1、第二章 分离变量法一 齐次偏微分方程的分离变量法1 有界弦的自由振动（1） 考虑两端固定的弦振动方程的混合问题 )(|),(|0,00,122 xutlt tlatt 这个定解的特点是：偏微分方程是齐次的，边界条件是齐次的。求解这样的方程可用叠加原理。类似于常微分方程通解的求法先求出其所有线性无关的特解，通过叠加求定解问题的解。所谓 具有分离变量的形式，即),(txu)(),(tTxXt把 带入方程中，可得到常微分方程定),(TXt解为：),(txu1),(nt lxnltaDlaCn n1 si)icos其中： ，ln dxlnC0si)(2lnxaD02 离变量法的解题步骤可以分成三步：(
2、一) 首先将偏微分方程的定解问题通过分离变量转化为常微分方程的定解问题。(二) 确定特征值与特征函数。(三) 求出特征值和特征函数后，再解其它的常微分方程，将所得的解与同一特征值报骊应的特征函数相乘得到所有分离变量的特解。3 有限长杆上的热传导设有一均匀细杆，长为 ，比热为 ，热传导系数为 ，lck杆的侧面是绝缘的，在杆的一端温度保持为 0 度，另一端杆的热量自由散发到周围温度是 0 的介质中，杆与介质的热交换系数为 ，已知杆上的初温分布为 ，求杆上温0k)(x度的变化规律，也就是要考虑下列问题：(2.18)0,22 tlxuat (2.19),(,0)( hu），（ (2.20)(xu其中
3、，cka2 0h注意到此定解问题中方程和边界条件均是齐次的，因此仍用分离变量法来求解。设 ，代入方程（2.18）得：)(),(tTxXtu)( taT上式右端不含 ，左端不含 ，所以只有当两端均为常数时才能相等。令此常数为 ，则有：（2.21）0)()( xX（2.22）2 tTat所齐次边界条件可得：（2.23）0)()(,0)( lhl从而特征值问题: )(,)()( lXlXx对 的取值分三种情况 ， 进行讨论。0,04 极坐标系下位势方程的分离变量法如果求解区域是圆域、圆柱域等，在直角坐标系下，其边界不能用分离变量形式的方程来表示，进行分离变量就会受阻。然而若转换坐标，例如圆形域换成极
4、坐标系后，其边界方程为 ，符合分离变量的要求。因此，当0求解域为圆、扇形、球、圆柱等定解问题时，通过选取适当的坐标系，可以排除用分离变量法的障碍。例如 一个半径为 的薄圆盘，上下两面绝缘，圆周0边缘温度分布为已知，求达到稳定状态下圆盘内的温度分布。二、非齐次方程的的解法1 非齐次方程的特征函数法可分离变量法要求方程是齐次、边界条件也为齐次（位势方程例外）如果上述条件之一破坏，则不能采用分离变量法解。对于齐次方程具有齐次边界条件的定解问题，因其通解可表示为其特征函数 的线性组合，即)(xXn,.)21，由此推断非齐次方程具有齐次),(txu1)(nntTC边界条件定解问题也可由特征函数列 线性表
5、出，即)(xn求形式解， 为待定函数。),(txu1)(nnXttTn由此，在齐次边界条件下的非齐次的定解问题，只要将其解及方程的自由项均按相应的齐次方程的特征函数展开，就可以求出其形式解。因此，这个方法就称为特征函数法。2 非齐次边界条件的齐次化不论是用分离变量法，还是用特征函数法，都要求定解问题的边界条件是齐次的，这是因为用分离变量法或特征函数法都要将特征函数叠加起来，如果边界条件非齐次，则通过叠加后的函数就不可能满足原边界条件。所以当边界条件是非齐次时，必须设法将边界条件化成齐次的。例如 将定解问题 )(0,()(,)(212xutgtlgtfatxt的边界条件齐次化。设 ，通过适当选取
6、 使),(),(),(tWtVtx),(txW新的未知函数满足齐次边界条件，这只须使 满足：，)(,0(11tgt)(,21tgtl即可。3 问题LiouvleStrn用分离变量法争定解问题必须导出特征值问题，并将定解问题的解表示成特征函数系构成的无穷级数。现在看问题的一般提法和主要结论。iouvleStrn方程 0)()()( yxpqdxyk（2.38） ，称为 型方程。其中)(bxaLiouvleStrn为待定实参数， ， ， 为已知函数，且在)(xpq)(xk上 ， ， ，当 时， 0，,k ,ba)(xp， 0，而 至多是 及 的一级 0 点；)(xq)(ba,)(在 上连续，在端点
7、至多是一级极点。,ba方程（2.38）与定解条件所构成的定解问题称为问题。任一个 问题的特LiouvleStrnLiouvleStrn征值和特征函数满足如下性质：（1）在可数无穷多个值 ，.21n。与每一个特征值相应的线性无关的特征nlim函数只有一个；（2） ；0n（3）设 是任意两个不同的特征值，则相应的特nm征函数 和 在 上带权 正交，即有：)(xy,ba)(xp0)(dypbanm（4）特征函数系 在区间 上构成一个完备xn,系，也就是说，对任意一个在 上有一阶连续导数及分,段二阶连续导数的函数 ，只要它满足特征值问题中的)(f边界条件中，则它可按特征函数系 展开成绝对且一)(xyn致收敛的级数 1)()(nff其中 。banndxypff)(2
