1、第四篇平面向量(必修4)第1节平面向量的概念及线性运算【选题明细表】 知识点、方法题号平面向量的概念1,10平面向量的线性运算3,5,8,13共线向量问题2,9三点共线问题4,11综合问题6,7,12,14基础对点练(时间:30分钟)1.给出下列命题:向量AB与向量BA的长度相等,方向相反;AB+BA=0;两个相等向量的起点相同,则其终点必相同;AB与CD是共线向量,则A、B、C、D四点共线.其中不正确的命题的个数是(A)(A)2(B)3(C)4(D)1解析:正确;中AB+BA=0,而不等于0;正确;中AB与CD所在直线还可能平行,综上可知不正确.故选A.2.“存在实数,使得a=b”,是“a与
2、b共线”的(A)(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件解析:当a0,b=0,a=b不成立.3.(2015福州期末)化简AC-BD+CD-AB+DE+EF+FA的结果为(B)(A)AB(B)DA(C)BC(D)0解析:AC-BD+CD-AB+DE+EF+FA=(AC+CD+DE+EF+FA)-(AB+BD)=DA.4.(2015资阳模拟)已知向量AB=a+3b,BC=5a+3b,CD=-3a+3b,则(B)(A)A,B,C三点共线(B)A,B,D三点共线(C)A,C,D三点共线(D)B,C,D三点共线解析:因为BD=BC+CD=2a+6b=2(a+3b)
3、=2AB,所以A,B,D三点共线.5.(2015济南校级期中)已知空间四边形ABCD,M,G分别是BC,CD的中点,连接AM,AG,MG,则AB+12(BD+BC)等于(A)(A)AG(B)CG(C)BC(D)12BC解析:因为G为CD的中点,所以BD+BC=2BG,所以AB+12(BD+BC)=AB+BG=AG.6.(2015德阳期末)已知P为ABC所在平面内一点,且满足AP=15AC+25AB,则APB的面积与APC的面积之比为(A)(A)12(B)2(C)13(D)3解析:令AE=15AC,AD=25AB,则AP=AE+AD,所以四边形ADPE是平行四边形,SPAD=SPAE,因为AE=
4、15AC,所以SPAE=15SPAC,因为AD=25AB,所以SPAD=25SPAB,所以SPABSPAC=12.7.(2015高台县校级期末)已知A,B,C三点不在同一条直线上,O是平面ABC内一定点,P是ABC内的一动点,若OP-OA=(AB+12BC),0,+),则直线AP一定过ABC的(A)(A)重心(B)垂心(C)外心(D)内心解析:如图,取BC的中点D并连接AD,则AB+12BC=AD,OP-OA=AP,因为OP-OA=(AB+12BC),0,+),所以AP=AD,即A,P,D三点共线,又因为AD为BC边上的中线,所以直线AP一定过ABC的重心.8.(2015黄浦区一模)已知点P,
5、Q是ABC所在平面上的两个定点,且满足PA+PC=0,2QA+QB+QC=BC,若|PQ|=|BC|,则正实数=.解析:因为满足PA+PC=0,所以点P是线段AC的中点,因为2QA+QB+QC=BC,所以2QA=QC-QB-QC-QB=2BQ,所以点Q是线段AB的中点,因为|PQ|=|BC|,所以=12.答案:129.(2015杨浦区二模)已知e1,e2是不平行的向量,设a=e1+ke2,b=ke1+e2,则a与b共线的充要条件是实数k等于.解析:a与b共线的充要条件是存在实数使得a=b,所以e1+ke2=(ke1+e2)=ke1+e2,因为e1,e2是不平行的向量,所以1=k,k=,解得k=
6、1.答案:110.给出下列命题:向量AB的长度与向量BA的长度相等;向量a与b平行,则a与b的方向相同或相反;两个有共同起点而且相等的向量,其终点必相同;零向量与任意数的乘积都为零.其中不正确命题的序号是.解析:AB与BA是相反向量,模相等,正确;由0方向是任意的且与任意向量平行,不正确;相等向量大小相等、方向相同,又起点相同,则终点相同;零向量与任意数的乘积都为零向量,不正确.答案:能力提升练(时间:15分钟)11.已知等差数列an的前n项和为Sn,且S200=100,A,B,C为平面内三点,点O为平面外任意一点,若OB=a100OA+a101OC,则A,B,C三点(A)(A)共线(B)不共
7、线(C)共线与否和点O的位置有关(D)位置关系不能确定解析:由题意知,S200=200(a1+a200)2=200(a100+a101)2=100.所以a100+a101=1,根据共线向量定理知A,B,C三点共线.12.(2015浙江镇海中学月考)已知O是三角形ABC所在平面内一定点,动点P满足OP=OA+(AB|AB|sinB+AC|AC|sinC)(0),则动点P的轨迹一定过三角形ABC的(D)(A)内心(B)外心(C)垂心(D)重心解析:如图,ADBC,由于|AB|sin B=|AC|sin C=|AD|,所以OP=OA+(AB|AB|sinB+AC|AC|sinC)=OA+|AD|(A
8、B+AC),所以OP-OA=AP=|AD|(AB+AC),因此点P在三角形ABC的中线上,故动点P的轨迹一定过三角形ABC的重心.13.(2015北京海淀期中)如图所示,在ABC中,D为BC边上的一点,且BD=2DC.若AC=mAB+nAD(m,nR),则m-n=.解析:因为BD=2DC,所以BC=-3CD,所以BC=AC-AB,CD=AD-AC,所以AC-AB=-3(AD-AC),所以AC=-12AB+32AD,则m=-12,n=32,所以m-n=-12-32=-2.答案:-214.(2015晋江市校级期中)如图,已知OCB中,B,C关于点A对称,D是将OB分成21的一个内分点,DC和OA交
9、于点E,设OA=a,OB=b.(1)用a,b表示向量OC,DC;(2)若OE=OA,求实数的值.解:(1)由题意知A是BC的中点,且OD=23OB,由平行四边形法则得OB+OC=2OA,则OC=2OA-OB=2a-b,则DC=OC-OD=2a-b-23b=2a-53b.(2)由题图知ECDC,因为EC=OC-OE=2a-b-a=(2-)a-b,DC=2a-53b,所以2-2=-1-53,解得=45.精彩5分钟1.(2014北京丰台一模)已知平行四边形ABCD中,点E为CD的中点,AM=mAB,AN=nAD(mn0),若MNBE,则nm=.解题关键:方程思想的应用.解析:如图所示,因为E是CD的
10、中点,AD=BC,且BE=BC+CE,所以BE=AD-12AB,而MN=AN-AM.已知AM=mAB,AN=nAD,所以MN=nAD-mAB,因为MNBE,所以一定存在实数,使得MN=BE,即nAD-mAB=(AD-12AB),所以(m-12)AB+(-n)AD=0.又因为AB与AD不共线,所以m-12=0,-n=0,所以m=12n,又m0,所以nm=2.答案:22.(2015河南实验中学期中)已知三个不同的点A,B,C在同一条直线l上,O为直线l外一点,若pOA+qOB+rOC=0.其中p,q,rR,则p+q+r=.解题关键:注意分类讨论解题.解析:因为三个不同的点A,B,C在同一条直线l上,所以存在实数(0)使AB=AC.所以OB-OA=(OC-OA),即(-1)OA+OB-OC=0.因为pOA+qOB+rOC=0,所以当r=0时,由OA与OB不共线知p=q=0,此时p+q+r=0;当r0时,可知p,q0,且-1p=1q=-r.此时p+q+r=0.答案:0
