1、2020 4 16 1 第二节定积分存在的条件 一 定积分存在的充分必要条件二 可积函数类 2020 4 16 2 一 定积分存在的充分必要条件 要判断一个函数是否可积 但由于积分和的不确定性和那个极限常数不易预知 因此这是极其困难的 下面即将给出的可积准则 将不确定性过渡到相对确定性 且只与被积函数本身有关 而不涉及定积分的值 2020 4 16 3 2020 4 16 4 2020 4 16 5 和式 2020 4 16 6 所以 可积性理论总是从上和与下和入手 2020 4 16 7 定理 在原有的分割T中加入新的分点 则上和不增 下和不减 即 在原有分割T中加入新的分点后得新分割T 它
2、对应的上和与下和分别记为 2 达布和的性质 2020 4 16 8 2020 4 16 9 其中 2020 4 16 10 2020 4 16 11 定理 对任意分割T 都有 证 这里M m分别表示f x 在 a b 的上确界和下确界 即 上和必有下界 下和必有上界 2020 4 16 12 定理 对于任意两个分割T与T 有 任一分割T的下和都不超过另一分割T 的上和 任一分割T的上和都不小于另一分割T 的下和 2020 4 16 13 第一式得证 同理可证第二式 又因为 所以 2020 4 16 14 2020 4 16 15 为了证明达布定理 先介绍下面性质 证式中提炼出 为方便 2020
3、 4 16 16 2020 4 16 17 类似可证第二式 2020 4 16 18 显然得证 2020 4 16 19 证 只证第一式 要证 2020 4 16 20 对任意分割T 由性质的推论有 2020 4 16 21 2020 4 16 22 2020 4 16 23 3 定积分存在的充分必要条件 2020 4 16 24 2020 4 16 25 2020 4 16 26 Riemann可积的第一充要条件 f x 在 a b 上Riemann可积 其中 2020 4 16 27 定理 也可叙述成如下形式 2020 4 16 28 2020 4 16 29 充分性 2020 4 16
4、30 2020 4 16 31 Riemann可积的第二充要条件 f x 在 a b 上Riemann可积 其中 2020 4 16 32 注意到 证明 2020 4 16 33 于是易知f x 在 a b 上Riemann可积 2020 4 16 34 二 可积函数类 注意 单调函数即使有无限多个间断点 也仍然可积 2020 4 16 35 证根据在闭区间上连续函数性质 2020 4 16 36 从而导致 注意到一致连续性在本定理证明中所起的重要作用 2020 4 16 37 2020 4 16 38 2020 4 16 39 2020 4 16 40 2020 4 16 41 注 单调函数即使有无限多个间断点 仍不失其可积性 于是有 2020 4 16 42 例2试用两种方法证明函数 2020 4 16 43 2020 4 16 44 2020 4 16 45 2020 4 16 46 例3证明黎曼函数 2020 4 16 47 2020 4 16 48
