1、第 1 页 共 78 页第 1 章 随机变量1 （1988 年、数学一、填空）若在区间（0，1）内任取两个数，则事件“两数之和小于 ”的概率为56（ ） 。答案 填： 2172 （1989 年、数学一、填空）设 A,B 为随机事件，且 P(A)=0.5, P(B)=0.6, P(BA)=0.8,则 P(A+B)=( )。答案 填：0.7P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A)P(BA)=0.5+0.6-0.50.8=0.73 （1990 年、数学一、填空)设 A,B 为随机事件，且 P(A)=0.4, P(B)=0.3, P(AB)=0.6,则 P( )=( )。BA答案 填：0.3由 =A
2、-AB 且 P(AB)=P(A)+P(B)- P(AB)=0.1BA得 P( )=P(A-AB)=P(A)-P(AB)=0.4-0.1=0.3.4 （1991 年、数学一、填空）向半圆 y ,( 0)内任掷一点且落在半圆内任何区域02xa的概率均与该区域的面积成正比。则该点与原点的连线与 x 轴的夹角小于 的概率为（ ） 。4答案 填： 125 （1992 年、数学一、填空）设 P(A)=P(B)=P(C)= ,P(AB)=0,P(AC)=P(BC)= ,则事件 A,B,C 都不发生4161的概率为（ ） 。第 2 页 共 78 页答案 填： 127设 =事件 A,B,C 都不发生，由 P(A
3、B)=0 且 ABC AB，可知CBA0P（ABC）P（AB）=0，得 P（ABC）=0，则P(ABC)=P（A）+ P（B）+ P（C）- P（AB）- P（BC）- P（AC）+ P（ABC）= 因此 P（ ）= 1- P(ABC)=1- =12512576 （1994 年、数学一、填空)设 A,B 为随机事件，且 P(A)=p, P（AB）= P（ ）, 则 P（B）=( )。A答案 填：1-p由 P（ ）=1-P（AB）=1-P（A）-P（B）+P（AB） ，根据条件BP（AB）= P（ ）且 P(A)=p，可知 P（B）=1-P(A)=1-p7 （1987 年、数学三、选择）设 A,
4、B 为两事件且 P（AB）= 0,则( )。. 与互斥 是不可能事件未必是不可能事件 P(A)=0 或 P（B）=0答案 选：概率为 0 的事件未必是不可能事件。这不难由“连续型随机变量在具体一点取值的概率恒为 0”看出。8 （1988 年、数学三、是非题）若事件 A，B，C 满足等式 A+C=B+C，则 A=B （ ） 。答案 填：非当三事件 A，B，C 满足 A+C=B+C 时，A=B 未必成立。如 A=1，2，3，B=1，2，4，C=2，3，4且 A+C=1，2，3，4，B+C=1，2，3，4，则 A+C=B+C，但是 AB.9 （1989 年、数学三、选择）若用事件 A 表示“甲产品畅
5、销，乙产品滞销” ，则事件 表示（ ） 。AA甲产品滞销，乙产品畅销 B. 甲、乙两产品均畅销. 甲产品滞销 甲产品滞销或乙产品畅销答案 选：D10 （1990 年、数学三、选择）设随机事件 A 与 B 满足 A B，则（ ）成立。AP（A+B）=P（A） B. P(AB)=P(A)第 3 页 共 78 页C. P(B|A)=P(B) D. P(B-A)=P(B)-P(A)答案 选 A11 （1990 年、数学三、计算）从 0 到 9 十个数字中任取三个不同的数字,求：事件 =三个数字中不含 0 和 5, =三个数字中不含 0 或 5的概率。1A2A解：设 =三个数字中不含 0， =三个数字中
6、不含 5，BB则 P（ ）=P（ ）= =1123108C57P（ ）=P（ + ）=P（ ）+P（ ）-P（ ） =2A12212B=31089310C5412 （1991 年、数学三、选择）设两事件与互斥，且 P（A）0，P（B）0，则（ ）正确A 与 互斥 B. 与 互容BABC. P（AB）=P（A）P（B） D. P（A-B）=P（A）答案 选：D13 （1992 年、数学三、选择）设两事件与同时发生时，事件 C 必发生，则（ ）成立。A. P(C) P(A)+P(B)-1 B. P(C) P(A)+P(B)-1C. P(C)=P(AB) D. P(C)=P(A+B) 答案 选：B事
7、件与同时发生时，事件 C 必发生，则 AB C,故 P(AB) P(C)由 P(A+B)= P(A)+P(B)- P(AB) 1，得 P(AB)= P(A)+P(B)- P(A+B) P(A)+P(B)-1即 P(C) P(AB) P(A)+P(B)-114 （1992 年、数学三、填空）若将 C,C,E,E,I,N,S 这七个字母任排一行，则排成 SCIENCE 的概率为（ ）答案 填： 1260第 4 页 共 78 页P= =7112121P 26015 (1993 年、 数学三、选择) 设两事件与满足 P(B|A)=1, 则（ ）正确。A. A 是必然事件 B. P(B| )=0AC.
8、A B D. A B答案 选：D 由 P(B|A)= =1,可知 P(AB)= P(A)，即知 A B。)(P16 (1996 年、数学三、计算)设方程 中的 b,c 分别是连掷两次一枚骰子先后出现的点数，02cbx求此方程有实根的概率和有重根的概率。解：方程 有实根，等价于 0，即 c ,有重2 cb4242b根等价于 =0.样本点总数为 64，通过一一列举（略）可知有利样cb42本点数分别为 19，2，则所求概率分别为 与 。3619217 （2000 年、数学三、选择）在电炉上安装了四个温控器，其显示温度的误差是随机的。在使用过程中，只要有两个温控器显示的温度不低于临界温度 ，电炉就断电
9、，以 E 表示0t事件“电炉断电”而 为四个温控器显示的按递增顺序4321T排列的温度值，则事件 E 等于（ ） 。 A. B. C. D. 1T0t20t30t4T0t答案 选：C18 （1987 年、数学四、选择）设 A,B 为两事件，则 P(A-B)=( )。A.P(A)-P(B) B. P(A)-P(B)+P(AB) 第 5 页 共 78 页C.P(A)-P(AB) D.P(A)+P(B)-P(AB)答案 选：CA-B=A-AB,且 A AB，则 P(A-B)=P(A-AB)=P(A)-P(AB)19 （1991 年、数学四、填空）设 A,B 为两事件且 P(A)=0.7, P(A-B
10、)=0.3,则 P( )=( )。AB答案 填：0.6P( )=1- P(AB)=1- P(A)+ P(A-B)=0.6AB20 (1992 年、 数学四、填空) 设 A,B,C 为随机事件且 P(A)= P(B)=P(C)=0.25,P(AB)=P(BC)=0，P(AC)=0.125, 则 A,B,C 至少出现一个的概率为（ ） 。答案 填：0.625由 0P(ABC) P(AB)=0, 则 P(ABC)=0,从而(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(BC)-P(AC)+P(ABC)=0.62521 （1997 年、 数学四、填空）设 A,B 为两任意事件,则 P(
11、+B)(A+B)( + )(A+ )=( )。AB答案 填：0由( +B)(A+B)( + )(A+ )=( +B)(A+ )(A+B) ( + )ABA=( A+B +AB+ )(A + B +A + B)=(AB+ )( A + B)=(AB)( A )+(AB)( B)+( )(A )+( )( B)BA=(AA)(B )+(A )（BB）+( A)(B )+( )(B )B=则所求为 P( )=022 (1987 年、数学一、填空)设在每次贝努利试验中，事件 A 发生的概率均为 p,则在 n 次贝努利试验中，事件 A 至少发生一次的概率为（ ） ，至多发生一次的概率为（ ） 。第 6
12、页 共 78 页答案 填：(1-(1-p) ); (1-p) +np(1-p) )nn1n由贝努利概型的概率计算公式， ，据题意可知，事件 A 至少发生一次的概率为 或 ，knknkpC)1( nnpC)(0事件 A 至多发生一次的概率为 = +knkkn)(10 n)1(011)(nnpC23 (1987 年、数学一、填空)三个箱子中，第一箱装有 4 个黑球 1 个白球，第二箱装有 3 个黑球 3 个白球，第三箱装有 3 个黑球 5 个白球。现先任取一箱，再从该箱中任取一球，问这球是白球的概率为（ ） ，取出的白球是属于第二箱的概率为（ ） 。答案 填：（1） ； （2） 1055320（1
13、）设 =任取一球是第 i 箱的，B=取得白球， 则由题意可知 P(B)iA=P( )P(B| )+P( )P(B| )+P( )P(B| )122A33A= = 853653 10（2）P( |B)= = 2A26)(2BP5324 （1988 年、数学一、填空)设在三次独立试验中，事件 A 出现的概率均相等且至少出现一次的概率为，则在一次试验中事件 A 出现的概率为（ ） 。2719答案 填： 31设所求概率为 p，由题意有 = ，则 p=303)1(pC279第 7 页 共 78 页25 （1988 年、数学一、填空)设甲乙两人独立地射击同一目标，其命中率分别为 0.6 与 0.5，则已命
14、中的目标是被甲射中的概率为（ ） 。答案 填：0.75设 A=目标是被甲射中的，B=目标是被乙射中的，则 AB=目标被射中则 P(A|AB)= = =0.75)(BAP)(AP26 （1993 年、数学一、填空)若从有 10 件正品 2 件次品的一批产品中，任取 2 次，每次取一个，不放回，则第二次取出的是次品的概率为（ ） 。答案 填： 61此为“抽签问题” （抽签结果与抽签顺序无关）的简单应用。27 （1996 年、数学一、填空)设 A,B 两厂产品的次品率分别为 1% 与 2%，现从 A,B 两厂产品分别占 60%与 40%的一批产品中任取一件是次品，则此次品是 A 厂生产的概率为（ ）
15、 。答案 填： 73设 A=任取一件产品是 A 厂生产的，B=任取一件产品是 B 厂生产的,C=任取一件产品是次品，则 P(A)=0.6,P(B)=0.4,P(C|A)=0.01,P(C|B)=0.02,由 Bayes 公式，所求即 P(C|A)= 7328 （1997 年、数学一、填空）袋子中装有 50 个乒乓球，其中 20 个黄的，30 个白的，现有两人依次随机地从袋中各取一球，取后不放回，则第二人取得黄球的概率是( )。答案 填： 5229 (1998 年、数学一、选择)设 A,B 为两事件，且 0P(A)1,P(B)0,P(B|A)=P(B| ),则（ ）成A立。第 8 页 共 78
16、页A. P(A|B)=P( |B) B. P(A|B)P( |B) AAC.P(AB)=P(A)P(B) D. P(AB) P(A)P(B)答案 选：C在等式 P(B|A)=P(B| )两端同时乘以 P(A)P( ),再考虑到 P( )=1- P(A)，展开即得30 （1999 年、数学一、填空）设两两相互独立的三个事件 A,B,C 满足条件:ABC=,P(A)=P(B)=P(C) ,且已知 P(A+B+C)= ,则 P(A)=( )。21169答案 填： 41由题设得： =3P(A)-3P(A)P(A),再考虑到 P(A)= ，可算出 P(A)= 1692。431 （2000 年、数学一、填
17、空）设两个相互独立的事件 A,B 都不发生的概率为 ，A 发生 B 不发生的概率91与 B 发生 A 不发生的概率相等，则 P(A)=( )。答案 填： 3232 （1987 年、数学三、计算）设两箱内装有同种零件，第一箱装 50 件，有 10 件一等品，第二箱装 30件，有 18 件一等品，先从两箱中任挑一箱，再从此箱中前后不放回地任取两个零件，求：（1）取出的零件是一等品的概率；（2）在先取的是一等品的条件下，后取的仍是一等品的条件概率。解：设事件 =从第 i 箱取的零件 ， =第 i 次取的零件是一等品 iAiB（1）P( )=P( )P( | )+P( )P( | )=1B12A125
18、23018第 9 页 共 78 页（2）P( )= ,则 P( | )1B2194.02382501C2B1= =0.485)(12P33 （1988 年、数学三、填空）设 P(A)=0.4,P(A+B)=0.7,若事件 A 与 B 互斥，则 P(B)=( ),若事件 A与 B 独立，则 P(B)=( )。答案 填：0.3 ; 0.534 （1988 年、数学三、计算）设玻璃杯整箱出售，每箱 20 只，各箱含 0，1，2 只残次品的概率分别为0.8,0.1,0.1,一顾客欲购买一箱玻璃杯，由售货员任取一箱，经顾客随机察看 4 只，若无残次品，则买此箱玻璃杯，否则不买。求：（1）顾客买此箱玻璃杯
19、的概率；（2）在顾客买的此箱玻璃杯中，确实没残次品的概率。解：（1）设事件 =一箱的玻璃杯中含 i 个残次品，i=0,1,2,且 P( )iA 0A=0.8, P( )=P( )=0.1,事件 B=从一箱中任取四只杯子无残次品，则12由全概率公式可得：P(B)= P( )P(B| )+ P( )P(B| )+ P( )00A112P(B| )2A= 0.8 +0.1 +0.1 =0.94420C4201942018C（2）P( |B)= =0.850A.)(BP35 （1990 年、数学三、填空）某射手对目标独立射击四次，至少命中一次的概率为 ，则此射手的命810中率为（ ） 。第 10 页
20、共 78 页答案 填： 3236 （1994 年、数学三、选择）设 0P(A)1, 0P(B)1,P(A|B)+P( | )=1,则 A 与 B（ ） 。A.互斥 B.对立 C.不独立 D.独立答案 选 D由于 P( | )=1- P( | )，根据已知条件不难知 P(A|B)= P( | )，AB对此等式两端同乘以 P（B）P( ),展开整理即得 P(AB)=P(A)P(B)。37 （1995 年、数学三、计算）某厂生产的每台仪器，可直接出厂的占 0.7,需调试的占 0.3,调试后可出厂的占 0.8，不能出厂的不合格品占 0.2,现新生产 n（n2）台仪器（设每台仪器的生产过程相互独立） ，
21、求：（1）全部能出厂的概率；（2）恰有两台不能出厂的概率；（3）至少有两台不能出厂的概率。解：设 A=生产的仪器可直接出厂，B=生产的仪器可以出厂，则 P(B)=P(A)+P( )P(B| )=0.7+0.70.8=0.94A设 X 表示 n（n2）台仪器中最后能出厂的台数，则 X 服从 B(n,0.94)分布，所求概率分别为PX=n= ;PX=n-2= ; 94.02206.94.nCPXn-2=1-PXn-1=1- - 1n38 （1996 年、数学三、选择）设 0P(B)1,且 P( + )|B= P( |B)+ P( |B),则（ ）成立。1A212AA.( + )| =P( | )+P( )| )1A2BBB.P( B + B)= P( B)+ P( B)12
