(A) 椭球面； (B) 椭圆抛物面； (C) 椭圆柱面； (D) 单叶双曲面解析 对于曲面，垂直于轴的平面截曲面是椭圆，垂直于轴或轴的平面截曲面是开口向下的抛物线，根据曲面的截痕法，可以判断曲面是椭圆抛物面4、空间曲线在面上的投影方程为( C )； (A)； (B)； (C) ；(D)解析 曲线与平面平行，在面上的投影方程为5 、直线与平面的位置关系是( B )(A) 垂直； (B) 平行； (C) 夹角为； (D) 夹角为解析 直线的方向向量=2，1，-1，平面的法向量=1，-1，1，=2-1-1=0，所以，直线与平面平行三、填空题:1、若，则 ， 0 ；解 =，=02
3、、与平面垂直的单位向量为 ；解 平面的法向量 =1，-1，2与平面垂直，其单位向量为=，所以，与平面垂直的单位向量为3、过点和且平行于轴的平面方程为 ；解 已知平面平行于轴，则平面方程可设为 ，将点 (-3，1，-2)和(3，0，5)代入方程，有 得 ，即 4、过原点且垂直于平面的直线为；解 直线与平面垂直，则与平面的法向量 =0，2，-1平行，取直线方向向量=0，2，-1，由于直线过原点，所以直线方程为 5、曲线在平面上的投影曲线方程为 解: 投影柱面为 ，故 为空间曲线在平面上的投影曲线方程四、解答题:1、 已知，计算(a) ； (b) ； (c) ；解: (a) =.(b) ，所以(c)
4、 ，所以2、已知向量的始点为，终点为，试求：(1)向量的坐标表示； (2)向量的模；(3)向量的方向余弦； (4)与向量方向一致的单位向量解: (1) ；(2)；(3) 在三个坐标轴上的方向余弦分别为；(4)3、设向量，求与和都垂直的单位向量.解： 令，故与、都垂直的单位向量为.4、向量垂直于向量和，且与的数量积为，求向量解： 垂直于与，故平行于，存在数使 因，故， .5、求满足下列条件的平面方程： (1)过三点，和；(2)过轴且与平面的夹角为解 (1)解1： 用三点式所求平面的方程为，即解2： 用点法式，由题设知，所求平面的法向量为，又因为平面过点，所以所求平面方程为，即解3： 用下面的方法
5、求出所求平面的法向量，再根据点法式公式写出平面方程也可因为，所以解得，于是所求平面方程为，即 （2）因所求平面过轴，故该平面的法向量垂直于轴，在轴上的投影，又平面过原点，所以可设它的方程为，由题设可知（因为时，所求平面方程为又，即这样它与已知平面所夹锐角的余弦为 ，所以），令，则有，由题设得，解得或，于是所求平面方程为或6、 一平面过直线且与平面垂直，求该平面方程；解法1： 直线在平面上，令=0，得 ，=4，则（0，-，4）为平面上的点设所求平面的法向量为=，相交得到直线的两平面方程的法向量分别为 =1，5，1，=1，0，-1，则直线的方向向量=-5，2，-5，由于所求平面经过直线，故平面的法
6、向量与直线的方向向量垂直，即 =-5，2，-5=0，因为所求平面与平面垂直，则=0，解方程组 所求平面方程为 ，即解法2： 用平面束（略）7、求既与两平面和的交线平行，又过点的直线方程.解法1：，从而根据点向式方程，所求直线方程为，即.解法2：设，因为，所以；又，则，可解，从而根据点向式方程，所求直线方程为，即.解法3：设平面过点，且平行于平面，则为的法向量，从而的方程为，即同理，过已知点且平行于平面的平面的方程为故所求直线的方程为8、 一直线通过点，且垂直于直线，又和直线相交，求该直线方程；解： 设所求直线的方向向量为，因垂直于，所以；又因为直线过点，则所求直线方程为 ，联立由，令，则有代入
7、方程有可得，代入解得， 因此，所求直线方程为9、 指出下列方程表示的图形名称：(a) ；(b) ；(c) ；(d) ；(e) ； (f) 解： (a) 绕轴旋转的旋转椭球面(b) 绕z轴旋转的旋转抛物面 (c) 绕轴旋转的锥面(d) 母线平行于轴的两垂直平面：， (e) 母线平行于轴的双曲柱面 (f) 旋转抛物面被平行于面的平面所截得到的圆，半径为，圆心在（0，0，2）处10、求曲面与所围立体在平面上的投影并作其图形解： 将所给曲面方程联立消去，就得到两曲面交线的投影柱面的方程，所以柱面与平面的交线所围成的区域即为曲面与所围立体在平面上的投影(图略)复习题B1、设，求以和为邻边的平行四边形的面
8、积.解： .2、设，求.解： 由已知可得：，即 ，这可看成是含三个变量、及的方程组，可将、都用表示，即 ，从而，.3、求与共线，且的向量解 由于与共线，所以可设，由，得，即，所以，从而4、 已知，求，使且解法1: 待定系数法设，则由题设知及，所以有由得 ，由得 ，将和代入得，解得，于是 或解法2: 利用向量的垂直平行条件，因为，所以设是不为零的常数，则，因为，所以，解得，所以或解法3: 先求出与向量方向一致的单位向量，然后乘以，故与方向一致的单位向量为于是，即或5、求曲线的参数式方程.解： 曲线参数式方程是把曲线上任一点的坐标都用同一变量即参数表示出来，故可令，则6、求曲线在面上及在面上的投影
9、曲线的方程解： 求在面上的投影的方程，即由的两个方程将消去，即得关于面的投影柱面的方程则在面上的投影曲线的方程为同理求在面上的投影的方程，即由的两个方程消去，得关于面的投影柱面的方程，则在面上的投影曲线方程为7、已知平面过点和直线，求平面的方程解法1： 设平面的法向量为，直线的方向向量，由题意可知，是直线上的一点,则在上，所以,故可取则所求平面的点法式方程为 ，即为所求平面方程解法2： 设平面的一般方程为，由题意可知，过点，故有, （1）在直线上任取两点，将其代入平面方程，得 , （2） , （3）由式（1）、（2）、（3）解得,故平面的方程为.解法3： 设为上任一点由题意知向量、和共面，其中
10、为直线上的点，为直线的方向向量因此，故平面的方程为，即为所求平面方程8、求一过原点的平面，使它与平面成角，且垂直于平面解： 由题意可设的方程为，其法向量为，平面的法向量为，平面的法向量为，由题意得，即 （1）由，得，将代入（1）式得,解得或，则所求平面的方程为 或 9、求过直线：且平行于直线：的平面的方程解法1： 直线的方向向量为，直线的对称式方程为，方向向量为，依题意所求平面的法向量且，故可取，则，又因为过原点，且在平面上，从而也过原点，故所求平面的方程为解法2： 设所求平面为 ，即，其法向量为，由题意知，故，得，则所求平面的方程为另外，容易验证不是所求的平面方程10、求过直线：且与球面相切
11、的平面方程解： 设所求平面为 ，即 ，由题意：球心到它的距离为1，即 解得： 或 所求平面为： 或 11、求直线：在平面：上投影直线的方程，并求直线绕轴旋转一周而成的曲面方程.解： 将直线：化为一般方程 ，设过直线且与平面垂直的平面方程为，则有，即，平面方程为，这样直线的方程把此方程化为：，因此直线绕轴旋转一周而成的曲面方程为：即 .12、求过点且平行于平面：，又与直线相交的直线L的方程解法1： 用点向式方程.因为直线L平行于平面，故直线的方向向量垂直于平面的法向量，从而得 ，又直线的方向向量为，是直线上一点，是直线上一点，根据题设：直线与直线相交，所以及共面，因此，即 ，将和联立解得，由此得
12、 ，于是所求直线方程为解法2： 用一般式，即先求出过的两个平面，将其方程联立便得的方程直线在过点且平行于平面的平面上，平面的方程为，即，直线又在过点及直线的平面上，平面的法向量可取为，故平面的方程为，即 ，于是所求直线方程为13、求直线：与直线：的公垂线的方程解： 的方向向量而的方向向量于是公垂线的方向向量，过与的平面的法向量.也可取法向量，以代入方程，可得上的点，于是平面方程 ，即再求与的交点，的参数方程为，代入上述平面方程，得： ，再代回的参数方程得，于是，兼顾公垂线的方向向量，于是可产生公垂线的方程为.14、求点到直线：的距离.解法1：直线的方向向量为，在上任取一点，则，故，又，解法2：将直线的方程由一般式化为标准式得，故过点与直线垂直的平面的方程为， 即 ，直线的参数式方程为：，将上式代入平面的方程，得：，解得：，所以直线的交点为2，于是点到直线的距离为.15.求两直线：与：之间的最短距离解法1：过作平面，过的平面方程为，即，要此平面平行于，则此法向量须垂直于，即，而，则，解得：，从而平面的方程为，容易得到直线上一点，点到平面的距离为即为与之间的距离.解法2：容易得到直线上的一点，直线上的一点，于是，可求得直线与直线的方向向量分别为，两直线公垂线的方向向量为，直线与之间的距离为.14
