1、数学专题 对数与对数运算（教师版）二、点击考点考题1求下列各式的（1）；（2）；（3）；（4）解析（1）由，得，即；（2）由，得，即，故；（3）由，得故；（4）由，得故点评对数的定义是对数形式和指数形式互化的依据，而对数形式与指数形式的互化又是解决问题重要手段。考题2求下列各式的值：（1）；（2）；（3）分析利用对数的性质求解，首先要明确解题目目标是化异为同，先使各项底数相同，才能使用性质，再找真数间的联系，对于复杂的真数，可以先化简再计算。解析（1）原式（2）原式=（3）原式点评对数的求值一般有两种方法：一种是将式中真数的积、商、幂、方根利用对数的运算性质将它们化为对数的和、差、积、商，然后
2、化简求值；另一种方法是将式中的和、差、积、商运用对数的运算法则将它们化为真数的积、商、幂、方根，然后化简求值。考题3已知求解析已知条件与所求对数的底是不相同的，因此考虑应用换底公式。解法一：，解法二：，解法三：点评本题还有其他方法，这里，都是把指数式改写为对数式，再把所求对数通过换底公式换成和它相同底数的对数，以便利用已知条件和对数的性质求解。考题4（1）设，求的值.（2）已知均大于1，求分析（1）首先将指数式化为对数式，再利用对数的性质进行计算。（2）观察已知条件，真数相同，底数不同，若将拆成、，则问题获得解决，因此，要多次使用等式解析（1），（2）由得由得，由得，即，解得点评（1）本题（1
3、）通过将、的值用换底公式转化为同底数的对数，再利用对数的运算法则求值，此外，我们还可以用换底公式得到一个常用的关系式，常用来把分式转化为整式。（2）对数的换底公式在解题中起着重要的转化作用，能够将不同底的问题转化为同底，从而使我们利用对数的运算性质解题的想法得以实现。考题5已知、为正数，且，求的取值范围.解析，上式关于的方程有实根。.，或或点评对数知识又常常与其他知识交汇在一起，构成较复杂的题目，如此题与方程、不等式综合，这时首先要牢牢掌握对数的定义，注意其与指数式的转化；灵活运用运算法则就可使问题得到解决。考题6科学研究表明，宇宙射线在大气中能够产生放射性碳-14，碳-14的衰变极有规律，其
4、精确性可以称为自然界的“标准时钟”。动植物在生长过程中衰变的碳-14，可以通过与大气的相互作用得到补充，所以活着的动植物每克组织中的碳-14含量保持不变，死亡后的动植物，停止了与外界环境的相互作用，机体中原有的碳-14按确定的规律衰减，我们已经知道其“半衰期”为5730年。（1）设生物体死亡时，体内每克组织的碳-14含量为l，试推算生物死亡年后体内每克组织中的碳-14含量P；（2）湖南长沙马王堆汉墓女尸体出土时碳-14的残余量约占原始含量的76.7%，试推算马王堆古墓的年代。解析（1）设生物体死亡后时，体内每克组织中的碳-14的含量为1,1年后的残留量为，由于死亡机体中原有碳-14按确定的规律
5、衰减，所以生物体的死亡年数与其体内每克组织的碳-14含量P有如下关系：死亡年数123碳-14含量P因此，生物死亡年后体内碳-14的含量由于大约每过5730年，死亡生物体的碳-14含量衰减为原来的一半，所以于是这样生物死亡年后体内碳-14的含量（2）由对数与指数的关系，指数式，两边取常用对数得到，湖南长沙马王堆汉墓女尸中碳-14的残留量约占原始含量的76.7%，即，那么，那么由计算器可算得所以，马王堆古墓约是2100多年前的遗址。点评要计算，由于在指数上，计算是不可能的，当转为对数式可以计算其结果。三、夯实双基1（a0）化简得结果是（）AaBa2CaDa2log7log3（log2x）0，则等于
6、（）ABCD3（）等于（）A1B1C2D24若2（x2y）xy，则的值为（）A4B1或C1或4D5下列指数式与对数式的互化中，不正确的是（ ）A与B与C与D与6的值为（ ）A4B1C6D37在中，实数a的范围是（ ）A或BC或D8当时，下列说法正确的是（ ）若M=N，则；若，则M=N；若，则M=N；若M=N，则A与B与CD9.10若logaxlogbylogc2，a，b，c均为不等于1的正数，且x0，y0，c，则xy_11若lg2a，lg3b，则log512_123a2，则log382log36_13已知均为正数，求证：四、感悟高考1设则。解析本题考查了分段函数的知识，则，得故应填：2，则（
7、）ABCD解析，故选C。3方程的解.解析令 故应填：14方程的解是 。解析，故应填：1,2。夯实双基参考答案：2C 3B4错解：由2（x2y）xy，得（x2y）2xy，解得x4y或xy，则有或1答案：选B正解：上述解法忽略了真数大于0这个条件，即x2y0，所以x2y所以xy舍掉只有x4y 答案：D101112a22.2.2 对数函数一、考点聚焦1对数函数的概念形如的函数叫做对数函数.说明：（1）一个函数为对数函数的条件是：系数为1；底数为大于0且不等于1的正常数；自变量为真数.对数型函数的定义域：特别应注意的是：真数大于零、底数大于零且不等于1。2、由对数的定义容易知道对数函数是指数函数的反函
8、数。反函数及其性质互为反函数的两个函数的图象关于直线对称。若函数上有一点，则必在其反函数图象上，反之若在反函数图象上，则必在原函数图象上。利用反函数的性质，由指数函数的定义域，值域，容易得到对数函数的定义域为，值域为，利用上节学过的对数概念，也可得出这一点。3、对数函数的图象和性质定义底数图象定义域值域单调性增函数减函数共点性图象过点(1,0)，即函数值特征对称性函数与的图象关于轴对称4对数函数与指数函数的比较名称指数函数对数函数一般形式定义域值域函数值变化情况当时当时当时当时单调性当时，是增函数；当时，是减函数当时，是增函数；当时，是减函数图象的图象与的图象关于直线对称要牢记的反函数的图象，
9、并由此归纳出表中结论。5、比较大小比较对数的大小，一般遵循以下几条原则：如果两对数的底数相同，则由对数函数的单调性（底数为增；为减）比较。如果两对数的底数和真数均不相同，通常引入中间变量进行比较。如果两对数的底数不同而真数相同，如与的比较（）.当时，曲线比的图象（在第一象限内）上升得慢，即当1时，；当时，. 而在第一象限内，图象越靠近轴对数函数的底数越大（同考题2的含义）当时，曲线比的图象（在第四象限内）下降得快，即当时，；当时，即在第四象限内，图象越靠近轴的对数函数的底数越小。6、求参数范围凡是涉及对数的底含参数的问题，要注意对对数的底数的分析，需要分类讨论时，一定要分类讨论。二、点击考点考
10、题1计算对数函数对应于取、64、128时的函数值。解析当时，；当时，；当时，；当时，点评本题主要考查学生利用对数运算法则，准确地进行对数运算的能力，在计算过程中要将算式转化为公式结构，从而熟练地运用公式。考题2如图是对数函数的图象，已知值取，则图象相应的值依次是（ ）A、B、C、D、解析当时，图象上升；，图象下降，又当时，越大，图象向右越靠近轴；时，越小，图象向右越靠近轴，故选A。点评这类问题还可这样求解，过点(0,1)作轴的平行直线（如图）与的交点的横坐标，即为各对数底的值，显然，交点越在左边，底越小，这种求解方法简单易记。考点3已知，且1，函数与的图象只能是图中的（ ）分析可以从图象所在的
11、位置及单调性来判别，也可利用函数的性质识别图象，特别注意底数对图象的影响。解法一：首先，曲线只可能在上半平面，只可能在左半平面上，从而排除A、C。其次，从单调性着眼，与的增减性正好相反，又可排除D。解法二：若，则曲线下降且过点(0,1)，而曲线上升且过，以上图象均不符合这些条件. 若时，则曲线上升且过(0,1)，而曲线下降且过，只有B满足条件。解法三：如果注意到的图象关于轴的对称图象为，又与互为反函数（图象关于直线对称），则可直接选定B。答案B点评函数图象是一个重要的问题，可从定义域、值域、单调性、对称性及特殊点入手筛选，对常见函数图象一定要掌握好。考点4已知，那么的取值范围是 。分析利用函数
12、单调性或利用数形结合求解。解由，得当时，；当时，故，或答案或点评解含有对数符号的不等式时，必须注意对数的底数是大于1还是小于1，然后再利用相应的对数函数的单调性进行解答，理解会用以下几个结论很有必要：（1）当时，；（2）当时，考题5设，（1）求；（2）求证：在上为增函数.解析（1）设，则于是因此（2）设，则 即 ，即在上为增函数。点评问题（1）中所采用的换元法求解析式是复合函数解析式求法中经常用到的，复合函数的单调性问题，要注意讨论的单调性，这里，若条件改为，且，该如何解答？考题6求下列函数的定义域：（1）解析要使原函数有意义，需即当时，当时，当时，原函数定义域为；时，原函数定义域为点评函数有
13、意义的条件，可能有许多个，对每一个条件都不能丢掉，然后求解.考题7设函数（1）若的定义域为R，求的取值范围；（2）若的值域为R，求的取值范围。解析（1）因为的定义域为R，所以对一切恒为正数，由此可得，且，解得（2）因为的值域为R，所以真数能取到一切正实数，由此可得，且，解得点评本题很多同学容易把（1）与（2）混为一谈，常用求解问题（1）的方法去处理问题（2）。区别它们的依据：对函数的定义域和值域的理解，以及二次、对数函数性质的应用。考题8（1）的大小顺序为（ ）ABCD（2）若，试比较的大小.解析（1），选B。（2）， 又，且， 故有考题9（1）若方程的所有解都大于1，求的取值范围；（2）若，
14、求的取值范围.解析（1）原方程化为 若使，则需，原方程等价于解得. 的取值范围是（2）当时，有为增函数，结合，故当时，有为减函数，结合，的取值范围是考题10若不等式，当时恒成立，求实数的取值范围.解析要使不等式在时恒成立，即函数的图象在内恒在函数图象的上方，而图象过点.由图可知，显然这里 函数递减，又，即 所求的的取值范围为点评原问题等价于当时，的图象在的图象的下方，由于的大小不确定，当时，显然，因此必为小于1的正数，当的图象通过点时，满足条件，此时那么是大于还是小于才满足呢？可以画图象观察，请试着画一画，这样可以对数形结合的方法有更好地掌握。考题11某城市人口总数为100万人，如果年自然增长
15、率为1.2%，试解答下列问题：（1）写出该城市人口总数(万人)与年份(年)的函数关系式；（2）计算10年以后该城市人口总数（精确到0.1万人）；（3）计算大约多少年以后该城市人口将达到120万人（精确到1年）；（4）如果20年后该城市人口总数不超过120万人，年自然增长率应该控制在多少？解析（1）1年后该城市人口总数为；2年后该城市人口总数为3年后该城市人口总数为；年后该城市人口总数为（2）10年后该城市人口总数为：(万人).（3）设年后该城市人口将达到120万人，即 (年).（4）设年自然增长率为，依题意有， ，（用计算器计算）.，即，故年自然增长率应控制在0.9%以内。点评从此例可以看出中
16、国的人口增长压力很大，因此控制人口增长刻不容缓，计划生育的国策不可改变三、夯实双基1：已知是上的减函数，那么的取值范围是 A.B. C.D.2：设，函数，则使的的取值范围是（A）（B）（C）（D）3、若，则的大小关系为（ ）AB CD答案均有可能4、已知，则 （ ）A B. B. D.5函数的图象是（ ）6函数y（1）的图象关于（）Ay轴对称 Bx轴对称 C原点对称D直线yx对称7函数f（x）的定义域是（）A（1，）B（2，）C（，2）D8已知定义域为R的偶函数f（x）在0，上是增函数，且f（）0，则不等式f（log4x）的解集是_9、若函数是奇函数，则10函数恒过定点.11下列四个命题：；函
17、数与是同一函数；，则；，则其中正确命题的序号是.12求函数的定义域.13已知函数的图象过点（1,3），其反函数的图象过(2,0)点，求的表达式.14已知函数（1）判断的奇偶性；（2）证明：在上是增函数.四、感悟高考1设，则的值为（ ）A0B1C2D3解析，则故选C。2函数的定义域是（ ）ABCD解析由可得，故选B。3已知，则有（ ）ABCD解析，同理.，即故选D。4已知函数，若，则等于（ ）ABC2D2解析本小题主要考查函数的概念以及函数的奇偶性，函数是奇函数，故选B。5已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，则（ ）ABCD解析由题意得，则，故选D。6（理）已知，则（ ）ABCD（文）已知，
18、则（ ）ABCD解析（理）由，得函数为减函数，又由，故应选A.点评本题考查了对数函数的单调性及其应用.（文）由，得函数为减函数，又由，故应选D。点评本题考查了对数函数的单调性及其应用.7（理）设函数的图象过点(2,1)，其反函数的图象过点(2,8)，则等于（ ）A3B4C5D6（文）设函数的图象过点(0,0)，其反函数的图象过点(1,2)，则等于（ ）A3B4C5D6解析（理）反函数的图象过点(2,8)，则原函数图象过点(8,2)，又的图象过点(8,2)，又的图象过点(2,1).由题意得则有，故选B。（文）反函数图象过点(1,2)，原函数图象过点(2,1)，求得则，故选B。8函数（ ）A是偶函
19、数，在区间上单调递增B是偶函数，在区间上单调递减C是奇函数，在区间上单调递减D是奇函数，在区间上单调递增解析易知是偶函数，当时，在上是增函数，所以在时是减函数。故选B。9设，函数的反函数和的反函数的图象关于（ ）A轴对称B轴对称C对称D原点对称解析的反函数为，而的反函数为，因此，它们关于轴对称。故选B。10设集合，则等于（ ）ABCD解析由或，由，故选A。11函数的定义域是（ ）ABCD解析由，得，故选D.10记函数的反函数为，则等于（ ）A2B2C3D1解析由，得，故选B。11函数在上的最大值和最小值之和为，则的值为（ ）ABC2D4解析与的单调性相同，函数在上是单调函数，当时，是最小值，是
20、最大值，当时，是最大值，是最小值，故，即，化简得，解得故选B。12若函数的定义域和值域都是，则等于（ ）ABCD2解析，又，故，且，13已知函数与的图象有公共点A，且点A的横坐标为2，则等于（ ）ABCD解析由条件知，解得故选A。14若函数的图象可由函数的图象绕坐标原点O逆时针旋转得到，则等于（ ）ABCD解析设为上任一点，把点A绕原点逆时针旋转，得到，B点必在上，则 A点满足，代入，整理得故选A。15设是定义在R上的奇函数，若当时，则。解析因为时，又为奇函数，所以，设，所以，所以故应填：116对于函数定义域中任意的，有如下结论：；当时，上述结论中正确结论的序号是。解析. 不对。对。由图知是两
21、点的斜率且大于0。对。由图知，不对正确。故应填：。17已知，设函数在内单调递减；曲线与轴交于不同的两点。如果P和Q有且只有一个正确，求的取值范围。解析当时，函数在内单调递减，当时，函数在内不是单调递减函数。曲线与轴交于不同的两点等价于，即或情形一：P正确，且Q不正确，即函数在内单调递减，曲线与轴不交于不同的两点，因此，即情形二：P不正确，且Q正确，即函数在内不是单调递减函数，曲线与轴交于不同的两点，因此且或，即。综上，的取值范围为18已知函数，求函数的定义域，并讨论它的奇偶性和单调性。解析由题意知需满足由得所以函数的定义域为因为函数的定义域关于原点对称，且对定义域内的任意，有所以是奇函数.研究
22、在(0,1)内的单调性，任取，且，则由得，即在(0,1)内单调递减，由于是奇函数，所以在内单调递减。夯实双基参考答案：1解：分段函数的单调性需分段处理.答案选C2解：要使，且，所以，又，故选C.3D4解：由已知，因为在定义域内是单调递增的，所以答案为A.5D6解析：y（1），所以为奇函数形如y或y的函数都为奇函数答案：C7解析：要保证真数大于0，还要保证偶次根式下的式子大于等于0，所以解得1x2答案：D8解析：因为f（x）是偶函数，所以f（）f（）0又f（x）在0，上是增函数，所以f（x）在（，0）上是减函数所以f（log4x）0log4x或log4x解得x2或0x答案：x2或0x9解：由于是奇函数，即，又，10（3，1）11121314（1）奇函数（2）略w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
