1、第7章计数原理JI SHU YUAN LI 计数原理两个基本原理 5排列 11组合 21二项式定理 31二项式定理 31 二项式系数的性质 3341计数原理 第7章 谓数为难穷，斯可；谓数为不可穷，斯不可.何则？彼其冥冥之中，固有昭昭者存. 李治：测圆海镜序深信有待探索的自然界是有规律的.相信基本规律是简明单纯的. 爱因斯坦下图是某城市的街道西北角是某同学的家，东南角是学校，问从家经东西5条街南北4条街到学校（最短距离）有几种走法？ 在计算机中，是以二进制（只有0、1两个数码，逢二进一）串作为存储单元的地址的。如果一台计算机的存储器有一百万个单元，那么表示地址的二进制串必须要多长才能使每个单元
2、都有它自己的地址呢？从古到今，人们在社会生活的各个方面都常需要进行计数，如电话号码的编排、密码的设定、彩票设计、集成电路的布线安排，以及电子计算机的程序编制，等等本章中，我们将研究 怎样用数学模型刻画计数问题？ 如何利用计数模型解决实际问题？ 7.1 两个基本原理 调查某市职工和农民家庭中按人均月收入划分的户数如下户数500以下500元以上合计城市职工8221229农民413358771合计4215791000根据这组数据分别估计在该市任取一家庭，其人均月收入在500以下元的概率和在该市任取两个家庭，其中一个家庭人均月收入在500以下，另一家庭人均月收入在500元以上的概率。 上述两个问题有怎
3、样的区别？他们都是计数问题，但在问题（1）中，任选一种方法都能达到完成事件的目的，而在问题（2）中，必须分为两个步骤，依次连续完成全部的步骤，才能达到完成该事件的目的首先考察问题（1）乘坐汽车有3班，每一班汽车都可以完成从甲地到乙地这件事，而乘火车有2班，每一班火车也都能完成从甲地到乙地这件事，所以共有 3 + 2 = 5种不同的走法再考察问题（2）必须经过先从甲地走到乙地，再从乙地到丙地两个步骤，才能完成从甲地经乙地到丙地这件事从甲地走到乙地有3走法，从乙地到丙地有2种走法所以，从甲地经乙地到丙地共有2 5 = 10种不同的走法（图7-1-1） 一般地，我们有分类加法计数原理又称为加法原理分
4、类加法计数原理 完成一件事，有n类方式，在第1类方式中有m1种不同的方法，在第2类方式中有m2种不同的方法在第n类方式中有mn种不同的方法那么完成这件事共有N = m1 + m2 + + mn种不同的方法和分步乘法计数原理又称为乘法原理分步乘法计数原理 完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法做第n步有mn种不同的方法那么完成这件事共有N = m1 m2 mn种不同的方法 例1 某班共有男生28名、女生20名，欲从该班选出学生代表参加校学代会（1）若学校分配给该班1名代表，有多少种不同的选法？（2）若学校分配给该班男、女生代表各1名，有多少种不同的选
5、法？解 （1）选出1名代表有2类办法：第1类办法是从男生中选出1名代表，有28种方法；第2类办法是从女生中选出1名代表，有20种方法根据分类加法计数原理，不同的选法种数是N = m1 + m2 = 28 + 20 = 48（2）选出男、女生代表各1名，可以分成2个步骤完成：第1步，选1名男生代表，有28种方法；第2步，选1名女生代表，有20种方法根据分步乘法计数原理，选出男、女生代表各1名，不同的选法种数是N = m1 m2 = 28 20 = 560答 选出1名代表有48种不同的选法；选出男、女生代表各1名，有560种不同的选法 例2 要从甲、乙、丙3名工人中选出2名分别上日班和晚班，有多少
6、种不同的选法？分析 我们可以从甲、乙、丙3名工人中任选1人上日班，再从余下的两人中任选1人上晚班为了便于分析，可画出如下的树图：丙甲乙乙甲丙甲乙丙画树形图可清楚地显示选法的情况解 从3名工人中选出2名分别上日班和晚班，可以分两个步骤来完成：第1步，先从甲、乙、丙3名工人中任选1名上日班，共有3种选法；第2步，从余下的2名工人中任选1名工人上晚班，有2种选法根据分步乘法计数原理，所求的不同的选法数是N = 3 2 = 6答 从3名工人中选出2名分别上日班和晚班，有6种不同的选法例 3 （1）在图7.1.3的电路中，只合上一只开关以接通灯泡，有多少种不同的方法？（2）在图7.1.2中，分别在A、B
7、中各合上一只开关以使电路接通，有多少种不同的通电线路？图7.1.4图7.1.3解 （1）在图7.1.3按要求接通灯泡，只要在A中的两个开关或B中的三个开关中合上一只开关，就能使灯泡接通。故有2+3=5种不同的方法。（2）在图7.1.4中，按要求接通灯泡必须分两步进行：第一步，合上A中的一只开关，第二步，再合上B中的一只开关。故有23=6种不同的通电线路。答 图7.1.3的电路中，只合上一只开关以接通灯泡，有5种不同的方法，图7.1.2中，分别在A、B中各合上一只开关以使电路接通，有6种不同的通电线路。例4 许多网站提供免费电子信箱的服务为了确保电子信箱的安全，在注册时，通常要设置电子信箱密码（
8、1）甲网站规定：信箱密码为4位，每位均为0到9这10个数字中的一个数字那么在甲网站可注册多少个免费电子信箱？（2）乙网站规定：信箱密码为4位，每位是0到9这10个数字中的一个，或是从A到Z这26个字母中的1个那么在乙网站可注册多少个免费电子信箱？ （3）丙网站规定：信箱密码为46位，每位均为0到9这10个数字中的一个那么在丙网站可注册多少个免费电子信箱？ 解 （1）设置四位密码，每一位上都可以从0到9这10个数字中任取一个，有10种取法根据分步乘法计数原理，四位密码的个数是N = 10 10 10 10 = 10 000（2）设置四位密码，每一位上都可以从0到9这10个数字或从字母A到Z这26
9、个字母中任取一个，共有10 + 26 = 36种取法根据分步乘法计数原理，四位密码的个数是N = 36 36 36 36 = 1 679 616（3）设置一个由0到9这10个数字组成的46位密码，有3类办法：第一类办法是设置4位密码；第二类办法是设置5位密码；第三类办法是设置六位密码第一类办法可以设置4位密码的个数为m1 = 10 10 10 10 = 104；同理，第二、三类办法可以设置5，6位密码的个数分别为m2 = 105，m3 = 106根据分类加法计数原理，设置由数字0到9组成的46位密码的个数是N = m1 + m2 + m3 = 104 + 105 + 106 = 1 110 0
10、00答 在甲、乙和丙网站分别可注册10 000，1 679 616，1 110 000个免费电子信箱思 考在甲、乙、丙三个网站中申请免费电子信箱，哪一个网站比较安全？练 习1乘坐公共交通工具从甲地到相距较远的乙地，可以乘飞机，也可以乘火车，还可以乘长途汽车一天中，飞机有2个航班，火车有4班，长途汽车有10班那么一天中，乘坐这些公共交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法？ 2手表厂为了供应更多新颖款式的手表，为统一的机芯设计了4种形状的外壳、2种颜色的表面及3种形状的数字，问： （1）可分为几个步骤考虑手表款式的种数？ （2）完成每个步骤分别有几种方法？ （3）共有几种不同的款式？3几个朋友出
11、其不意地造访小李，此时正是晚饭时间小张迅速看了一下食品储藏室和冰箱中的存货：4种肉食、7种蔬菜、3种面包和2种土豆食品问：小李能做出多少种由一种肉食、一种蔬菜、一种面包和一种土豆组成的不同饭菜？4某街道社区有甲、乙、丙3名青年志愿者，要从他们3人中选出两人分别参加于下周六和下周日举行的青年志愿者活动，共有多少种不同的选法？5现有高中一年级的学生4名，高中二年级的学生5名，高中三年级的学生3名（1）从中任选1人参加夏令营，有多少种不同的选法？（2）从3个年级的学生中各选1人参加夏令营，有多少种不同的选法？甲丙乙（第6题）6如图，从甲地到乙地有3条陆路可走，从乙地到丙地有2条陆路可走，又从甲地不经
12、过乙地到丙地有2条水路可走 （1）从甲地经乙地到丙地有多少种不同的走法？ （2）从甲地到丙地共有多少种不同的走法？74名学生报名参加数学、计算机、航模兴趣小组，每人选报1种，则不同的报名种数有（ ） A 种 B种 C3 2 1种 D4 3 2种习题 71 感受理解 1为了准备晚饭，小张找出了3种冷冻蔬菜、5种罐装蔬菜和4种不同的新鲜蔬菜如果晚饭时小张只上一种蔬菜，那么共有多少种可能的选择？2在选修课程目录中，一个学生在选修系列3中发现了4门有趣的课程，在选修系列4中发现了6门有趣的课程如果这个学生决定在选修系列3和选修系列4中各选一门有趣的课程作为新学期的选修课，那么他有多少种可能的选择？3如
13、图，从甲地到乙地有3条路，从乙地到丁地有2条路；从甲地到丙地有2条路，从丙地到丁地有4条路从甲地到丁地共有多少种不同的走法？AB（第4题）甲丁丙（第3题）乙4如图，一条电路在从A处到B处接通时，可以有多少条不同的线路？5（1）连续抛掷一颗骰子两次，用树图画出正面朝上的点数的所有可能 （2）第一次抛壹元币，第二次抛伍角币，第三次抛壹角币，试用树图画出三次抛掷后三种硬币向上是正面或是反面的所有可能6从1，2，3，4四个数字中，每次取出两个数字组成两位数（1）若两位数中的数字不许重复使用，那么能得到多少个不同的两位数？（2）若两位数中的数字允许重复使用，那么能得到多少个不同的两位数？7用1，5，9，
14、13中任意一个数作分子，4，8，12，16中任意一个数作分母，可构造多少个不同的分数？可构造多少个不同的真分数？8（1）乘积 (a + b + c + d)(m + n)(x + y + z) 展开后共有多少项？ （2）aibj 共有多少项？AB（第10题）9如图，从A沿街道走到B，使路程最短的走法有多少种？ABCDEF（第9题） 思考运用 10如图，从A沿街道走到B，使路程最短的走法有多少种？11以正方形的四个顶点中某一顶点为起点、另一个顶点为终点作向量，则可以作出多少个不同的向量？12（1）在平面直角坐标系内，横坐标与纵坐标均在A = 0, 1, 2, 3, 4, 5内取值的不同点共有多少
15、个？ （2）在平面直角坐标系内，其方程的斜率在集合B = 1, 3, 5, 7内取值，与轴交点的纵坐标即截距在集合C = 2, 4, 6, 8内取值的不同直线共有多少条？13（1）4名同学分别报名参加学校的足球队、篮球队、乒乓球队，每人限报其中的1个运动队，不同报名方法的种数是多少？ （2）3个班分别从5个风景点中选择1处游览，不同选法的种数是多少？ 探究拓展 14如果使用1个字母后接4个数字的方式构成汽车牌照，那么可能的汽车牌照有多少个？为什么目前这种构成方式已不能满足要求？调查你所在地区的汽车牌照（或电话号码、身份证号码等）的构成方式的变迁，新的构成方式有什么优点？ 7.2 排列 江苏-1
16、5选5风采-数据分析表说明：A区-1-3；B区-4-6；C区-7-9；D区-10-15 期号开奖结果奇号偶号奇偶偏差奇号连续偶号连续大号小号大小偏差最大号码最小号码极号间距邻号间距号码和值尾数和值AC值连号个数连号组数质号个数尾数组数平均值遗漏总值遗传号码A区B区C区D区200421602,03,05,13,15 4133023-115021383818321437.60002102200421701,02,05,06,11 3240014-411011052515342345.00322201200421801,05,07,10,15 4172023-515011453818400247.6
17、0521112200421904,07,08,10,13 2360132-41304934222321258.40820122200422002,07,10,11,14 2350032-314021254414321358.80821013200422103,05,09,11,13 50103032-213031044121200448.201211112200422201,02,03,08,09 32110023-30901852323252254.60623020200422302,04,10,11,14 1480232-214021264111421248.208111032004224
18、02,03,04,12,15 2370123-315021383616331247.201422102200422504,06,11,13,14 2361132-214041054818321249.601210203期号开奖结果奇号偶号奇偶偏差奇号连续偶号连续大号小号大小偏差最大号码最小号码极号间距邻号间距号码和值尾数和值AC值连号个数连号组数质号个数尾数组数平均值遗漏总值遗传号码A区B区C区D区期数合计28226952426-21332211154376176302210264275.207615131072010平均值2.802.200.600.900.502.402.60-0.2013
19、.302.2011.105.4037.6017.603.002.201.002.604.207.527.601.501.301.000.702.00第 1 页 / 总共 1 页 上一页 下一页 某城市的一种彩票的规则是：将写有1到9九个数字规格相同的小球放入摇奖器内，依次随机摇出5个小球，当彩票号码与摇出的小球的号码（包括顺序）全部相同时，中一等奖，当彩票号码中有四个数字（包括顺序）相同时，中二等奖。一彩民买一张彩票，中一等奖和中二等奖的概率各有多大？设摇出的所有号码组成集合A，则中一等奖的概率为,中二等奖的概率为，那么 用怎样的数学模型处理这种计数问题？计算Card(A)就是确定从1到9九个
20、数字中依次抽取5个数字组成的五位数的个数，为简便起见，我们先研究将1到3三个数字依次抽出的情形： 将所有可能的情形用树形图表示：31 22 112 33 221 33 1第1个数第2个数第3个数图7-2-1即共有6种不同的结果：123，132，213，231，312，321。事实上，这6种填法都是将1，2，3三个数字按一定的顺序排成了一列，我们将它们叫做用1，2，3三个元素的一个排列。如果考虑从1到9这九个数字从任选5个排成一列，那么可得到12345，12346，12347，56789等排法，其中每一种排法都称为从1到9这九个数字中选取5个数字所成的一个排列。一般地，如无特别说明，取出若个元素
21、都是指无重复地选取 从n个不同的元素中取出m(mn)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列（Arrangement）例1 写出从a，b，c，d这4个元素中，每次取出2个元素的所有排列解 把a，b，c，d中的任意一个元素排在第一个位置上，有4种方法；第一个位置上的元素排好后，第二个位置上的元素就有3种排法若第一个位置是a，那么第二个位置可以是b，c，或d，有三种排法，即ab，ac，ad同理，第一个位置更换为b，c，或d，也分别各有三种排列，即abcbcdacdabddabc图7-2-3共计有12种不同的排列，它们是ab， ac， ad， ba， bc， bd，
22、ca， cb， cd， da， db， dc 例2 写出从a，b，c，d这4个元素中，每次取出3个元素的所有排列解 根据例1，从4个元素中每次取出2个元素的排列有12种，在每一种这样的排列后面排上其余两个元素的每一个，就得到取3个元素的所有排列可以画出树图如下图7-2-4abcbcdacdabddabccbbcaabaabaaddcddcddbccb共计有24种不同的排列，它们是abc， abd， acb， acd， adb， adc，bac， bad， bca， bcd， bda， bdc，cab， cad， cba， cbd， cda， cdb，dab， dac， dba， dbc， dc
23、a， dcb 按所给元素的先后顺序，依次考虑第一位、第二位、各个位置上所有可能的变化，既保证了所有的排列无重复无遗漏，又保证了每一个排列里的元素无重复无遗漏思 考 abc与acb是相同的排列吗？练 习1写出从a，b，c，d，e这 5个元素中任取2个元素的所有排列2用红、黄、蓝三面小旗（三面小旗都要用）竖挂在绳上表示信号，不同的顺序表示不同的信号试写出所有的信号3a，b，c，d排成一行，其中a不排第一，b不排第二，c不排第三，d不排第四，写出所有满足条件的排列4. 1986年1月28日，美国挑战者号航天飞机在发射72秒种后发生爆炸。事后宇航局发现问题出在火箭推进器中的密封圈发生了破裂。航天飞机的
24、每个推进器有3个密封圈，如果三个皆破裂，则火箭爆炸。试写出某推进器中的1，2，3号密封圈发生破裂的所有可能的排列。对3个元素的排列，我们很容易用树形图一一列举，但对从1到9九个数字从选出5个数字的所有排列，若用树形图列举就比较麻烦了。这时应该怎么办呢？从前面的排树形图的过程可以看出，处理排列问题可分步进行。对此问题可分3个步骤，从第1位到第3位分别选排：第1位可从这9个元素中任意取出一个来排，有9种方法；第2位从剩下的8个元素里任选一个来排，有8种排法；第3位从剩下的7个元素里任选一个来排，有7种排法（如图7-2-3）5种方法6种方法7种方法8种方法9种方法第1位 第2位 第3位 第4位 第5
25、位图7-2-5 三个位置排毕，构造一个排列的事件完成，根据乘法原理可知从9个元素中每次选取3个元素共可排成的排列的个数为9 8 7 65= 15120，即有15120种不同的排列一般地，我们把从n个不同元素中取出m（mn）个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号A表示，如A = 15120思 考“排列”与“排列数”有何区别与联系？对一般情况，从n个元素中，每次取出m个元素的排列，可把这m个元素所排列的位置划分为第1位，第2位，第m位（如图7-2-4）第1位 第2位 第3位 第m位n种方法n - 1种方法n - 2种方法图7-2-6n - m + 1种方法第1步
26、第1位可以从n个元素中任选1个来排，有n种方法；第2步 第2位只能在余下的n - 1个元素中任选1个来排，有n - 1种方法；第3步 第3位只能在余下的n - 2个元素中任选1个来排，有n - 2种方法；第m步 第m位只能在余下的n - (m - 1) 个元素中任选1个来排，有n - m + 1种方法m个位置排毕，事件完成，根据乘法原理，共有n(n - 1)(n - 2)(n - m + 1)种填法排列数符号A在有的书中记为P因此，我们得到排列数公式A = n(n - 1)(n - 2)(n - m + 1)，其中n，m N*，且mn排列数公式有如下特点：（1）它是m个连续正整数的积；（2）第
27、一个因数最大，它是A的下标n；（3）第m个因数，即最后一个因数最小，它是A的下标n减去上标m再加1n个不同元素全部取出的一个排列，叫做n个不同元素的一个全排列在排列数公式中，当m = n时，即有右边的第一个因数是n，后面的因数都比它前面一个因数少1，共有n个因数相乘A = n(n - 1)(n - 2)321，称为n的阶乘（Factorial），通常用n!表示，即A = n！ 例3 计算： （1）A； （2）A； （3）A； （4）A解 （1）A = 9 8 7 = 504（2）A = 5 4 3 2 1 = 120（3）A = 5 4 3 = 60（4）A = 35 34 33 32 = 1
28、 256 640CALCULATOR & EXCEL 当排列数较大时，可用计算器或计算机来计算（1）计算器计算排列数的方法nPrSHIFT=按35 4 键，得A = 1 256 640；=x!SHIFT按 5 键，得A = 5！= 120（2）在Excel中计算排列数的方法在单元格中输入“=PERMUT(35, 4)”，可得A = 1 256 640；或通过“插入/函数/PERMUT（或FACT）”来操作在单元格中输入“=FACT(5)”，可得A = 120图7-2-7A还可以这样计算，A = = 一般地，A = n(n - 1)(n - 2)(n - m + 1) = = 因此，排列数公式还
29、可以写成为了使公式在m = n时也能成立，我们规定0! = 1你能解释它的实际意义吗？A = 例4 计算：（1）； （2）解 （1）原式 = = = 1 （2）原式 = = = 1 例5 证明 (n + 1)! - n! = nn!，并且用它来化简1 1! + 2 2! + 3 3! + + 10 10!证明 因为(n + 1)! - n! = (n + 1) - 1 n! = n n!，所以等式成立1 1! + 2 2! + 3 3! + + 10 10! = (2! - 1!) + (3! - 2!) + (4! - 3!) + + (11! - 10!) = 11! - 1练 习1计算：
30、 （1）A； （2）A；（3）A - A； （4）2计算下表中的阶乘数，并填入表中：n2345678n!318 17 16 9 8等于（ ） AA BA CA DA4下列各式中，不等于n! 的是（ ） AA BA CA DnA5（1）计算 ； （2）已知 = 89，求n 例6 2004年，首届中超足球联赛共有12支球队参加，每队都要与其余各队在主、客场分别比赛1次，共要进行多少场比赛？ 一个排列对应一场比赛。分析 由于任何2队间进行1次主场比赛与1次客场比赛，表明比赛与主客场的顺序有关，所以本题相当于从12个不同元素中任取2个元素的一个排列解 原问题对应于从12个不同元素中任取2个元素的一个排
31、列，因此总共进行的比赛场次是A = 12 11 = 132（场）答 共要进行132场比赛 例7 （1）有5本不同的书，从中选3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？（2）有5种不同的书，要买3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？解 （1）从5本不同的书中选出3本分别送给3名同学，对应于从5个元素中任取3个元素的一个排列，因此不同送法的种数是A = 5 4 3 = 60注意“5本”和“5种”的差别，后者相当于可放回的（2）送给第个同学1本书有5种不同的选购方法，送给第2、第3个同学1本书，仍各有5种不同的选购方法，因此，根据乘法原理，送给3名同学每人各1本书的不同方法种
32、数是5 5 5 = 125答 分别有60种和125种不同的送法思 考上例中的两个问题有什么区别？另举一例加以说明 例8 用0到9这10个数字能组成多少个没有重复数字的三位数？解法1 （1）由于百位上的数字不能是0，因此百位的位置是一个特殊位置，可先排这个特殊位置上的数字，再排十位和个位上的数字，把这个问题分成两步完成：百位 十位 个位A种方法图7-2-6A种方法第1步 先排百位上的数字，它可从1到9这9个数字中任选1个，有A 种选法；第2步 再排十位和个位上的数字，它可从余下的9个数字中任选2个，有A 种选法（图7-2-6）根据乘法原理，所求的三位数的个数是AA = 9 9 8 = 648解法
33、2 由于0是一个特殊元素，因此可先排这个特殊元素，符合条件的三位数可以分成3类（图7-2-7）：百位 十位 0图7-2-6A种方法百位 十位 个位A种方法（1）（2）百位 0 个位A种方法（2）第1类 每一位数字都不是0的三位数有A 个；第2类 个位数字是0的三位数有A 个；第3类 十位数字是0的三位数有A 个根据加法原理，符合条件的三位数的个数是A + A + A = 648解法1与解法2为直接法，解法3为间接法解法3 从0到9这10个数字中任取3个数字的排列数为A，其中0在首位的排列数为A，这些排列不能构成三位数，因此，所求的三位数的个数是A - A = 10 9 8 - 9 8 = 64
34、8答 可以组成648个没有重复数字的三位数思 考在上面的648个数中，有多少个数是奇数？ 例9 2名女生、4名男生排成一排（1）2名女生相邻的不同排法共有多少种？（2）2名女生不相邻的不同排法共有多少种？解 （1）由于2名女生必须相邻，于是可以将2名女生看成1个元素，与4名男生共5个元素排成一排，不同的排法有A 种，又因为2名相邻的女生有A 种排法，因此不同的排法数共有A A = 120 2 = 240（2）分2步完成：第1步 将4名男生排成一排，有A 种排法；第2步 排2名女生，由于2名女生不相邻，于是可以在4名男生之间及两端共5个位置中选出2个排2名女生，有A 种排法根据乘法原理，不同的排
35、法种数共有A A = 24 20 = 480答 分别有240和480种不同的排法International Air Transport Association练 习1国际航空运输协会（IATA）通过任意选取三个英文字母作为一个机场的机场号，以标识该机场用这种方法一共可以得到多少个不同的机场号？2（1）有4种不同品种的梨树秧，每两种嫁接可以培育新品种，有几种不同的新品种？（2）有4种不同品种的蔬菜，从中选出3种，分别种植在不同土质的3块土地上进行试验，有多少种不同的种植方法？a类的10个元素叫做天干，b类的十二个元素叫做地支3按序给出a，b两类元素，a类是甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；
36、b类是子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥从a类里选奇数位的任一个排在首位，b类里选奇数位的任一个排在末位；又从a类里选偶数位的任一个排在首位，b类里选偶数位的任一个排在末位问这样两个元素的排列共有多少种？4按5粒不同弹子的排列顺序制造弹子锁，问能生产多少种不同的锁？5从0，1，2，3，4，5，6这7个数字里，每次取出4个来排列： （1）有多少种没有重复数字的排列？ （2）能组成多少个没有重复数字的四位数？6文娱晚会，学生的节目有9个，教师的节目有2个，若教师的节目不排在最后一个，有多少种排法？7同一排的电影票6张，3个教师3个学生，按下述要求入座，有多少种坐法？（1）师生相间； （
37、2）三个学生要连在一起习题72 感受理解 1写出从a，b，c，d，e这5个元素里每次取出3个元素的所有排列2（1）已知A = 10 9 5，那么m = ； （2）已知A = 56，那么n = 3计算：（1）4A + 5A； （2）A + A + A + A；（3）； （4） 4求下列各式中的n： （1）A = 10A； （2） = 435求证： = - ，并利用这一结果化简 + + + 6（1）一天有6节课，问一天的课程表有几种排法？（2）上午有4节课，一个教师要上3个班级的课，若不能连上3节，课程表有几种排法？712名选手参加校园歌手大奖赛，比赛设一等奖、二等奖、三等奖各一名，每人最多获得一
38、种奖次试问：获一、二、三等奖的选手一共有多少种可能？8将4位司机、4位售票员分配到四辆不同班次的公共汽车上，每一辆汽车分别有一位司机和一位售票员，共有多少种不同的分配方案？9电视台有8个节目准备分两天播出，每天播出4个，其中某电视剧和某专题报道必须于第一天播出，一个谈话节目必须在第二天播出，共有多少种不同的播出方案？102名教师和5名学生站成一排照相 （1）若中间的位置必须是教师，共有多少种不同的排法？ （2）若学生甲必须站在队伍的某一端，共有多少种不同的排法？ 思考运用 11（1）由数字1，2，3，4，5可以组成多少个没有重复数字的正整数？ （2）由数字1，2，3，4，5可以组成多少个没有重复数字，并且比13 000大的正整数？12（1）7个人站成一排，如果甲必须站在正中间，有多少种排法？（2）7个人站成一排，如果甲、乙2人必须站在两端，有多少种排法？（3）7人站成一排，甲必须站在乙的右边，有多少种排法？（4）7个小孩站成两排，其中3个女孩站在前排，4个男孩站在后排，有多少种排法？ （5）7个人站成
