1、2013年团风中学高二数学试卷（理科）命题人：胡鑫 2014.1.5一、选择题（每小题5分共50分，请将唯一正确的答案选项填入相应的答题表格中）1.运行右图程序，如果输入，则输出结果为（ ）ABC D 2.从8名学生（其中男生6人，女生2人）中按性别用分层抽样的方法抽取4人参加接力比赛，若女生不排在最后一棒，则不同的安排方法数为 （ ）A1440B960C720 D360 3.将参加数学竞赛的600名学生编号为：001,002，600.采用系统抽样的方法抽取一个容量为50的样本，已知随机抽取的一个号码为003，则从编号为496到600的号码中，抽取的人数为 （ ） A7 B8 C9 D104.
2、一个袋中有5个大小相同的球，其中3个黑球2个红球，如果从中任取2个球，则恰好取到两个相同颜色球的概率为 （ ）A B C D第7题图5.某运动员每次投篮的命中率为40，现采用随机模拟的方法估计该运动员3次投篮恰好命中2次的概率，先由计算器产生0到9之间取整数值的随机表，指定1,2,3,4表示命中，5,6,7,8,9,0表示不命中，再以每3个随机数为一组，代表3次投篮的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数：907 966 191 925 271 932 812 458 569 683 431 257 393 027 556 488 730 113 537 989 据此估计，该运动员3次投篮恰好
3、命中2次的概率为 （ ）A0.25 B 0.35 C0.20 D0.156.某产品的广告费用(万元)与销售额(万元)的统计数据如下表:广告费用(万元)4235销售额(万元)49263954 依据上表可知回归直线方程为，其中已知，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为 （ ）A63.6万元 B65.5万元C67.7万元D72.0万元7.执行如图所示的程序框图，若输入的p0.8,则输出的n为( )A 4 B5 C6 D38.有5本不同的书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本，若将其随机并排摆放到书架的同一层上，则同一科目的书都不相邻的概率为 ()A. B. C. D. 9.在发生某公共卫生事件
4、期间，有专业机构认为该事件在一段时间内没有发生大规模群体感染的标志是“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”，依据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合没有发生大规模群体感染的标志的是 （ ）A甲地：总体均值为3，中位数为4B乙地：总体均值为1，总体方差大于0C丙地：中位数为2，众数为3 D丁地：总体均值为2，总体方差为310.已知，则的值使得过点可以作2条直线与圆相切的概率为 （ ）A B C D 二、填空题（每小题5分，共25分）11.若的展开式中的系数为，则 .12.由数字2, 3组成四位数，要求数字2, 3至少都出现一次，这样的四位数共有 个.第14题图13.对于任意
5、的实数，等式恒成立，则 .14.如右边茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中有一个数字无法看清，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为 .15.对于，将表示为，当时，当时，为或，记为上述表示中为的个数，例如：，故，则： ； .三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16（本题满分12分）袋中有3个白球，3个红球和5个黑球从中抽取3个球，若取得1个白球得1分，取得1个红球扣1分，取得1个黑球得0分求所得分数的概率分布列17（本题满12分）的二项展开中（1）若第5项的二项式系数与第3项的二项式系数的比是143，求展开式中的常数项;（2）若所有奇数
6、项的二项式系数的和为，所有项的系数和为，且，求展开式中二项式系数最大的项18.（本题满分12分）甲、乙、丙、丁、戊五名奥运志愿者被随机分到、四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者(1)求甲乙两人不在同一岗位服务的概率；(2)求甲乙不在同一岗位服务且乙丙也不在同一岗位服务的概率19（本题满分12分）已知函数，.(1)若从集合0,1,2,3中任取一个元素，从集合0,1,2中任取一个元素，求方程有两个不相等实根的概率；(2)若从区间0,2中任取一个数, 从区间0,3中任取一个数，求方程没有实根的概率20.（本题满分13分）武汉电视台为了宣传武汉城市圈的情况，特举办了一期有奖知识问答活动，活动对
7、1848岁的人群随机抽取人回答问题“武汉城市圈包括哪几个城市”，统计数据结果如下表：组数分组回答正确的人数占本组的频率第1组18,28)240第2组28,38)3000.6第3组38,480.4 (1)分别求出，的值；(2)依据上频率分布直方图求参与活动人群年龄的众数的估计值是多少？中位数的估计值是多少？（3）若以表中的频率近似看作各年龄组正确回答问题的概率，规定年龄在38,48内回答正确的得奖金200元，回答错误的得鼓励奖金20元,年龄在18,28)内回答正确的得奖金100元，回答错误的得鼓励奖金10元,主持人随机请一家庭的两个成员(父亲46岁，孩子21岁)回答问题，设该家庭获得奖金数为元，
8、记事件为“数列为递减数列”，求事件发生的概率21.（本题满分14分）（1）已知且 ，求证： . (2)已知数列满足 ，是否存在等差数列，使 对一切均成立？若存在，求出数列的通项公式；若不存在，说明理由.高二数学（理科）参考答案一、选择题题号12345678910答案ACBCABABDD二、填空题11.-1 12. 14 13. 80 14. 15. (1) 2 (2) 129 (第1空2分，第2空3分)三、解答题16.解:得分的取值为3，2，1,0,1,2,3.P(3)；P(2)；P(1)；P(0)；P(1)；P(2)；P(3)；所求概率分布列为：3210123P17.解：（1）依题意Cn4C
9、n2143，化简，得(n2)(n3)56，解得n5(舍去)，或n10. 令0得r2.故常数项为第3项，T332C1025. 6分（2），则，解得：， 展开式中二项式系数最大的项是第3项和第4项， ，12分18.解：（1）总的方法数是，甲乙两人在同一岗位服务的方法数是，所以甲乙两人不在同一岗位服务的概率是. 6分（2）总的方法数是，（I）若乙1人在一个岗位服务，则方法数是；（II）若乙是2人在一个岗位服务，则方法数是；所以甲乙两人不在同一岗位服务且乙丙也不在同一岗位服务的概率是 12分19.解：（1）a取集合0,1,2,3中任一个元素，b取集合0,1,2中任一个元素，a，b的取值的情况有(0,0
10、)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，其中第一个数表示a的取值，第二个数表示b的取值，即基本事件总数为12.设“方程f(x)0有两个不相等的实根”为事件A，即，得，当ab时，a，b取值的情况有(1,0)，(2,0)，(2,1)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，即A包含的基本事件数为6，方程f(x)0有两个不相等实根的概率P(A). 6分(2)a从区间0,2中任取一个数，b从区间0,3中任取一个数，则试验的全部结果构成区域(a，b)|0a2,0b3，这是一个矩形区域，其面积 S236.设“方程f
11、(x)0没有实根”为事件B，则事件B所构成的区域为M(a，b)|0a2,0b3，ab，即图中阴影部分的梯形，其面积SM6224.由几何概型的概率计算公式可得方程f(x)0没有实根的概率P(B). 12分20.解：（1）由频率表中第2组数据可知，第2组总人数为500，再结合频率分布直方图可知1000，所以10000.02100.480，0.8 3分（2）依据上频率分布直方图求参与活动人群年龄的众数的估计值在28,38)中，即众数的估计值为，中位数的估计值在28,38)中，得，即中位数的估计值为32. 6分（3）父亲回答正确的概率为0.4，孩子回答正确的概率为0.8，由题意可知该家庭获得奖金数为元
12、，的值有为，又为递减数列，则对于对一切均成立，即，得对一切均成立，即，则，即父亲回答错误且孩子回答正确或父亲回答正确且孩子回答错误， 则 13分21.（1）证明：kCnkknCn1k1. 5分 （2）方法（一）an= + =+ kCnknCn1k1，=1Cn12Cn23Cn3nCnn. 又=故an=+ =（1Cn12Cn23Cn3nCnn）+() =2Cn13Cn24Cn3（n+1）Cnn即2Cn13Cn24Cn3（n+1）Cnn= b1Cn1b2Cn2bnCnn，bnn+1，bn1n，bnbn11与n无关 存在等差数列bn，且通项公式为+1 14分方法（二）假设存在等差数列，使 对一切均成立，则时，时，若存在等差数列，则可知+1，下证明等式 对一切均成立，即2Cn13Cn24Cn3（n+1）Cnn对一切均成立，记2Cn13Cn24Cn3Cnn（n+1）Cnn又（）CnCn（）Cn3Cn22Cn1（）CnCn（）Cn3Cn2Cn则（）（）（）（）（）（）（）（）即2Cn13Cn24Cn3（n+1）Cnn对一切均成立， 存在等差数列bn，且通项公式为+1 14分
