1、方程思想方法,在解决某些数学问题时，常常通过设出未知数，根据已知与未知之间的等量关系，构造方程或方程组，然后求解方程或方程组，从而使问题得到解决，这种解决问题的思想方法称为方程思想方法。方程是含有未知数的等式，因此，应用方程思想方法解决数学问题，要经过设未知数、列方程、解方程的过程。,设未知数的意识,在解决某些问题时，能够想到通过设未知数去解决，就是方程思想的体现，这是非常重要的，也是应用方程思想解决问题的第一步。设未知数解决问题的思想，是代数思想的体现，学生在初中一年级学习代数式、一元一次方程的过程，正是代数思想形成的初期，也是培养设未知数解决问题意识的重要时期。因此，在这个时期，应该注意培
2、养学生设未知数解决问题的意识。特别是在解决某些几何问题的过程中，更要有意识地培养设未知数的意识。,例如，如图，AB=AC，BD=BC=AD，求C的度数。 需要设A的度数为x，列出方程 5x=180 进行求解。,如图，求圆半径的长，就需要引入未知数x，列出方程 42+(x-2)2=x2从而求出半径的长。,例如，如图，AB=AC，BD=BC=AD，求C的度数。 需要设A的度数为x，列出方程 5x=180 进行求解。,怎么设未知数,未知数设得恰当，解方程的过程就简单；未知数设得不恰当，解方程的过程就复杂；如果未知数设得不对，很可能使问题得不到解决。低年级学生习惯于“求什么设什么”，但是，在有些情况下
3、并不是这样的，要选择适当的对象设成未知数，力求解决问题的方法简单。,设未知数常用方法(1),例如：如图，ABC中，A=90,B=60，那么这个三角形的三边有 1：2：的关系。 因此，一般情况下，设一倍量为 x 比较简单。,A,B,C,60,x,2x,设未知数常用方法(2),如图，ABC中，A=90，BD=8， cosB= ， cotADC= ， 求AC的长。,A,B,C,?,D,8,设未知数常用方法(2),在这个问题中，设AB=12x，BC=13x，得到AC=5x，AD=12x-8，根据 cotADC= 列出方程 解出x，从而求得AC的长,A,B,C,D,8,13x,5x,12x8,方法：设一
4、份为x.,寻找等量关系列方程,首先应该明确：要求未知数的值，就要列出关于该未知数的方程；其次还应该明确：要求几个未知数的值，就要列出几个关于该未知数的独立的方程；正确列出方程是应用方程思想解决问题的关键，列方程的依据是已知条件中的等量关系。寻找等量关系列方程过程中的难点，是挖掘已知中的隐含条件。,寻找等量关系列方程,挖掘隐含条件所谓隐含条件是指题干中没有明确给出，而隐藏在基本原理、基本概念、图形、图表或实际背景中的条件。例如，一辆汽车以每小时60公里的速度从甲城市开往乙城市，随后用每小时40公里的速度返回。问它在整个行程中的平均速度是多少？,解方程求出所需的未知数值,解方程的目的一定要明确如果
5、所求未知数的值就是问题的解，那么必须求出这个未知数的值；如果所求未知数的值不是问题的直接结果，那么，在解方程的过程中，可以消去这个未知数，从而减少不必要的计算。,例1，正比例函数y=kx (k0) 图象上一点与原点距离为13，过这点向x轴作垂线，这点到垂足间的线段和x轴及该图象围成图形的面积等于30，求这个正比例函数的解析式。,例1，正比例函数y=kx (k0) 图象上一点与原点距离为13，过这点向x轴作垂线，这点到垂足间的线段和x轴及该图象围成图形的面积等于30，求这个正比例函数的解析式。 分析：欲求正比例函数解析式，需要设出y=kx (k0) 和P(a,b)，,例1，正比例函数y=kx (
6、k0) 图象上一点与原点距离为13，过这点向x轴作垂线，这点到垂足间的线段和x轴及该图象围成图形的面积等于30，求这个正比例函数的解析式。 分析：欲求正比例函数解析式，需要设出y=kx (k0) 和P(a,b)， 这里有三个未知数，根据已知条件，列出三个方程,x,y,O,由于只要求出k即可解决问题，所以，只要从方程组中消去a、b，求出k的值即可。 、2代入，得到关于k的方程 60k2+132k+60=0， 解得k1=-12/5，k2=-5/12， 所求正比例函数解析式为 本问题中如果求出a、b的值，会增加许多繁琐的计算。,例2，一商店以每3盘16元钱的价格购进一批录音带，又从另外一处以每4盘2
7、1元钱价格购进比前一批数量加倍的录音带，如果以每3盘k元的价格全部出售可得到所投资的20的收益，求k的值。,通过构造方程来解决问题,通过构造方程来解决问题，是应用方程思想的较高要求。这需要对问题的实质认识深刻，熟悉各种方程的性质，具有丰富的联想能力。,通过构造方程来解决问题,例1 解方程组 根据一元二次方程根与系数关系，把方程组中x、y 看成一元二次方程 的两根解这个方程得所以原方程组的解为,通过构造方程来解决问题,例2 已知 求 的值构造方程,方程思想与待定系数法,在解决数学问题时，先假设某些未知系数，然后根据所给条件来确定未知系数，从而使问题得到解决的方法，就是待定系数法。,方程思想与待定
8、系数法,待定系数法的思维特点是：先假定所求的解已经获得，其中含有某些未知系数，然后根据已知条件，把已知未知进行比较，得出一些方程，解由这些方程构成的方程组，求出各待定系数的值或者从方程组中消去这些待定系数，找出原来那些已知系数间的关系，从而使问题得到解决。,待定系数的设定，要便于问题的求解,例如，抛物线y=ax2+bx+c 与x轴交点A（3，0），对称轴x=1，顶点C到x轴的距离为2，求抛物线的解析式。,待定系数的设定，要便于求解问题,例如，抛物线y=ax2+bx+c 与x轴交点A（3，0），对称轴x=1，顶点C到x轴的距离为2，求抛物线的解析式。,-3,C1,C2,待定系数的设定，要便于求解
9、问题,例如，抛物线y=ax2+bx+c 与x轴交点A（3，0），对称轴x=1，顶点C到x轴的距离为2，求抛物线的解析式。 在求二次函数的解析式时，根据已知条件的特点，可以把解析式设为一般式、顶点式或交点式，而且待定系数越多越不利于求解。 本题设抛物线解析式为y=a(x+3)(x-1) （仅有一个待定系数），将 C(-1,2) 代入，解出 a= 1/2，进而得到b= 1, c= 3/2。,方程思想与换元法,在解方程的过程中，经常要把某些代数式看成一个整体，引入一个新的变量（元），使原方程转化为一个关于新元的方程，求出新方程的解以后，再把新元还原回去，得到原方程的解。这就是所谓的换元法。换元法的使
10、用，可以简化解方程的过程。,例如,从运用方程思想去分析，设未知数 x+y = t列方程 t（t-1)=2解方程 t=2,用方程思想解决问题： 1. 要具有正确列出方程的能力 有些数学问题需要利用方程解决，而正确列出方程是关键，因此要善于根据已知条件，寻找等量关系列方程。 2. 要具备用方程思想解题的意识。 有些几何问题表面上看起来与代数问题无关，但是需要利用代数方法列方程来解决，因此要善于挖掘隐含条件，要具有方程的思想意识，还有一些综合问题，需要通过构造方程来解决。 3. 要掌握运用方程思想解决问题的要点 除了几何的计算问题要使用方程或方程思想以外，经常需要用到方程思想的还有一元二次方程根的判别式，根与系数关系，方程、函数、不等式的关系等内容，在解决与这些内容有关的问题时要注意方程思想的应用。,
