1、 http:/ 中小学教育资源站百万套试题免费下载！中小学教育资源站 1分式方程意义及解法一、内容综述：1解分式方程的基本思想在学习简单的分式方程的解法时，是将分式方程化为一元一次方程，复杂的（可化为一元二次方程）分式方程的基本思想也一样，就是设法将分式方程“转化”为整式方程即分式方程 整式方程 转 化2解分式方程的基本方法(1)去分母法去分母法是解分式方程的一般方法，在方程两边同时乘以各分式的最简公分母，使分式方程转化为整式方程但要注意，可能会产生增根。所以，必须验根。产生增根的原因：当最简公分母等于 0 时，这种变形不符合方程的同解原理(方程的两边都乘以或除以同一个不等于零的数，所得方程与
2、原方程同解)，这时得到的整式方程的解不一定是原方程的解检验根的方法：（1） 将整式方程得到的解代入原方程进行检验，看方程左右两边是否相等。（2） 为了简便，可把解得的根直接代入最简公分母中，如果不使公分母等于 0，就是原方程的根；如果使公分母等于 0，就是原方程的增根。必须舍去注意：增根是所得整式方程的根，但不是原方程的根，增根使原方程的公分母为 0用去分母法解分式方程的一般步骤：(i)去分母，将分式方程转化为整式方程；(ii)解所得的整式方程；(iii)验根做答(2)换元法为了解决某些难度较大的代数问题，可通过添设辅助元素（或者叫辅助未知数）来解决辅助元素的添设是使原来的未知量替换成新的未知
3、量，从而把问题化繁为简，化难为易，使未知量向已知量转化，这种思维方法就是换元法换元法是解分式方程的一种常用技巧，利用它可以简化求解过程用换元法解分式方程的一般步骤：(i)设辅助未知数，并用含辅助未知数的代数式去表示方程中另外的代数式；(ii)解所得到的关于辅助未知数的新方程，求出辅助未知数的值；(iii)把辅助未知数的值代回原设中，求出原未知数的值；(iv)检验做答注意：(1)换元法不是解分式方程的一般方法，它是解一些特殊的分式方程的特殊方法。它的基本思想是用换元法把原方程化简，把解一个比较复杂的方程转化为解两个比较简单的方程。（2）分式方程解法的选择顺序是先特殊后一般，即先考虑能否用换元法解
4、，不能用换元法解的，再用去分母法。（3）无论用什么方法解分式方程，验根都是必不可少的重要步骤。二、例题精析：例 1解分式方程： 。1242xx分析：解分式方程的思路是把方程去分母化为整式方程。解：方程两边都乘以 x(x+2)，约去分母，得x+4-x=2(x+2)+x(x+2)整理后，得 x2+4x=0解这个方程，得 x1=0, x2=-4,代入公分母检验：当 x1=0 时，x(x+2)=0 (0+2)=0, x=0 是增根；http:/ 中小学教育资源站百万套试题免费下载！中小学教育资源站 2当 x2=-4 时，x(x+2)=-4(-4+2)0, x=-4 是原方程的根。故原方程的根是 x=-
5、4。例 2解方程： 。8645397xx分析：本题中各个分式的分子与分母是同次多项式，故从中析出一个整数来（用拆分分式的方法） ， ；考虑方程中有四个分式，可以移项后利用公式 把分式拆项，21x ba1将方程化简。解： 82659xx即 ，1212x移项，整理，得 ，58xx即 ，)(65)(98x亦即 ，11x去分母，得(x-6)(x-5)=(x-9)(x-8)，去括号，整理，得 x=7.经检验，x=7 是原方程的根。 原方程的根是 x=7。例 3解方程 。321543xx解法 1：方程两边都乘以(x+4)(x+5)(x+2)(x+3)，去分母，得(x+3) 2(x+5)(x+2)-(x+4
6、)2(x+2)(x+3)=(x+1)(x+4)(x+5)(x+3)-(x+2) 2(x+4)(x+5)即 4x+14=0, ，7x经检验知 是原方程的解。2解法 2：方程两边分别通分，得，)3(2)1()4(5)3(22xx即 ，)(3)(1x (x+5)(x+4)=(x+2)(x+3)解得 。27x解法 3：利用拆分分式的方法将原来的方程变形。原方程可化为 3121541xx即： ，35x两边分别通分，得 ，)(3)(xxhttp:/ 中小学教育资源站百万套试题免费下载！中小学教育资源站 3解之，得 。27x例 4解方程 。06)(5)(x解：设 ， 则原方程变形为 y2-5y+6=0,xy
7、解得 y1=2, y2=3,由 =2，解得 x1=4;由 ，解得 x2=3.3x经检验 x1=4, x2=3，都是原方程的根。例 5用换元法解方程 .x35422解：设 2x2+3x+y，于是原方程变为 ,y整理，得 y2-4y-5=0解得 y1=5, y2=-1.当 y=5 时，即 2x2+3x=5,解得 x1=1, ,5当 y=1 时，2x 2+3x=-1，解得 x3=-1, ,214经检验， 都是原方程的根。,x 原方程的根为 。,151432x例 6解方程 。76032x分析：利用方程左边结构特点，构造一元二次方程来解。解：设 ，所以原方程变形为：y+ =7,yx2 y10整理得：y
8、2-7y+10=0解得 y1=2, y2=5，当 y1=2 时，即 ，x 1=0, x2=2;36当 y2=5 时， ，52x即 x2-5x+9=0 （0 ，此方程无实根）经检验，x 1=0, x2=2 是原方程的解。例 7解方程 .1)(3)(x分析：此方程初看起来容易把， 而实际上 ，232)1()x视 为 21)(2xx所以 .但是 ,就是说原方程可变形为22)1()(xx (2xhttp:/ 中小学教育资源站百万套试题免费下载！中小学教育资源站 4, 变形后才可用换元法解此方程。32)1(x1)(x解：原方程可化为 321)(x即 , 设 , 则原方程可化为：2y 2-3y-5=005
9、)()(2xxy解得 y1=-1, y2= , 当 y=-1 时， ,x去分母整理，得 x2+x+1=0解这个方程，0, 方程无解。当 y= 时， , 去分母整理，得 2x2-5x+2=055解得 x1=2, ,2经检验，x 1=2, 都是原方程的根。 原方程的根是 x1=2, 。2注意：切勿把 。2)1()(x看 作例 8若分式方程 有增根 x=2，求 a 的值。042a分析：将方程 的两边同乘以最简公分母(x+2)(x-2)，得 a(x+2)+1+2(x+2)x(x-2)=0，若分式方程有增根 x=2，则 x=2 一定是整式方程 a(x+2)+1+2(x+2)(x-2)=0 的根，代入之即可求出 a。解：原分式方程去分母，得 a(x+2)+1+2(x+2)(x-2)=0把 x=2 代入所得方程，得 4a+1+0=0, a=- ,41当 a=- 时, x=2 是原分式方程的增根。41
