1、啁啾脉冲高斯光束在自由空间的传输* 作者简介：邹其徽（1968 ）男，四川人，四川大学在读博士研究生，主要研究方向为超短脉冲的传输与变换。 E-mail: qihui_ Tel. (028)85412819.邹其徽, 吕百达( 四川大学激光物理与化学研究所 四川 成都 610064 )摘要 基于瑞利衍射积分，使用复解析信号法推导出了啁啾脉冲高斯光束在自由空间中的传输方程及其傅里叶谱，给出了远场的光场和空间光强的解析式，研究了啁啾参数C对脉冲光束传输的影响。结果表明，当啁啾参数C较小时，随啁啾参数增加，其轴上光谱蓝移增加C2倍，其轴上谱线宽度增加(1+C2)1/2倍。随衍射角增大，轴外光谱红移比
2、无啁啾参数时快。脉冲宽度较小时，啁啾参数增大，轴上光强增大，横向光强分布越集中于传输轴附近；脉冲宽度较大时，啁啾参数增大对横向光强的影响减小。啁啾参数的正负号不影响横向光强分布和光谱分布。关键词 激光光学；超短脉冲高斯光束；啁啾；复解析信号中图分类号 O435 文献标识码 APropagation of ultrashort chirped pulsed Gaussian beams in free spaceQihui Zou , Baida L （Institute of Laser Physics & Chemistry, Sichuan University, Chengdu 6100
3、64, China）Abstract Based on the Rayleigh diffraction integral and complex analytical signal representation, the free-space propagation equation and its Fourier spectrum for ultrashort chirped pulsed Gaussian beams are derived, and the far-field analytical electric field and spatial intensity are pre
4、sented. The effects of chirp parameter on the spatiotemporal and spectral properties are illustrated with analytical formulas and numerical calculation results. It is found that if the chirp parameter C is relatively small, the on-axis spectral blueshifts increase by C2 times, the on-axis spectral b
5、andwidth increases by (1+C2)1/2 times, and the off-axis spectral redshifts also increase considerably. On-axis intensity increases with increasing chirp parameter for relatively small values of the pulse duration. The transversal intensity distribution remains nearly unchanged with increasing chirp
6、parameter for relatively large values of the pulse duration. The sign of chirp parameters has no effect on the spectral distribution and transversal intensity distribution.Key words Laser optics ；Ultrashort pulsed Gaussian beam； Chirp； Complex analytical signal representation1 引 言超短超强激光脉冲在自由空间、线性无损耗
7、介质中和非线性色散介质的传输的研究引起了广泛的关注1-4，以初始源平面的时间波形为高斯脉冲2,3、泊松脉冲5、双曲正割脉冲6,7，洛仑兹脉冲6的研究居多。随着超短超强激光脉冲技术的发展，特别是啁啾脉冲放大(CPA)技术的应用，超短脉冲系统中啁啾脉冲的特性一直是所关心和重视的问题，研究啁啾脉冲8,9,10在真空或色散介质的时空和光谱特性在光通信等方面具实际应用意义。本文基于瑞利衍射积分，使用复解析信号法推导出了非近轴超短啁啾脉冲高斯光束在自由空间中传输的解析传输方程和傅里叶谱，计算分析了啁啾参数的变化对超短啁啾脉冲高斯光束传输的时空特性和光谱特性的影响。2 啁啾脉冲高斯光束在自由空间的传输方程根
8、据瑞利索末菲衍射积分公式11, 空间中光场分布在Z0的半空间的任一点r=(x, y, z)的光场E(r,w)表示为 (1)式中：r0=(x0, y0, 0)是入射面上的任一点；E0(r0, w)是初始场分布；k是波数，k=w/c；cos =z/r，r=(x2+y2+z2)1/2，为衍射角。设入射面z=0上有一高斯脉冲光束8,11 , (2)式中：S(w)是初始轴上的脉冲光谱；r02 =x02 +y02；a为束腰宽度，与频率无关的常数3。将（2）式代入（1）式积分得：. (3)式中：，为横向距离；c为真空中的光速。(3)式作傍轴近似得 . (4)式中：d=zwc/(Ld w) ； Ld= wca
9、2/c (载波频率处的衍射长度)；wc为载波频率。（4）式与文献8中的（3）式一致。设在z=0处的啁啾高斯脉冲的光场实数形式为8,9 (5)式中：T是与初始时刻脉冲宽度TFWHM相关的参数，即TFWHM=2 T (ln2)1/2；C为啁啾参数。初始脉冲A(t)的傅里叶变换为。 (6)式中：。使用复解析信号法12，将（6）式代入（3）式可得啁啾脉冲高斯光束的傅里叶谱 (7)由（7）式可得啁啾脉冲高斯光束的功率谱： . (8)由（8）式看出，啁啾脉冲高斯光束的功率谱与啁啾参数的正负号无关，与其大小有关。在远场近似下（rka2），（7）式化为： . (9)啁啾脉冲高斯光束的复解析信号解可表示为12
10、. (10)将（7）式代入（10）式即可用数值计算求得超短啁啾脉冲高斯光束的复解析信号解。在远场近似下，其光场的复解析信号解可解析给出 , (11)式中：为当地时间；erf()为误差函数。 ， (11a)， (11b)， (11c) . (11d)（9）式和（11）式是本文的主要解析表达式，分别适用于非近轴情形的啁啾脉冲高斯光束在夫琅禾费衍射区的傅里叶谱和光场。根据巴塞伐定理，超短啁啾脉冲高斯光束的空间光强 (12)将（8）式代入（12）式即可求出其空间光强，由于功率谱与啁啾参数的正负号无关，所以其空间光强与啁啾参数的正负号无关。在远场近似下，其空间光强可由（9）式解析给出 (13)式中：；。
11、3 数值计算和分析当啁啾参数C=5时，0、2、4和6时的啁啾脉冲高斯光束的时间波形由图1给出。由图1看出，随衍射角增大，脉冲展宽。图2给出了使用（8）式计算衍射角=0、0.5、1.0和1.5的啁啾脉冲高斯光束的归一化功率谱。(a) C=0；(b) C=2。啁啾参数C=0时，对应于衍射角=0、0.5、1.0和1.5时，其功率谱取极大值对应的角频率分别为2.40fs-1、2.03fs-1、1.32fs-1和0.82fs-1；啁啾参数C=2时，对应于不同衍射角，其功率谱取极大值对应的角频率分别为2.55fs-1、1.33fs-1、0.58fs-1和0.33fs-1。因此，啁啾参数不为零时，轴上光谱蓝
12、移增大，随衍射角增大，啁啾脉冲高斯光束的轴外光谱红移比无啁啾参数时快。图1和图2的时间和光谱特性变化规律可由衍射理论解释，由于衍射角与波长有关，随着衍射角增大，低频分量起决定作用，这将导致光谱红移，变窄，脉冲变宽13。而啁啾参数使轴上光谱蓝移增加和谱线宽度展宽可作如下解释。由（8）式，当啁啾参数较小时，轴上功率谱可近似为. (14)由（14）式可得轴上的谱线宽度（1/e强度的谱线半宽度）约为，与啁啾参数为零时比较，啁啾脉冲高斯光束的轴上谱线宽度增加(1+C2)1/2倍14。对（14）式求角频率的偏导数，并令其等于零得轴上光谱蓝移. (15)由（15）式看出，啁啾脉冲高斯光束的轴上光谱蓝移与脉冲
13、宽度、啁啾参数和传输距离有关，脉冲宽度越大，光谱蓝移越小，啁啾参数不为零时的轴上光谱蓝移增加C2倍，轴上光谱蓝移在远场趋于一渐近值(1+C2)/w0T2。图3给出了啁啾参数C=0、2和4的啁啾脉冲高斯光束的归一化的轴上功率谱。由图3看出，随着啁啾参数增大，轴上谱线宽度展宽，轴上光谱蓝移增大，光谱分布为高斯型分布（(14)式为光谱的高斯型分布）。相应于啁啾参数C=0、2、4和5时，由（8）式计算其轴上光谱蓝移分别为0.04、0.19、0.53和0.74fs-1，而使用近似公式（15）式计算的光谱蓝移分别为0.040、0.185、0.530和0.737fs-1。可见，使用（15）式计算的光谱蓝移结
14、果与数值计算结果吻合。 图4给出了z=8，20，50和500mm的啁啾脉冲高斯光束的归一化轴上功率谱。图4表明，啁啾脉冲高斯光束由近场传输到远场的过程中，谱线宽度几乎不变，轴上光谱蓝移增加并在远场趋于一渐近值0.23fs-1。对应于z=8，20，50和500mm，蓝移分别为0.03, 0.12, 0.20和0.23fs-1，与采用(15)式的计算值一致。图5给出了采用（13）式计算啁啾参数C=0、6和12的啁啾脉冲高斯光束的归一化空间光强分布I(r)/Imax，其Imax为无啁啾时的轴上光强。( a ) T=3fs, ( b ) T=9fs。由图5看出，初始脉冲宽度小时，随啁啾参数增大，轴上光
15、强增大，光强分布越集中于传输轴附近；但初始脉冲宽度较大时，啁啾参数的增大对空间光强分布影响减小，后者与文献8的变化规律一致。4 结论 基于瑞利衍射积分，使用复解析信号法推导出了啁啾脉冲高斯光束在自由空间的传输方程及其傅里叶谱，给出了远场的光场，傅里叶谱和空间光强的解析式。结果表明，随衍射角增大，啁啾高斯光脉冲展宽及轴外光谱红移，且离轴光谱红移比无啁啾参数时快。啁啾参数较小时，轴上谱线宽度增加(1+C2)1/2倍及轴上光谱蓝移增加约C2倍。初始脉冲宽度较小时，啁啾参数增大，轴上光强增大，横向光强分布越集中于传输轴附近。但初始脉冲宽度较大时，啁啾参数的增大对横向光强分布的影响减小。啁啾参数的正负号
16、不影响横向光强分布和光谱分布。参考文献1 王中阳，张正泉，徐至展. 脉冲光束在均匀色散介质中的传播 J. 中国激光，1997，24(8)：7157202 王中阳，张正泉，徐至展. 短脉冲高斯光束的时空形式 J. 光学学报，1997，17(3)：1501543 G. P. Agrawal. Far-field diffraction of pulsed optical beams in dispersive media J. Opt. Commun., 1999, 167: 15224 M. A. Porras. Propagation of single-cycle pulsed light
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21、ua University Press，2004Real (E) (a. u.)Real (E) (a. u.)Local time t /fs Local time t /fs ( a ) ( b )Real (E) (a. u.)Real (E) (a. u.)Local time t /fs Local time t /fs ( c ) ( d )图1 C=5的啁啾脉冲高斯光束的时间波形。(a) =0,(b) =2.0，(c) =4.0,(d) =6.0 Fig.1 The temporal pulse forms of ultrashort chirped pulsed Gaussia
22、n beams for chirp parameter C=5.(a) =0,(b) =2.0，(c) =4.0,and (d) =6.0.In this case: wc =2.36fs-1, T=3fs, a=0.05mm, and r=100mmNormalized power spectraNormalized power spectraFrequency/ fs-1Frequency/ fs-1 ( a ) ( b )图2 啁啾脉冲高斯光束的归一化功率谱。(a) C0，(b) C2。 Fig.2 Normalized power spectra of ultrashort chirp
23、ed pulsed Gaussian beams for different values of diffraction angle =0, 0.5, 1.0and 1.5. (a) C0 and (b) C2。In this case: wc=2.36fs-1, T=3fs, a=0.05mm, and r=50mmNormalized power spectraFrequency /fs-1图3 C=0，2和4的啁啾脉冲高斯光束的归一化轴上功率谱。Fig.3 Normalized on-axis power spectra of ultrashort chirped pulsed Gaus
24、sian beams for different values of C=0，2, and 4. In this case: wc=2.36fs-1, T=3fs, a=0.05mm, and z=50mmNormalized power spectraFrequency /fs-1图4 z=8，20，50和500mm的啁啾脉冲高斯光束的归一化轴上功率谱。Fig.4 Normalized on-axis power spectra of ultrashort chirped pulsed Gaussian beams for different values of z=8, 20, 50, a
25、nd 500mm. Other parameters have the same values as in Fig.1Normalized intensity I(r)/Imax/mm/mmNormalized intensity I(r)/Imax ( a ) ( b )图5 C=0、6、12的啁啾脉冲高斯光束的归一化横向光强分布I(r)/Imax。( a ) T=3fs，( b ) T=9fs Fig.5 Normalized transversal intensity distributions of ultrashort chirped pulsed Gaussian beams for different values of C= 0, 6, and 12. In this case: wc=2.36fs-1, T=3fs, a=0.05mm, and z=200mm9
