1、2009年上海市高考数学试卷（理科）一、填空题（共14小题，每小题4分，满分56分）1若复数z满足z（1+i）=1i（i是虚数单位），则其共轭复数=_【测量目标】复数的基本概念；复数代数形式的四则运算.【考查方式】化简复数等式，求解一个复数的共轭复数.【难易程度】中等【参考答案】i【试题解析】设zabi，则（abi）(1+i) =1i，即ab（ab）i1i，（步骤1）由，解得a0，b1，所以zi，i，故答案为i（步骤2）2已知集合A=x|x1，B=x|xa，且AB=R，则实数a的取值范围是_【测量目标】集合的基本运算.【考查方式】给出两个集合，已知集合间的关系，运用数轴法求解集合中未知参数的取
2、值范围【难易程度】容易【参考答案】a1【试题解析】因为AB=R，画数轴可知，实数a必须在点1上或在1的左边，所以，有a1.第2题图 3若行列式中，元素4的代数余子式大于0，则x满足的条件是_【测量目标】矩阵初步.【考查方式】根据代数余子式的概念，列出关于x的不等式求出取值范围.【难易程度】中等【参考答案】x【试题解析】依题意，得： (1)2(9x24)0，解得：，故答案为：x.4某算法的程序框如下图所示，则输出量y与输入量x满足的关系式是_ 第4题图 【测量目标】选择结构程序框图.【考查方式】给出程序框图，按照程序框图的执行流程分析循环过程，判断输入值与输出值之间的关系.【难易程度】容易【参考
3、答案】【试题解析】根据流程图所示的顺序，程序的作用是分段函数的函数值其中输出量y与输入量x满足的关系式是，故答案为：.5如图，若正四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面边长为2，高为4，则异面直线BD1与AD所成角的大小是_.（结果用反三角函数值表示）第5题图 【测量目标】异面直线所成的角.【考查方式】给出正四棱柱的边长及高，判断正四棱柱中两条异面直线所成角的值.【难易程度】容易【参考答案】arctan【试题解析】先画出图形将AD平移到BC，则D1BC为异面直线BD1与AD所成角，（步骤1）BC=2，D1C=，tanD1BC=，D1BC=arctan，故答案为arctan（步骤2）第5题图 6函
4、数y=2cos2x+sin2x的最小值是_【测量目标】三角函数的最值.【考查方式】给出三角函数，通过化简求解函数的最小值.【难易程度】中等【参考答案】1【试题解析】=1+（步骤1）当=2k，有最小值1，故答案为1.（步骤2）7某学校要从5名男生和2名女生中选出2人作为上海世博会志愿者，若用随机变量表示选出的志愿者中女生的人数，则数学期望E_（结果用最简分数表示）【测量目标】离散型随机变量的期望与方差【考查方式】给出数学实例，结合变量对应的事件写出分布列求出期望【难易程度】容易【参考答案】【试题解析】用随机变量表示选出的志愿者中女生的人数，可取0，1，2，当=0时，表示没有选到女生；当=1时，表
5、示选到一个女生；当=2时，表示选到2个女生，（步骤1）P（=0）=.P（=1）=.P（=2）=（步骤2）E=0=故答案为：.（步骤3）8已知三个球的半径R1，R2，R3满足R1+2R2=3R3，则它们的表面积S1，S2，S3，满足的等量关系是_【测量目标】球的表面积.【考查方式】给出三个球的半径之间的关系，根据面积公式推出表面积之间的关系.【难易程度】中等【参考答案】【试题解析】因为=4R12，所以，同理：，（步骤1）即R1=，R2=，R3=，由S1+S2=3R3得，故答案为：.（步骤2）9已知F1、F2是椭圆C：（ab0）的两个焦点，P为椭圆C上一点，且若PF1F2的面积为9，则b=_【测量
6、目标】椭圆的简单几何性质.【考查方式】给出椭圆上的一点与椭圆两交点之间的位置关系，及它们所形成的三角形面积求解椭圆方程中b的值.【难易程度】中等【参考答案】3【试题解析】依题意，有，可得即故有.10在极坐标系中，由三条直线=0，cos+sin=1围成图形的面积等于_【测量目标】坐标系与参数方程.【考查方式】给出直线的参数方程，转化为普通方程后求解直线与坐标轴所形成的三角形面积.【难易程度】容易【参考答案】【试题解析】化为普通方程，分别为：y0，yx，xy1，画出三条直线的图像如右图，（步骤1）可求得A（，），B（1,0），三角形AOB的面积为：（步骤2）第10题图 11当时，不等式sinxkx
7、恒成立则实数k的取值范围是_【测量目标】不等式恒成立问题.【考查方式】给出x在一定区间内，不等式恒成立的关系式，利用图像得到k的范围.【难易程度】中等【参考答案】k2【试题解析】设m=sinx，n=kx，x0，根据题意画图得：mn恒成立即要m的图像要在n图像的上面，当x=时即x=时相等，所以此时k=2，所以k2，故答案为k2.第11题图 12已知函数f（x）=sin x+tan x，项数为27的等差数列an满足an（,），且公差d0，若f（a1）+f（a2）+f（a27）=0，则当k=_时，f（ak）=0【测量目标】函数的奇偶性.【考查方式】利用奇函数的性质及等差数列的性质求解综合性问题.【难
8、易程度】中等【参考答案】14【试题解析】因为函数f（x）=sinx+tanx是奇函数，所以图像关于原点对称，图像过原点（步骤1）而等差数列an有27项，an（,）若f（a1）+f（a2）+f（a3）+f（a27）=0，则必有f（a14）=0，所以k=14故答案为：14.（步骤2）13某地街道呈现东西、南北向的网格状，相邻街距都为1两街道相交的点称为格点若以互相垂直的两条街道为轴建立直角坐标系，现有下述格点（2，2），（3，1），（3，4），（2，3），（4，5），（6，6）为报刊零售点请确定一个格点（除零售点外）_为发行站，使6个零售点沿街道到发行站之间路程的和最短【测量目标】两点间距离公式的
9、应用.【考查方式】利用两点间的距离公式判断实际问题中的最短路线问题.【难易程度】中等【参考答案】（3，3）【试题解析】设发行站的位置为（x，y），零售点到发行站的距离为z，则z=2|x+2|+|y2|+2|x3|+|y1|+|y4|+|y3|+|x4|+|y5|+|x6|+|y6|，（步骤1）这六个点的横纵坐标的平均值为，（步骤2）记A（2，），画图可知发行站的位置应该在点A附近，代入附近的点的坐标进行比较可知，在（3，3）处z取得最小值.故答案为（3，3）（步骤3）第13题图 14将函数（x0，6）的图像绕坐标原点逆时针方向旋转角（0），得到曲线C若对于每一个旋转角，曲线C都是一个函数的图像
10、，则的最大值为_【测量目标】函数图像的性质.【考查方式】给出曲线函数解析式，通过围绕原点旋转，判断旋转角与函数关系式之间的关系.【难易程度】中等【参考答案】【试题解析】先画出函数（x0，6）的图像这是一个圆弧，圆心为M（3，2）由图可知当此圆弧绕坐标原点逆时针方向旋转角大于MAB时，曲线C都不是一个函数的图像MAB=故答案为：.第14题图 二、选择题（共4小题，每小题4分，满分16分）15 “2a2”是“实系数一元二次方程x2+ax+1=0有虚根”的（ ）A必要不充分条件 B充分不必要条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件【测量目标】充分、必要条件.【考查方式】给出两个命题判断它们之间的关系
11、【难易程度】容易【参考答案】A【试题解析】实系数一元二次方程x2+ax+1=0有虚根，=a240，解得2a2，（步骤1）“2a2”是“2a2”的必要不充分条件，（步骤2）故选A16若事件E与F相互独立，且P（E）=P（F）=，则P（EF）的值等于（）A0 B C D【测量目标】相互独立事件的概率乘法公式【考查方式】给出相互独立事件的概率，由相互独立事件的概率计算公式P（EF）=P（E）P（F），求解.【难易程度】容易【参考答案】B【试题解析】故选B17有专业机构认为甲型H1 N1流感在一段时间没有发生大规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过15人”根据过去10天甲、乙、丙、丁
12、四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是 （）A甲地：总体均值为6，中位数为8 B乙地：总体均值为5，总体方差为12C丙地：中位数为5，众数为6 D丁地：总体均值为3，总体方差大于0【测量目标】用样本数字特征估计总体数字特征.【考查方式】运用均值、中位数、众数、方差的数值特征对整体数字特征进行估计【难易程度】容易【参考答案】B【试题解析】假设连续10天，每天新增疑似病例的人数分别为x1，x2，x3，x10并设有一天超过15人，不妨设第一天为16人，根据计算方差公式有s2= （165）2+（x25）2+（x35）2+（x105）212，说明乙地连续10天，每天新增疑似病例的人数都不超过15人故选
13、B18过圆C：（x1）2+（y1）2=1的圆心，作直线分别交x、y正半轴于点A、B，AOB被圆分成四部分（如图），若这四部分图形面积满足SI +SIV= SII + S则直线AB有 （ ）A0条 B1条 C2条 D3条第18题图 【测量目标】直线与圆的位置关系.【考查方式】给出已知圆方程，讨论过圆心把圆分割的面积成等量关系的直线的条数.【难易程度】中等【参考答案】B【试题解析】由已知，得：SIVSII=SSI，由图形可知第II，IV部分的面积分别为S正方形OECFS扇形ECF=1 和S扇形ECF= ，所以，SIVSII为定值，即SSI为定值，（步骤1）当直线AB绕着圆心C移动时，只可能有一个位
14、置符合题意，即直线AB只有一条（步骤2）故选B三、解答题（共5小题，满分78分）19如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AA1=BC=AB=2，ABBC，求二面角的大小第19题图 【测量目标】向量在几何中的应用；二面角.【考查方式】给出直三棱柱棱长的长度及其之间的关系，求解直三棱柱中二面角的大小.【难易程度】中等【试题解析】如图，建立空间直角坐标系则A（2，0，0），C（0，2，0），A1（2，0，2），B1（0，0，2），C1（0，2，2），(步骤1)设AC的中点为M，BMAC，BMCC1BM平面A1C1C，即=（1，1，0）是平面A1C1C的一个法向量（步骤2）设平面A1B1C的一个法向
15、量是=（x，y，z）=（2，2，2），=（2，0，0），（步骤3）令z=1，解得x=0，y=1=（0，1，1），（步骤4）设法向量与的夹角为，二面角B1A1CC1的大小为，显然为锐角cos=|cos|=，解得：=二面角B1A1CC1的大小为（步骤5）第19题图 20有时可用函数f（x）=，描述学习某学科知识的掌握程度其中x表示某学科知识的学习次数（xN*），f（x）表示对该学科知识的掌握程度，正实数a与学科知识有关（1）证明：当x7时，掌握程度的增长量f（x+1）f（x）总是下降；（2）根据经验，学科甲、乙、丙对应的a的取值区间分别为（115，121，（121，127，（127，133当学习某
16、学科知识6次时，掌握程度是85%，请确定相应的学科【测量目标】分段函数【考查方式】求解分段函数在实际问题中的应用问题.【难易程度】容易【试题解析】证明：（1）当x7时，（步骤1）而当x7时，函数y=（x3）（x4）单调递增，且（x3）（x4）0故函数f（x+1）f（x）单调递减，当x7时，掌握程度的增长量f（x+1）f（x）总是下降（步骤2）（2）由题意可知0.1+15ln=0.85（步骤3）整理得解得，由此可知，该学科是乙学科.（步骤4）21已知双曲线，设直线l过点.（1）当直线l与双曲线C的一条渐近线m平行时，求直线l的方程及l与m的距离；（2）证明：当k时，在双曲线C的右支上不存在点Q，
17、使之到直线l的距离为【测量目标】双曲线的简单几何性质，直线与双曲线的位置关系.【考查方式】给出双曲线方程及直线l与双曲线的位置关系，求解直线方程及直线与双曲线渐近线的距离，探讨双曲线上是否存在一点使得在直线斜率一定的情况下，点到直线的距离为一定值.【难易程度】中等【试题解析】（1）双曲线C的渐近线，即直线l的方程（步骤1）直线l与m的距离（步骤2）（2）设过原点且平行于l的直线b：kxy=0，则直线l与b的距离，（步骤3）当又双曲线C的渐近线为，（步骤4）双曲线C的右支在直线b的右下方，双曲线C的右支上的任意点到直线l的距离大于故在双曲线C的右支上不存在点Q（x0，y0）到到直线l的距离为（步
18、骤5）22已知函数y=f（x）的反函数定义：若对给定的实数a（a0），函数y=f（x+a）与互为反函数，则称y=f（x）满足“a和性质”；若函数y=f（ax）与互为反函数，则称y=f（x）满足“a积性质”（1）判断函数g（x）=x2+1（x0）是否满足“1和性质”，并说明理由；（2）求所有满足“2和性质”的一次函数；（3）设函数y=f（x）（x0）对任何a0，满足“a积性质”求y=f（x）的表达式【测量目标】反函数.【考查方式】给出一种关于函数的新定义，讨论新定义的具体应用.【难易程度】较难【试题解析】（1）函数g（x）=x2+1（x0）的反函数是，（步骤1）而g（x+1）=（x+1）2+1（
19、x1），其反函数为，故函数g（x）=x2+1（x0）不满足“1和性质”（步骤2）（2）设函数f（x）=kx+b（xR）满足“2和性质”，k0，（步骤3）而 f（x+2）=k（x+2）+b（xR），得反函数，（步骤4）由“2和性质”定义可知 =，对（xR）恒成立k=1，bR，即所求一次函数f（x）=x+b（bR）（步骤5）（3）设a0，x00，且点（x0，y0）在y=f（ax）图像上，则（y0，x0）在函数图像上，故，可得 ay0=f（x0）=af（ax0），（步骤6）令 ax0=x，则，即（步骤7）综上所述，此时，其反函数是，而，故y=f（ax）与互为反函数（步骤8）23已知an是公差为d的等
20、差数列，bn是公比为q的等比数列（1）若an=3n+1，是否存在m、kN*，有am+am+1=ak？说明理由；（2）找出所有数列an和bn，使对一切n，并说明理由；（3）若a1=5，d=4，b1=q=3，试确定所有的p，使数列an中存在某个连续p项的和是数列bn中的一项，请证明【测量目标】等差数列与等比数列的综合应用；等差数列的性质.【考查方式】利用等差、等比数列的性质，求解数列各项之间的关系的综合性问题.【难易程度】较难【试题解析】（1）由am+am+1=ak，得6m+5=3k+1，(步骤1)整理后，可得，m、k，k2m为整数，不存在m、k，使等式成立（步骤2）（2）设an=nd+c，若，对
21、n都成立，且bn为等比数列，则，对n都成立，（步骤3）即anan+2=qan+12，（dn+c）（dn+2d+c）=q（dn+d+c）2，对n都成立，d2=qd2（步骤4）（i）若d=0，则an=c0，bn=1，n（ii）若d0，则q=1，bn=m（常数），即，则d=0，矛盾综上所述，有an=c0，bn=1，使对一切n，（步骤5）（3）an=4n+1，bn=3n，n，设am+1+am+2+am+p=bk=3k，p、k，m，（步骤6），p、k，p=3s，s（步骤7）取k=3s+2，4m=32s+223s3=，由二项展开式可得整数M1、M2，（步骤8）使得（41）2s+2=4M1+1， =8M2+,4m=4（M12M2）(+1)2，存在整数m满足要求故当且仅当p=3s，s，命题成立（步骤9）
