1、第一章 集合与函数概念第一节 集合一、集合有关概念1. 集合的含义: 集合(集):某些指定的对象集在一起就成为一个集合(集).其中每一个对象叫元素2. 集合的中元素的三个特性：确定性 互异性 无序性(1) 元素的确定性如：世界上最高的山(2) 元素的互异性如：由HAPPY的字母组成的集合H,A,P,Y(3) 元素的无序性如：a,b,c和a,c,b是表示同一个集合3.集合的表示：(1) 用拉丁字母表示集合：A=我校的篮球队员,B=1,2,3,4,5(2) 集合的表示方法：列举法 描述法和图示法。1） 列举法：a,b,c2） 描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。x
2、R| x-32 ,x| x-32分为：符号描述法：语言描述法：例：不是直角三角形的三角形注：描述法一般适用于表示元素较多的有限集或无限集。3） 图示法:分为：区间法：用开区间 闭区间以及半开（半闭）区间表示 Venn法：u 注意：常用数集及其记法：非负整数集（即自然数集） 记作：N正整数集 或 整数集 Z 有理数集 Q 实数集 R4、集合的分类：有限集 含有有限个元素的集合无限集 含有无限个元素的集合空集 不含任何元素的集合例：x|x2=5二、集合间的基本关系1.“包含”关系子集 表示A包含于B 或者说B包含A注意：有两种可能（1）A是B的一部分，；（2）A与B是同一集合。反之: 集合A不包含
3、于集合B,或集合B不包含集合A,记作AB或BA2“相等”关系：集合相等的定义：如果AB 同时 BA 那么A=B (55且55，则5=5) 自反律：任何一个集合是它本身的子集。AA实例：设 A=x|x2-1=0 B=-1,1 “元素相同则两集合相等”真子集:如果AB,且A B那就说集合A是集合B的真子集，记作AB(或BA)传递律：如果 AB, BC ,那么 AC3. 空集：不含任何元素的集合叫做空集，记为规定: 空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集。4 幂集：有n个元素的集合，含有2n个子集，2n-1个真子集三、集合的运算运算类型交 集并 集补 集定 义由所有属于A且属于B的元素所
4、组成的集合,叫做A,B的交集记作AB（读作A交B），即AB=x|xA，且xB由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A,B的并集记作：AB（读作A并B），即AB =x|xA，或xB)设S是一个集合，A是S的一个子集，由S中所有不属于A的元素组成的集合，叫做S中子集A的补集（或余集）SA记作，即CSA=韦恩图示SA性 质AA=A A=AB=BAABAABBAA=AA=AAB=BAABABB(CuA) (CuB) = Cu (AB)(CuA) (CuB)= Cu(AB)A (CuA)=UA (CuA)= 四、一些基本集合恒等式1结合律：（AB）C= A（B C）； （AB ）C=A（B
5、 C）2分配律：A（BC）=（AB）（AC）； A（BC）=（ AB ）（AB）3吸收律：A（AB）=A； A（AB）=A4德摩根定律（反演律）：(CuA) (CuB) = Cu (AB)； A (CuA)=U (CuA) (CuB)= Cu(AB)； A (CuA)= Cu (CuA)=A五容斥定理：原理1：如果被计数的事物有A、B两类，那么，A类B类元素个数总和= 属于A类元素个数+ 属于B类元素个数既是A类又是B类的元素个数。 card（AB ）= card（ A）+ card（B ）- card (AB)原理2：如果被计数的事物有A、B、C三类，那么，A类和B类和C类元素个数总和= A
6、类元素个数+ B类元素个数+C类元素个数既是A类又是B类的元素个数既是A类又是C类的元素个数既是B类又是C类的元素个数+既是A类又是B类而且是C类的元素个数。（ABC ）= A+B+C - AB - BC - CA + (ABC）第二节 函数的有关概念1映射的概念1). 映射的定义: A,B是两个集合,如果按照某种对应法则f ，对于集合A中的任何一个元素x ，在集合B中都有唯一的元素y和它对应,那么这样的对应叫做集合A到集合B的映射.记做记作“f（对应关系）：A（原象）B（象）”对于映射f：AB来说，则应满足：(a)集合A中的每一个元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的；(b)集合A中不同的元
7、素，在集合B中对应的象可以是同一个；(c)不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。2). 一一映射：设A，B是两个集合，f：AB是从集合A到集合B的映射，并且对于集合B中的不同元素，在集合A中都有且只有一个原象，这时我们说这两个元素之间存在一一对应关系，并称这个映射叫做从集合A到集合B的一一映射。所以，一一映射是特殊的映射，而且如果f：AB是一一映射，那么g：BA是映射。2函数的概念1) .函数的定义:设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：AB为从集合A到集合B的一个函数记作： y=f(x
8、)，xA其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合f(x)| xA 叫做函数的值域2) .函数的三要素：定义域、对应关系和值域。定义域：能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域。求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：(1)分式的分母不等于零； (2)偶次方根的被开方数不小于零；(3)对数式的真数必须大于零；(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1. (5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合.(6)指数为零底不可以等于零， (7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问
9、题有意义.(8)三角函数中的正切函数值域 : 先考虑其定义域(1)观察法 (2)配方法(3)代换法3) . 函数的表示法：列表法、图象法、解析法3.相同函数的判断方法：表达式相同（与表示自变量和函数值的字母无关）； 定义域一致 (两点必须同时具备)(见课本21页相关例2)4. 函数图象知识归纳(1)定义：在平面直角坐标系中，以函数 y=f(x) , (xA)中的x为横坐标，函数值y为纵坐标的点P(x，y)的集合C，叫做函数 y=f(x),(x A)的图象C上每一点的坐标(x，y)均满足函数关系y=f(x)，反过来，以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x，y)，均在C上 . (
10、2) 画法A 描点法：B 图象变换法1) 平移变换2) 伸缩变换3) 对称变换5区间的概念（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间（2）无穷区间（3）区间的数轴表示6.分段函数 (1)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。(2)各部分的自变量的取值情况(3)分段函数的定义域是各段定义域的交集，值域是各段值域的并集补充：复合函数如果y=f(u)(uM),u=g(x)(xA),则 y=fg(x)=F(x)(xA) 称为f、g的复合函数。第三节 函数的性质（单调性、奇偶性与周期性）1.函数的单调性(局部性质)（1）单调函数的定义设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区
11、间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是增函数.区间D称为y=f(x)的单调增区间.f(x1)f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是减函数.区间D称为y=f(x)的单调减区间。注意：函数的单调性是函数的局部性质；（2）单调区间的定义 如果函数y=f(x)在某个区间D上是增函数或减函数。那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y= f(x)的单调区间。（3）图象的特点在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的.（4）函数单调区间与单调性的判定方法(A) 定义法： 任取x1，x2D
12、，且x11，且*u 负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作。当是奇数时，当是偶数时，2分数指数幂正数的分数指数幂的意义，规定：，u 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义3实数指数幂的运算性质（1）；（2）；（3）（二）指数函数及其性质1、指数函数的概念：一般地，函数叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域为R其中a为底数注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和12、指数函数的图象和性质 图象a10a0）（x=0） （x0）（x0）奇偶性非奇非偶函数过定点函数图象都过定点（0，1）A变化对图象的影响在第一象限内，a越大图象越高，在第二象限内，a越大图象越低注意：利
13、用函数的单调性，结合图象还可以看出：（1）在a，b上，值域是或；（2）若，则；取遍所有正数当且仅当；（3）对于指数函数，总有；二、对数函数（一）对数1对数的概念：一般地，如果，那么数叫做以为底的对数，记作：（ 底数， 真数， 对数式）说明： 注意底数的限制，且； ； 注意对数的书写格式两个重要对数： 常用对数：以10为底的对数，记作； 自然对数：以无理数为底数的对数（即当a=e时），记作u 指数式与对数式的互化 幂值 真数 N b 底数 指数 对数（二）对数的运算性质如果，且，那么： ； ； 注意：换底公式（，且；，且；）利用换底公式推导下面的结论（1）； （2）（三）对数函数1、对数函数的概
14、念：函数，且叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义域是（0，+）注意： 对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别。如：， 都不是对数函数，而只能称其为对数型函数 对数函数对底数的限制：，且2、对数函数的性质：指数函数和对数函数，且的图象关于y=x对称图象a10a0） （x=0） （0x0） （x=0） （0x1时，图像开口向上；0a1时，图像开口向右c、特别地，当时，幂函数的图象下凸；当时，幂函数的图象上凸；（3）时a、幂函数的图象在区间上是减函数b、在第一象限内，函数值随x的增大而减小，图像开口向上；c、在第一象限内，当从右边趋向原点时，图象在轴右方无限地逼近轴正半轴，当趋于时，
15、图象在轴上方无限地逼近轴正半轴（4）时，y=x0是直线y=1去掉一点（0,1） 它的图像不是直线。3、形如f(x)=（其中m,nZ）的幂函数性质（1）当n为偶数时，f(x) 为偶函数，图象关于y轴对称（2）当m,n都为奇数时，f(x) 为奇函数，图象关于原点对称（3）当m为偶数且n为奇数时，f(x) 为非奇非偶函数，图象只在一象限内4、高频重难突破（1）指数、对数值的大小比较（常用方法有）a、化成同底的对数或指数，然后利用其单调性进行比较b、直接作差作商，利用对数与指数的运算法则比较差与0，商与1的大小c、利用中间量0、1、-1等数值进行比较d、化成同指数(或同真数)后利用图象进行比较（2）指
16、数函数与对数函数值的性质在利用指数函数与对数函数值的性质,尤其是单调性时,要注意底数的取值范围对其的影响第三章 函数的应用一、方程的根与函数的零点1、函数零点的概念：对于函数，把使成立的实数叫做函数的零点。2、函数零点的意义：函数的零点就是方程实数根，亦即函数的图象与轴交点的横坐标。即：方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点3、函数零点的求法： （代数法）求方程的实数根； （几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点4、二次函数的零点：二次函数（1），方程有两不等实根，二次函数的图象与轴有两个交点，二次函数有两个零点（2），方程有两相等实根，二次函数的图象与轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点（3），方程无实根，二次函数的图象与轴无交点，二次函数无零点5.函数的模型 收集数据画散点图选择函数模型求函数模型用函数模型解释实际问题符合实际不符合实际检验13
