1、高考复习科目：数学 高中数学总复习（四） 复习内容：高中数学第四章-三角函数复习范围：第四章编写时间：2004-7修订时间：总计第三次 2005-4 I. 基础知识要点 1. 与（0360）终边相同的角的集合（角与角的终边重合）：终边在x轴上的角的集合： 终边在y轴上的角的集合：终边在坐标轴上的角的集合： 终边在y=x轴上的角的集合： 终边在轴上的角的集合：若角与角的终边关于x轴对称，则角与角的关系：若角与角的终边关于y轴对称，则角与角的关系：若角与角的终边在一条直线上，则角与角的关系：角与角的终边互相垂直，则角与角的关系：2. 角度与弧度的互换关系：360=2 180= 1=0.01745
2、1=57.30=5718注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零.3. 三角函数的定义域：三角函数 定义域sinxcosxtanxcotxsecxcscx4. 三角函数的公式：（一）基本关系 公式组二 公式组三 公式组四 公式组五 公式组六 （二）角与角之间的互换公式组一 公式组二 公式组三 公式组四 公式组五 ,.5. 正弦、余弦、正切、余切函数的图象的性质：（A、0）定义域RRR值域RR周期性 奇偶性奇函数偶函数奇函数奇函数当非奇非偶当奇函数单调性上为增函数；上为减函数（）；上为增函数上为减函数（）上为增函数（）上为减函数（）上为增函数；上为减函数（）注意：与的单调性
3、正好相反；与的单调性也同样相反.一般地，若在上递增（减），则在上递减（增）.与的周期是.或（）的周期.的周期为2（，如图，翻折无效）. 的对称轴方程是（），对称中心（）；的对称轴方程是（），对称中心（）；的对称中心（）.当；.与是同一函数,而是偶函数，则.函数在上为增函数.（） 只能在某个单调区间单调递增. 若在整个定义域，为增函数，同样也是错误的.定义域关于原点对称是具有奇偶性的必要不充分条件.（奇偶性的两个条件：一是定义域关于原点对称（奇偶都要），二是满足奇偶性条件，偶函数：，奇函数：）奇偶性的单调性：奇同偶反. 例如：是奇函数，是非奇非偶.（定义域不关于原点对称）奇函数特有性质：若的定义
4、域，则一定有.（的定义域，则无此性质）不是周期函数；为周期函数（）；是周期函数（如图）；为周期函数（）；的周期为（如图），并非所有周期函数都有最小正周期，例如： . 有.II. 竞赛知识要点一、反三角函数.1. 反三角函数：反正弦函数是奇函数，故，（一定要注明定义域，若，没有与一一对应，故无反函数）注：，.反余弦函数非奇非偶，但有，.注：，.是偶函数，非奇非偶，而和为奇函数.反正切函数：，定义域，值域（），是奇函数，.注：，.反余切函数：，定义域，值域（），是非奇非偶.，.注：，.与互为奇函数，同理为奇而与非奇非偶但满足. 正弦、余弦、正切、余切函数的解集：的取值范围 解集 的取值范围 解集的
5、解集 的解集1 1 =1 =1 1 1 的解集： 的解集：二、三角恒等式.组一组二组三 三角函数不等式 在上是减函数若，则 高中数学高考总复习 高三数学总复习四三角函数 5 四川师大附中高2006届高三数学总复习（六）6. 不 等 式 知识要点1. 平方平均算术平均几何平均调和平均（a、b为正数）：（当a = b时取等）特别地，（当a = b时，）幂平均不等式：含立方的几个重要不等式（a、b、c为正数）： （，）；（）绝对值不等式：算术平均几何平均（a1、a2an为正数）：（a1=a2=an时取等）柯西不等式：设则等号成立当且仅当时成立.（约定时，）例如：.常用不等式的放缩法：2. 常用不等式
6、的解法举例（x为正数）： 类似于四川师大附中高2006届高三数学总复习（十三）实验修订版13. 导 数 知识要点1. 导数（导函数的简称）的定义：设是函数定义域的一点，如果自变量在处有增量，则函数值也引起相应的增量；比值称为函数在点到之间的平均变化率；如果极限存在，则称函数在点处可导，并把这个极限叫做在处的导数，记作或，即=.注：是增量，我们也称为“改变量”，因为可正，可负，但不为零.以知函数定义域为，的定义域为，则与关系为.2. 函数在点处连续与点处可导的关系：函数在点处连续是在点处可导的必要不充分条件.可以证明，如果在点处可导，那么点处连续.事实上，令，则相当于.于是如果点处连续，那么在点
7、处可导，是不成立的.例：在点处连续，但在点处不可导，因为，当0时，；当0时，故不存在.注：可导的奇函数函数其导函数为偶函数.可导的偶函数函数其导函数为奇函数.3. 导数的几何意义：函数在点处的导数的几何意义就是曲线在点处的切线的斜率，也就是说，曲线在点P处的切线的斜率是，切线方程为4. 求导数的四则运算法则：（为常数）注：必须是可导函数.若两个函数可导，则它们和、差、积、商必可导；若两个函数均不可导，则它们的和、差、积、商不一定不可导.例如：设，则在处均不可导，但它们和在处均可导.5. 复合函数的求导法则：或复合函数的求导法则可推广到多个中间变量的情形.6. 函数单调性：函数单调性的判定方法：
8、设函数在某个区间内可导，如果0，则为增函数；如果0，则为减函数.常数的判定方法；如果函数在区间内恒有=0，则为常数.注：是f（x）递增的充分条件，但不是必要条件，如在上并不是都有，有一个点例外即x=0时f（x） = 0，同样是f（x）递减的充分非必要条件.一般地，如果f（x）在某区间内有限个点处为零，在其余各点均为正（或负），那么f（x）在该区间上仍旧是单调增加（或单调减少）的.7. 极值的判别方法：（极值是在附近所有的点，都有，则是函数的极大值，极小值同理）当函数在点处连续时，如果在附近的左侧0，右侧0，那么是极大值；如果在附近的左侧0，右侧0，那么是极小值.也就是说是极值点的充分条件是点两
9、侧导数异号，而不是=0. 此外，函数不可导的点也可能是函数的极值点. 当然，极值是一个局部概念，极值点的大小关系是不确定的，即有可能极大值比极小值小（函数在某一点附近的点不同）.注： 若点是可导函数的极值点，则=0. 但反过来不一定成立. 对于可导函数，其一点是极值点的必要条件是若函数在该点可导，则导数值为零.例如：函数，使=0，但不是极值点.例如：函数，在点处不可导，但点是函数的极小值点.8. 极值与最值的区别：极值是在局部对函数值进行比较，最值是在整体区间上对函数值进行比较.注：函数的极值点一定有意义.9. 几种常见的函数导数：I.（为常数） （） II. III. 求导的常见方法：常用结
10、论：.形如或两边同取自然对数，可转化求代数和形式.无理函数或形如这类函数，如取自然对数之后可变形为，对两边求导可得.四川师大附中高2006届高三数学总复习（十四）实验修订版14. 复 数 知识要点1. 复数的单位为i，它的平方等于1，即.复数及其相关概念： 复数形如a + bi的数（其中）； 实数当b = 0时的复数a + bi，即a； 虚数当时的复数a + bi； 纯虚数当a = 0且时的复数a + bi，即bi. 复数a + bi的实部与虚部a叫做复数的实部，b叫做虚部（注意a，b都是实数） 复数集C全体复数的集合，一般用字母C表示.两个复数相等的定义：.两个复数，如果不全是实数，就不能比
11、较大小.注：若为复数，则若，则.（）为复数，而不是实数若，则.（）若，则是的必要不充分条件.（当，时，上式成立）2. 复平面内的两点间距离公式：.其中是复平面内的两点所对应的复数，间的距离.由上可得：复平面内以为圆心，为半径的圆的复数方程：.曲线方程的复数形式：为圆心，r为半径的圆的方程.表示线段的垂直平分线的方程.为焦点，长半轴长为a的椭圆的方程（若，此方程表示线段）.表示以为焦点，实半轴长为a的双曲线方程（若，此方程表示两条射线）.绝对值不等式：设是不等于零的复数，则.左边取等号的条件是，右边取等号的条件是.左边取等号的条件是，右边取等号的条件是.注：.3. 共轭复数的性质： ，（a +
12、bi） （） 注：两个共轭复数之差是纯虚数. （）之差可能为零，此时两个复数是相等的4. 复数的乘方：对任何，及有 注：以上结论不能拓展到分数指数幂的形式，否则会得到荒谬的结果，如若由就会得到的错误结论.在实数集成立的. 当为虚数时，所以复数集内解方程不能采用两边平方法.常用的结论： 若是1的立方虚数根，即，则 .5. 复数是实数及纯虚数的充要条件：.若，是纯虚数.模相等且方向相同的向量，不管它的起点在哪里，都认为是相等的，而相等的向量表示同一复数. 特例：零向量的方向是任意的，其模为零.注：. 6. 复数的三角形式：.辐角主值：适合于0的值，记作.注：为零时，可取内任意值.辐角是多值的，都相
13、差2的整数倍.设则.复数的代数形式与三角形式的互化：，.几类三角式的标准形式：7. 复数集中解一元二次方程：在复数集内解关于的一元二次方程时，应注意下述问题：当时，若0，则有二不等实数根；若=0，则有二相等实数根；若0，则有二相等复数根（为共轭复数）.当不全为实数时，不能用方程根的情况.不论为何复数，都可用求根公式求根，并且韦达定理也成立.8. 复数的三角形式运算：棣莫弗定理：.高考复习科目：数学 高中数学总复习(十一) 复习内容：高中数学第十一章-概率 第十二章-概率与统计 复习范围：第十一章、第十二章编写时间：2005-5修订时间：总计第三次 2005-6 I. 基础知识要点 一、概率.1
14、. 概率：随机事件A的概率是频率的稳定值，反之，频率是概率的近似值.2. 等可能事件的概率：如果一次试验中可能出现的结果有年n个，且所有结果出现的可能性都相等，那么，每一个基本事件的概率都是，如果某个事件A包含的结果有m个，那么事件A的概率.3. 互斥事件：不可能同时发生的两个事件叫互斥事件. 如果事件A、B互斥，那么事件A+B发生(即A、B中有一个发生)的概率，等于事件A、B分别发生的概率和，即P(A+B)=P(A)+P(B)，推广：.对立事件：两个事件必有一个发生的互斥事件叫对立事件. 例如：从152张扑克牌中任取一张抽到“红桃”与抽到“黑桃”互为互斥事件，因为其中一个不可能同时发生，但又
15、不能保证其中一个必然发生，故不是对立事件.而抽到“红色牌”与抽到黑色牌“互为对立事件，因为其中一个必发生.注意：i.对立事件的概率和等于1：. ii.互为对立的两个事件一定互斥，但互斥不一定是对立事件.相互独立事件：事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响.这样的两个事件叫做相互独立事件. 如果两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，即P(AB)=P(A)P(B). 由此，当两个事件同时发生的概率P（AB）等于这两个事件发生概率之和，这时我们也可称这两个事件为独立事件.例如：从一副扑克牌（52张）中任抽一张设A：“抽到老K”；B：“抽到红牌”则 A应与B互为
16、独立事件看上去A与B有关系很有可能不是独立事件，但.又事件AB表示“既抽到老K对抽到红牌”即“抽到红桃老K或方块老K”有，因此有.推广：若事件相互独立，则.注意：i. 一般地，如果事件A与B相互独立，那么A 与与B，与也都相互独立.ii. 必然事件与任何事件都是相互独立的.iii. 独立事件是对任意多个事件来讲，而互斥事件是对同一实验来讲的多个事件，且这多个事件不能同时发生，故这些事件相互之间必然影响，因此互斥事件一定不是独立事件.独立重复试验：若n次重复试验中，每次试验结果的概率都不依赖于其他各次试验的结果，则称这n次试验是独立的. 如果在一次试验中某事件发生的概率为P，那么在n次独立重复试
17、验中这个事件恰好发生k次的概率：.4. 对任何两个事件都有二、随机变量. 1. 随机试验的结构应该是不确定的.试验如果满足下述条件：试验可以在相同的情形下重复进行；试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；每次试验总是恰好出现这些结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果.它就被称为一个随机试验.2. 离散型随机变量：如果对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量.若是一个随机变量，a，b是常数.则也是一个随机变量.一般地，若是随机变量，是连续函数或单调函数，则也是随机变量.也就是说，随机变量的某些函数也是随机变量.设离散型随机变
18、量可能取的值为：取每一个值的概率，则表称为随机变量的概率分布，简称的分布列.P有性质； .注意：若随机变量可以取某一区间内的一切值，这样的变量叫做连续型随机变量.例如：即可以取05之间的一切数，包括整数、小数、无理数.3. 二项分布：如果在一次试验中某事件发生的概率是P，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率是：其中 于是得到随机变量的概率分布如下：我们称这样的随机变量服从二项分布，记作B（np），其中n，p为参数，并记.二项分布的判断与应用.二项分布，实际是对n次独立重复试验.关键是看某一事件是否是进行n次独立重复，且每次试验只有两种结果，如果不满足此两条件，随机变量就不服从二项
19、分布.当随机变量的总体很大且抽取的样本容量相对于总体来说又比较小，而每次抽取时又只有两种试验结果，此时可以把它看作独立重复试验，利用二项分布求其分布列.4. 几何分布：“”表示在第k次独立重复试验时，事件第一次发生，如果把k次试验时事件A发生记为，事A不发生记为，那么.根据相互独立事件的概率乘法分式：于是得到随机变量的概率分布列.123kPq qp 我们称服从几何分布，并记，其中5. 超几何分布：一批产品共有N件，其中有M（MN）件次品，今抽取件，则其中的次品数是一离散型随机变量，分布列为.分子是从M件次品中取k件，从N-M件正品中取n-k件的取法数，如果规定时，则k的范围可以写为k=0，1，
20、n.超几何分布的另一种形式：一批产品由 a件次品、b件正品组成，今抽取n件（1na+b），则次品数的分布列为.超几何分布与二项分布的关系.设一批产品由a件次品、b件正品组成，不放回抽取n件时，其中次品数服从超几何分布.若放回式抽取，则其中次品数的分布列可如下求得：把个产品编号，则抽取n次共有个可能结果，等可能：含个结果，故，即.我们先为k个次品选定位置，共种选法；然后每个次品位置有a种选法，每个正品位置有b种选法 可以证明：当产品总数很大而抽取个数不多时，因此二项分布可作为超几何分布的近似，无放回抽样可近似看作放回抽样.三、数学期望与方差.1. 期望的含义：一般地，若离散型随机变量的概率分布为
21、P则称为的数学期望或平均数、均值.数学期望又简称期望.数学期望反映了离散型随机变量取值的平均水平.2. 随机变量的数学期望： 当时，即常数的数学期望就是这个常数本身.当时，即随机变量与常数之和的期望等于的期望与这个常数的和.当时，即常数与随机变量乘积的期望等于这个常数与随机变量期望的乘积.01Pqp单点分布：其分布列为：. 两点分布：，其分布列为：（p + q = 1）二项分布： 其分布列为.（P为发生的概率）几何分布： 其分布列为.（P为发生的概率）3.方差、标准差的定义：当已知随机变量的分布列为时，则称为的方差. 显然，故为的根方差或标准差.随机变量的方差与标准差都反映了随机变量取值的稳定
22、与波动，集中与离散的程度.越小，稳定性越高，波动越小.4.方差的性质.随机变量的方差.（a、b均为常数）01Pqp单点分布： 其分布列为两点分布： 其分布列为：（p + q = 1）二项分布：几何分布： 5. 期望与方差的关系.如果和都存在，则设和是互相独立的两个随机变量，则期望与方差的转化： （因为为一常数）.四、正态分布.（基本不列入考试范围）1.密度曲线与密度函数：对于连续型随机变量，位于x轴上方，落在任一区间内的概率等于它与x轴.直线与直线所围成的曲边梯形的面积（如图阴影部分）的曲线叫的密度曲线，以其作为图像的函数叫做的密度函数，由于“”是必然事件，故密度曲线与x轴所夹部分面积等于1.
23、2. 正态分布与正态曲线：如果随机变量的概率密度为：. （为常数，且），称服从参数为的正态分布，用表示.的表达式可简记为，它的密度曲线简称为正态曲线.正态分布的期望与方差：若，则的期望与方差分别为：.正态曲线的性质.曲线在x轴上方，与x轴不相交.曲线关于直线对称.当时曲线处于最高点，当x向左、向右远离时，曲线不断地降低，呈现出“中间高、两边低”的钟形曲线.当时，曲线上升；当时，曲线下降，并且当曲线向左、向右两边无限延伸时，以x轴为渐近线，向x轴无限的靠近.当一定时，曲线的形状由确定，越大，曲线越“矮胖”.表示总体的分布越分散；越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中.3. 标准正态分布：如果
24、随机变量的概率函数为，则称服从标准正态分布. 即有，求出，而P（ab）的计算则是.注意：当标准正态分布的的X取0时，有当的X取大于0的数时，有.比如则必然小于0，如图. 正态分布与标准正态分布间的关系：若则的分布函数通常用表示，且有. 4.“3”原则.假设检验是就正态总体而言的，进行假设检验可归结为如下三步：提出统计假设，统计假设里的变量服从正态分布.确定一次试验中的取值是否落入范围.做出判断：如果，接受统计假设. 如果，由于这是小概率事件，就拒绝统计假设.“3”原则的应用：若随机变量服从正态分布则 落在内的概率为99.7 亦即落在之外的概率为0.3，此为小概率事件，如果此事件发生了，就说明此
25、种产品不合格（即不服从正态分布）.高考复习科目：数学 高中数学总复习(二) 复习内容：高中数学第二章-函数 复习范围：第二章编写时间：2004-2修订时间：总计第一次 2005-5 I. 基础知识要点 1. 函数的三要素：定义域，值域，对应法则.2. 函数的单调区间可以是整个定义域，也可以是定义域的一部分. 对于具体的函数来说可能有单调区间，也可能没有单调区间，如果函数在区间（0，1）上为减函数，在区间（1，2）上为减函数，就不能说函数在上为减函数.3. 反函数定义：只有满足，函数才有反函数. 例：无反函数.函数的反函数记为，习惯上记为. 在同一坐标系，函数与它的反函数的图象关于对称.注：一般
26、地，的反函数. 是先的反函数，在左移三个单位.是先左移三个单位，在的反函数.4. 单调函数必有反函数，但并非反函数存在时一定是单调的.因此，所有偶函数不存在反函数.如果一个函数有反函数且为奇函数，那么它的反函数也为奇函数.设函数y = f（x）定义域，值域分别为X、Y. 如果y = f（x）在X上是增（减）函数，那么反函数在Y上一定是增（减）函数，即互为反函数的两个函数增减性相同. 一般地，如果函数有反函数，且，那么. 这就是说点（）在函数图象上，那么点（）在函数的图象上.5. 指数函数：（），定义域R，值域为（）.当，指数函数：在定义域上为增函数；当，指数函数：在定义域上为减函数.当时，的值
27、越大，越靠近轴；当时，则相反.6. 对数函数：如果（）的次幂等于，就是，数就叫做以为底的的对数，记作（，负数和零没有对数）；其中叫底数，叫真数.对数运算：（以上）注：当时，.：当时，取“+”，当是偶数时且时，而，故取“”.例如：中x0而中xR）.（）与互为反函数.当时，的值越大，越靠近轴；当时，则相反.7. 奇函数，偶函数：偶函数：设（）为偶函数上一点，则（）也是图象上一点.偶函数的判定：两个条件同时满足定义域一定要关于轴对称，例如：在上不是偶函数.满足，或，若时，.奇函数：设（）为奇函数上一点，则（）也是图象上一点.奇函数的判定：两个条件同时满足定义域一定要关于原点对称，例如：在上不是奇函数
28、.满足，或，若时，.8. 对称变换：y = f（x）y =f（x）y =f（x）9. 判断函数单调性（定义）作差法：对带根号的一定要分子有理化，例如：在进行讨论.10. 外层函数的定义域是内层函数的值域.例如：已知函数f（x）= 1+的定义域为A，函数ff（x）的定义域是B，则集合A与集合B之间的关系是 . 解：的值域是的定义域，的值域，故，而A，故.11. 常用变换：.证：证：12. 熟悉常用函数图象：例：关于轴对称. 关于轴对称.熟悉分式图象：例：定义域，值域值域前的系数之比.四川师大附中高2006届高三数学总复习（十二）12. 极 限 知识要点1. 第一数学归纳法：证明当取第一个时结论正
29、确；假设当（）时，结论正确，证明当时，结论成立.第二数学归纳法：设是一个与正整数有关的命题，如果当（）时，成立；假设当（）时，成立，推得时，也成立.那么，根据对一切自然数时，都成立.2. 数列极限的表示方法：当时，.几个常用极限：（为常数）对于任意实常数，当时，当时，若a = 1，则；若，则不存在当时，不存在数列极限的四则运算法则：如果，那么特别地，如果C是常数，那么.数列极限的应用：求无穷数列的各项和，特别地，当时，无穷等比数列的各项和为.（化循环小数为分数方法同上式）注：并不是每一个无穷数列都有极限.3. 函数极限；当自变量无限趋近于常数（但不等于）时，如果函数无限趋进于一个常数，就是说当
30、趋近于时，函数的极限为.记作或当时，.注：当时，是否存在极限与在处是否定义无关，因为并不要求.（当然，在是否有定义也与在处是否存在极限无关.函数在有定义是存在的既不充分又不必要条件.）如在处无定义，但存在，因为在处左右极限均等于零.函数极限的四则运算法则：如果，那么特别地，如果C是常数，那么.（）注：各个函数的极限都应存在.四则运算法则可推广到任意有限个极限的情况，但不能推广到无限个情况.几个常用极限：（01）；（1），（）4. 函数的连续性：如果函数f（x），g（x）在某一点连续，那么函数在点处都连续.函数f（x）在点处连续必须满足三个条件：函数f（x）在点处有定义；存在；函数f（x）在点处
31、的极限值等于该点的函数值，即.函数f（x）在点处不连续（间断）的判定：如果函数f（x）在点处有下列三种情况之一时，则称为函数f（x）的不连续点.f（x）在点处没有定义，即不存在；不存在；存在，但.5. 零点定理，介值定理，夹逼定理：零点定理：设函数在闭区间上连续，且.那么在开区间内至少有函数的一个零点，即至少有一点（）使.介值定理：设函数在闭区间上连续，且在这区间的端点取不同函数值，那么对于之间任意的一个数，在开区间内至少有一点，使得（）.夹逼定理：设当时，有，且，则必有注：表示以为的极限，则就无限趋近于零.（为最小整数）6. 几个常用极限：为常数）为常数）高考复习科目：数学 高中数学总复习(
32、一) 复习内容：高中数学第一章-集合 复习范围：第一章编写时间：2003修订时间：总计第一次 2005-5 I. 基础知识要点 1. 集合中元素具有确定性、无序性、互异性.2. 集合的性质：任何一个集合是它本身的子集，记为；空集是任何集合的子集，记为；空集是任何非空集合的真子集；如果，同时，那么A = B.如果.注：Z= 整数（） Z =全体整数 （）已知集合S 中A的补集是一个有限集，则集合A也是有限集.（）（例：S=N； A=，则CsA= 0） 空集的补集是全集. 若集合A=集合B，则CBA = ， CAB = CS（CAB）= D （ 注 ：CAB = ）.3. （x，y）|xy =0，
33、xR，yR坐标轴上的点集.（x，y）|xy0，xR，yR二、四象限的点集. （x，y）|xy0，xR，yR 一、三象限的点集.注：对方程组解的集合应是点集.例： 解的集合(2，1).点集与数集的交集是. （例：A =(x，y)| y =x+1 B=y|y =x2+1 则AB =）4. n个元素的子集有2n个. n个元素的真子集有2n 1个. n个元素的非空真子集有2n2个.5. 一个命题的否命题为真，它的逆命题一定为真. 否命题逆命题.一个命题为真，则它的逆否命题一定为真. 原命题逆否命题.例：若应是真命题.解：逆否：a = 2且 b = 3，则a+b = 5，成立，所以此命题为真. .解：逆
34、否：x + y =3x = 1或y = 2.,故是的既不是充分，又不是必要条件.小范围推出大范围；大范围推不出小范围.例：若. II. 竞赛知识要点1. 集合的运算. De Morgan公式 CuA CuB = Cu（A B） CuA CuB = Cu（A B）2. 容斥原理：对任意集合AB有. .高考复习科目：数学 高中数学总复习（九） 复习内容：高中数学第九章-立体几何复习范围：第九章编写时间：2004-7修订时间：总计第三次 2005-4 I. 基础知识要点 一、 平面.1. 经过不在同一条直线上的三点确定一个面.注：两两相交且不过同一点的四条直线必在同一平面内.2. 两个平面可将平面分
35、成3或4部分.（两个平面平行，两个平面相交）3. 过三条互相平行的直线可以确定1或3个平面.（三条直线在一个平面内平行，三条直线不在一个平面内平行）注：三条直线可以确定三个平面，三条直线的公共点有0或1个.4. 三个平面最多可把空间分成 8 部分.（X、Y、Z三个方向）二、 空间直线.1. 空间直线位置分三种：相交、平行、异面. 相交直线共面有反且有一个公共点；平行直线共面没有公共点；异面直线不同在任一平面内注：两条异面直线在同一平面内射影一定是相交的两条直线.（）（可能两条直线平行，也可能是点和直线等）直线在平面外，指的位置关系：平行或相交若直线a、b异面，a平行于平面，b与的关系是相交、平
36、行、在平面内.两条平行线在同一平面内的射影图形是一条直线或两条平行线或两点.在平面内射影是直线的图形一定是直线.（）（射影不一定只有直线，也可以是其他图形）在同一平面内的射影长相等，则斜线长相等.（）（并非是从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段）是夹在两平行平面间的线段，若，则的位置关系为相交或平行或异面.2. 异面直线判定定理：过平面外一点与平面内一点的直线和平面内不经过该点的直线是异面直线.（不在任何一个平面内的两条直线）3. 平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行.4. 等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等（如下图）. （二面角的取
37、值范围） （直线与直线所成角） （斜线与平面成角） （直线与平面所成角）（向量与向量所成角推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成锐角（或直角）相等.5. 两异面直线的距离：公垂线的长度.空间两条直线垂直的情况：相交（共面）垂直和异面垂直.是异面直线，则过外一点P，过点P且与都平行平面有一个或没有，但与距离相等的点在同一平面内. （或在这个做出的平面内不能叫与平行的平面）三、 直线与平面平行、直线与平面垂直.1. 空间直线与平面位置分三种：相交、平行、在平面内.2. 直线与平面平行判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行.（“线
38、线平行，线面平行”）注：直线与平面内一条直线平行，则. （）（平面外一条直线）直线与平面内一条直线相交，则与平面相交. （）（平面外一条直线）若直线与平面平行，则内必存在无数条直线与平行. （）（不是任意一条直线，可利用平行的传递性证之）两条平行线中一条平行于一个平面，那么另一条也平行于这个平面. （）（可能在此平面内）平行于同一直线的两个平面平行.（）（两个平面可能相交）平行于同一个平面的两直线平行.（）（两直线可能相交或者异面）直线与平面、所成角相等，则.（）（、可能相交）3. 直线和平面平行性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行.（
39、“线面平行，线线平行”）4. 直线与平面垂直是指直线与平面任何一条直线垂直，过一点有且只有一条直线和一个平面垂直，过一点有且只有一个平面和一条直线垂直. l 若，得（三垂线定理），得不出. 因为，但不垂直OA.l 三垂线定理的逆定理亦成立.直线与平面垂直的判定定理一：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这两条直线垂直于这个平面.（“线线垂直，线面垂直”）直线与平面垂直的判定定理二：如果平行线中一条直线垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面.推论：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行.注：垂直于同一平面的两个平面平行.（）（可能相交，垂直于同一条直线的两个平面平行）垂直于同一直线的两个平面平行.（）（一条直线垂直于平行的一个平面，必垂直于另一个平面）垂直于同一平面的两条直线平行.（）5. 垂线段和斜线段长定理：从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中
