1、测绘信息网http:/1.3 控制网的布设形式 1.3.1水平控制网的布设形式 1.三角网 1）网形 在地面上选定一系列点位1，2，使互相观测的两点通视，把它们按三角形的形式连接起来即构成三角网。如果测区较小，可以把测区所在的一部分椭球面近似看做平面，则该三角网即为平面上的三角网（图1-4）。三角网中的观测量是网中的全部（或大部分）方向值（有关方向值的观测方法见第三章），图1-4中每条实线表示对向观测的两个方向。根据方向值即可算出任意两个方向之间的夹角。 若已知点1的平面坐标（），点1至点2的平面边长，坐标方位角，便可用正弦定理依次推算出所有三角网的边长、各边的坐标方位角和各点的平面坐标。这就
2、是三角测量的基本原理和方法。 以图1-4为例，待定点3的坐标可按下式图1-4计算 （1-1） （1-2） （1-3） （1-4）即由已知的，和各角观测值的平差值,可推算求得，同理可依次求得三角网中其他各点的坐标。 2）起算数据和推算元素 为了得到所有三角点的坐标，必须已知三角网中某一点的起算坐标（）,某一起算边长和某一边的坐标方位角，我们把它们统称为三角测量的起算数据（或元素）。在三角点上观测的水平角（或方向）是三角测量的观测元素。由起算元素和观测元素的平差值推算出的三角形边长、坐标方位角和三角点的坐标统称为三角测量的推算元素。 3）工程测量中三角网起算数据的获得 在工程测量中，三角网起算数据
3、可由下列方法求得： （1）起算边长 当测区内有国家三角网（或其他单位施测的三角网）时，若其精度满足工程测量的要求，则可利用国家三角网边长作为起算边长。若已有网边长精度不能满足工程测量的要求（或无已知边长可利用）时，则可采用电磁波测距仪直接测量三角网某一边或某些边的边长作为起算边长。 （2）起算坐标 当测区内有国家三角网（或其他单位施测的三角网）时，则由已有的三角网传递坐标。若测区附近无三角网成果可利用，则可在一个三角点上用天文测量方法测定其经纬度，再换算成高斯平面直角坐标，作为起算坐标。保密工程或小测区也可采用假设坐标系统。 （3）起算方位角 当测区附近有控制网时，则可由已有网传递方位角。若无
4、已有成果可利用时，可用天文测量方法测定三角网某一边的天文方位角再把它换算为起算方位角。在特殊情况下也可用陀螺经纬仪测定起算方位角。 （4）独立网与非独立网 当三角网中只有必要的一套起算数据（例如一条起算边，一个起算方位角和一个起算点的坐标）时，这种网称为独立网。图1-5中各网都是独立网，其中（a）称为中点多边形，是三角网中常用的一种典型图形。 如果三角网中具有多于必要的一套起算数据时，则这种网称为非独立网。例如图1-6为相邻两三角形中插入两点的典型图形。和都是高级三角点，其坐标、两点间的边长和坐标方位角都是已知的。因此，这种三角网的起算数据多于一套，属于非独立网，又称为附合网。图中的、为待定点
5、。图1-5 图1-6 2.导线网 导线网是目前工测控制网较常用的一种布设形式，它包括单一导线和具有一个或多个结点的导线网。网中的观测值是角度（或方向）和边长。独立导线网的起算数据是：一个起算点的坐标和一个方向的方位角。 导线网与三角网相比，主要优点在于： （1）网中各点上的方向数较少，除结点外只有两个方向，因而受通视要求的限制较小，易于选点和降低觇标高度，甚至无须造标。 （2）导线网的图形非常灵活，选点时可根据具体情况随时改变。 （3）网中的边长都是直接测定的，因此边长的精度较均匀。 导线网的缺点主要是：导线网中的多余观测数较同样规模的三角网要少，有时不易发现观测值中的粗差，因而可靠性不高。
6、由上述可见，导线网特别适合于障碍物较多的平坦地区或隐蔽地区。 3.边角网和三边网 边角网是指测角又测边的以三角形为基本图形的网。如果只测边而不测角即为三边网。实际上导线网也可以看做是边角网的特殊情况。 上述3种布设形式中，三角网早在17世纪即被采用。随后经过前人不断研究、改进，无论从理论上还是实践上逐步形成为一套较完善的控制测量方法，这就是“三角测量”。由于这种方法主要使用经纬仪完成大量的野外观测工作，所以在电磁波测距仪问世以前的年代，三角网是布设各级控制网的主要形式。三角网的主要优点是：图形简单，网的精度较高，有较多的检核条件，易于发现观测中的粗差，便于计算。缺点是：在平原地区或隐蔽地区易受
7、障碍物的影响，布网困难大，有时不得不建造较高的觇标。 随着电磁波测距仪的不断完善和普及，导线网和边角网逐渐得到广泛的应用。尤其是前者，目前在平原或隐蔽地区已基本上代替了三角网作为等级控制网。由于完成一个测站上的边长观测通常要比方向观测容易，因而在仪器设备和测区通视条件都允许的情况下，也可布设完全的测边网。在精度要求较高的情况下（例如精密的变形监视测量），可布设部分测边、部分测角的控制网或边、角全测的控制网。 4. GPS网 进人20世纪90年代，随着GPS定位技术在我国的引进，许多大、中城市勘测院及工程测量单位开始用GPS布设控制网。目前GPS相对定位精度，在几十公里的范围内可达1/1 000
8、 0002/100 000，可以满足城市测量规范对城市二、三、四等网的精度要求（二等最弱边相对精度1/300 000)。然而在高程方面GPS测得的高程是相对于椭球面的大地高，而水准测量求出的则是相对于大地水准面的高程，由图1-3可知两者之差就是大地水准面差距。目前在大多数情况下，其值难以精确决定，因此GPS暂时只能用于平面等级控制网的布设。图1-7 当采用GPS进行相对定位时，网形的设计在很大程度上取决于接收机的数量和作业方式。如果只用两台接收机同步观测，一次只能测定一条基线向量。如果能有三四台接收机同步观测，GPS网则可布设如图1-7所示的由三角形和四边形组成的网形。其中图（a）,（b）为点
9、连接，表示在两个基本图形之间有一个点是公共点，在该点上有重复观测；图（c）、（d）为边连接，表示每个基本图形中，有一条边是与相邻图形重复的。 在GPS网中，也可在网的周围设立两个以上的基准点。在观测过程中，这些基准点上始终设有接收机进行观测。最后取逐日观测结果的平均值，可显著提高这些基线的精度，并以此作为固定边来处理全网的成果，将有利于提高全网的精度。1.3.2高程控制网的布设形式 国家高程控制网是用水准测量方法布设的，其布设原则与平面控制网布设原则相同。根据分级布网的原则，将水准网分成四个等级。一等水准路线是高程控制的骨干，在此基础上布设的二等水准路线是高程控制的全面基础；在一、二等水准网的
10、基础上加密三、四等水准路线，直接为地形测量和工程建设提供必要的高程控制。按国家水准测量规范规定，各等级水准路线一般都应构成闭合环线或附合于高级水准路线上。 工测高程控制网的布设也应遵守分级布设的原则。 关于工测高程控制网的布设方案，城市测量规范规定，可以采用水准测量和三角高程测量。水准测量分为二、三、四等，作为工测高程控制网或专用高程控制网的基础。首级水准网等级的选择应根据城市面积的大小、城市的远景规划、水准路线的长短而定。首级网应布设成闭合环线，加密网可布设附合路线、结点网和闭合环。只有在山区等特殊情况下，才允许布设水准支线。三角高程测量主要用于山区的高程控制和平面控制点的高程测定。应特别指
11、出的是电磁波测距三角高程测量，近年来经过研究已普遍认为该法可达到四等水准测量的精度，也有人认为可以代替三等水准测量。因而城市测量规范规定根据仪器精度和经过技术设计认为能满足城市高程控制网的基本精度时，可用以代替相应等级的水准测量。1.4 控制测量作业流程用于工程测量的控制测量，一般作业流程是：接受任务以后，先收集本测区的资料，包括小比例尺地形图和去测绘管理部门抄录已有控制点成果，然后去测区踏勘，了解测区行政隶属，气候及地物、地貌状况、交通现状、当地风俗习惯等。同时踏勘原有三角点、导线点和水准点，了解觇标、标石和标志的现状。在收集资料和现场踏勘的基础上进行控制网的技术设计。既要考虑控制网的精度，
12、又要考虑节约作业费用，也就是说在进行控制网图上选点时，要从多个方案中选择技术和经济指标最佳的方案，这就是控制网优化问题。根据图上设计进行野外实地选点，就是把图上设计的点位放到实地上去，或者说通过实地选点实现图上设计的目的。当然，在实地选点时根据实地情况改变原设计亦是常见的事。为了长期保存点位和便于观测工作的开展，还应在所选的点上造标埋石。观测就是在野外采集确定点位的数据，其中包括大量的必要的观测数据，亦含有一定的多余观测数据。计算是根据观测数据通过一定方法计算出点的最合适位置。收集资料实地踏勘图上设计实地选点造标、埋石观测计算控制测量的任务是精确确定控制点的空间位置。其作业流程还可简化为以下三
13、步：1）选定控制点的位置按工程建设的精度要求，并结合具体地形情况，在实地确定控制点点位，并将其标志出来。其工作步骤包括收集资料，实地踏勘，图上设计，实地选点，造标、埋石。2）观测 用精密的仪器和科学的操作方法将控制网中的观测元素精密测定出来。3）计算用严密的计算方法将控制点的空间位置计算出来。计算步骤包括归算（将地面观测结果归算至椭球面上）；投影（将椭球面上的归算结果投影到高斯平面上）；平差（在高斯平面上按最小二乘法进行严密平差）。2.1 国家水平控制网的布设原则和方案2.1.1 布设原则 我国幅员辽阔，在大部分领域（约9 600 OOOkm2)上布设国家天文大地网，是一项规模巨大的工程。为完
14、成这一基本工程建设，在建国初期国民经济相当困难的情况下，国家专门抽调了一批人力、物力、财力，从1951年即开始野外工作，一直延续到1971年才基本结束。面对如此艰巨的任务，显然事先必须全面规划、统筹安排，制定一些基本原则，用以指导建网工作。这些原则是：分级布网，逐级控制；应有足够的精度；应有足够的密度；应有统一的规格。现进一步论述如下。1.分级布网、逐级控制 由于我国领土辽阔，地形复杂，不可能用最高精度和较大密度的控制网一次布满全国。为了适时地保障国家经济建设和国防建设用图的需要，根据主次缓急而采用分级布网、逐级控制的原则是十分必要的。即先以精度高而稀疏的一等三角锁尽可能沿经纬线方向纵横交叉地
15、迅速布满全国，形成统一的骨干大地控制网，然后在一等锁环内逐级（或同时）布设二、三、四等控制网。2.应有足够的精度 控制网的精度应根据需要和可能来确定。作为国家大地控制网骨干的一等控制网，应力求精度更高些才有利于为科学研究提供可靠的资料。 为了保证国家控制网的精度，必须对起算数据和观测元素的精度、网中图形角度的大小等，提出适当的要求和规定。这些要求和规定均列于国家三角测量和精密导线测量规范（以下简称国家规范）中。3.应有足够的密度 控制点的密度，主要根据测图方法及测图比例尺的大小而定。比如，用航测方法成图时，密度要求的经验数值见表2-1，表中的数据主要是根据经验得出的。表2-1 各种比例尺航测成
16、图时对平面控制点的密度要求测图比例尺每幅图要求点数每个三角点控制面积三角网平均边长等级1：50 0001：25 0001：10 0003231约150km2约50km2约20km213km8km26km二等三等四等 由于控制网的边长与点的密度有关，所以在布设控制网时，对点的密度要求是通过规定控制网的边长而体现出来的。对于三角网而言边长与点的密度（每个点的控制面积）之间的近似关系为。将表2-1中的数据代入此式得出因此国家规范中规定，国家二、三等三角网的平均边长分别为13km和8km。4.应有统一的规格 由于我国三角锁网的规模巨大，必须有大量的测量单位和作业人员分区同时进行作业，为此，必须由国家制
17、定统一的大地测量法式和作业规范，作为建立全国统一技术规格的控制网的依据。2.1.2布设方案 根据国家平面控制网施测时的测绘技术水平，我国决定采取传统的三角网作为水平控制网的基本形式，只是在青藏高原特殊困难的地区布设了一等电磁波测距导线。现将国家三角网的布设方案和精度要求概略介绍如下。1.一等三角锁布设方案 一等三角锁是国家大地控制网的骨干，其主要作用是控制二等以下各级三角测量，并为地球科学研究提供资料。图2-1 一等三角锁尽可能沿经纬线方向布设成纵横交叉的网状图形，如图2-1所示。在一等锁交叉处设置起算边，以获得精确的起算边长，并可控制锁中边长误差的积累，起算边长度测定的相对中误差。多数起算边
18、的长度是采用基线测量的方法求得的。随着电磁波测距技术的发展，后来少数起算边的测定已为电磁波测距法所代替。 一等锁在起算边两端点上精密测定了天文经纬度和天文方位角，作为起算方位角，用来控制锁、网中方位角误差的积累。一等天文点测定的精度是：纬度测定中误差，经度测定的中误差，天文方位角测定的中误差。 一等锁两起算边之间的锁段长度一般为200km左右，锁段内的三角形个数一般为1617个。角度观测的精度，按一锁段三角形闭合差计算所得的测角中误差应小于。 一等锁一般采用单三角锁。根据地形条件，也可组成大地四边形或中点多边形，但对于不能显著提高精度的长对角线应尽量避免。一等锁的平均边长，山区一般约为25km
19、，平原区一般约为20km。2.二等三角锁、网布设方案 二等三角网是在一等锁控制下布设的，它是国家三角网的全面基础，同时又是地形测图的基本控制。因此，必须兼顾精度和密度两个方面的要求。 20世纪60年代以前，我国二等三角网曾采用二等基本锁和二等补充网的布置方案。即在一等锁环内，先布设沿经纬线纵横交叉的二等基本锁（图2-2），将一等锁环分为大致相等的4个区域。二等基本锁平均边长为1520km；按三角形闭合差计算所得的测角中误差小于士1.2。另在二等基本锁交叉处测量基线，精度为1：200 OOO。图2-2 图2-3 在一等三角锁和二等基本锁控制下，布设平均边长约为13km的二等补充网。按三角形闭合差
20、计算所得的测角中误差小于士2.5。 20世纪60年代以来，二等网以全面三角网的形式布设在一等锁环内，四周与一等锁衔接，如图2-3所示。 为了控制边长和角度误差的积累，以保证二等网的精度，在二等网中央处测定了起算边及其两端点的天文经纬度和方位角，测定的精度与一等点相同。当一等锁环过大时，还在二等网的适当位置，酌情加测了起算边。 二等网的平均边长为13km，由三角形闭合差计算所得的测角中误差小于士1.0。 由二等锁和旧二等网的主要技术指标可见，这种网的精度，远较二等全面网低。3三、四等三角网布设方案 三、四等三角网是在一、二等网控制下布设的，是为了加密控制点，以满足测图和工程建设的需要。三、四等点
21、以高等级三角点为基础，尽可能采用插网方法布设，但也采用了插点方法布设，或越级布网。即在二等网内直接插人四等全面网，而不经过三等网的加密。 三等网的平均边长为8km，四等网的边长在26km范围内变通。由三角形闭合差计算所得的测角中误差，三等为士1.8，四等为士2.5。 三、四等插网的图形结构如图2-4所示，图2-4（a）中的三、四等插网，边长较长，与高级网接边的图形大部分为直接相接，适用于测图比例尺较小，要求控制点密度不大的情况。图2-4（b）中的三、四等插网，边长较短，低级网只附合于高级点而不直接与高级边相接，适用于大比例尺测图，要求控制点密度较大的情况。（a） （b）图2-4 三、四等三角点
22、也可采用插点的形式加密，其图形结构如图2-5所示。其中，插入点的图形叫做三角形内插一点的典型图形；插入、两点的图形叫做三角形内外各插一点的典型图形。插点的典型图形很多，这里不一一介绍。图2-5 图2-6 用插点方法加密三角点时，每一插点至少应由三个方向测定，且各方向均双向观测。同时要注意待定点的点位，因为点位对精度影响很大。规定插点点位在高级三角形内切圆心的附近，不得位于以三角形各顶点为圆心，角顶至内切圆心距离一半为半径所作圆的圆弧范围之内（图2-6的斜线部分）。 当测图区域或工程建设区域为一狭长地带时，可布设两端符合在高级网短边上的附合锁，如图2-7上部的图形结构；也可沿高级网的某一边布设线
23、形锁，如图2-7下部的图形结构。 国家规范中规定采用插网法（或插点法）布设三、四等网时，因故未联测的相邻点间的距离（例如图2-5中的边），三等应大于5km,四等应大于2km,否则必须联测。因为不联测的边，当其边长较短时边长相对中误差较大，给进一步加密造成了困难。为克服上述缺点，当边小于上述限值时必须联测。4.国家三角锁、网的布设规格及其精度 三角锁、网的布设规格及其精度见表2-2。表中所列推算 图2-7元素的精度，是在最不利的情况下三角网应达到的最低精度。表2-2 国家三角锁、网布设规格及其精度5.我国天文大地网基本情况简介1）利用常规测量技术建立国家大地测量控制网 我国统一的国家大地控制网的
24、布设工作开始于20世纪50年代初，60年代末基本完成，历时二十余年。先后共布设一等三角锁401条，一等三角点6182个，构成121个一等锁环，锁系长达7.3万km。一等导线点312个，构成10个导线环，总长约1万km。1982年完成了全国天文大地网的整体平差工作。网中包括一等三角锁系，二等三角网，部分三等网，总共约有5万个大地控制点，500条起始边和近1000个正反起始方位角的约30万个观测量的天文大地网。平差结果表明：网中离大地点最远点的点位中误差为0.9m，一等观测方向中误差为。为检验和研究大规模大地网计算的精度，采用了两种方案独立进行，第一种方案为条件联系数法，第二种为附有条件的间接观测
25、平差法。两种方案平差后所得结果基本一致，坐标最大差值为4.8cm。这充分说明，我国天文大地网的精度较高，结果可靠。2）利用现代测量技术建立国家大地测量控制网 GPS技术具有精度高、速度快、费用省、全天候、操作简便等优点，因此，它广泛应用于大地测量领域。用GPS技术建立起来的控制网叫GPS网。一般可把GPS网分为两大类：一类是全球或全国性的高精度的GPS网，另一类是区域性的GPS网。后者是指国家C,D,E级GPS网或专为工程项目而建立的工程GPS网，这种网的特点是控制面积不大，边长较短，观测时间不长，现在全国用GPS技术布设的区域性控制网很多。2.2 工程水平控制网的布设原则和方案2.2.1 布
26、设原则 如1.1所述，工测控制网可分为两种：一种是在各项工程建设的规划设计阶段，为测绘大比例尺地形图和房地产管理测量而建立的控制网，叫做测图控制网；另一种是为工程建筑物的施工放样或变形观测等专门用途而建立的控制网，我们称其为专用控制网。建立这两种控制网时亦应遵守下列布网原则。1.分级布网、逐级控制 对于工测控制网，通常先布设精度要求最高的首级控制网，随后根据测图需要，测区面积的大小再加密若干级较低精度的控制网。用于工程建筑物放样的专用控制网，往往分二级布设。第一级作总体控制，第二级直接为建筑物放样而布设；用于变形观测或其他专门用途的控制网，通常无须分级。2.要有足够的精度 以工测控制网为例，一
27、般要求最低一级控制网（四等网）的点位中误差能满足大比例尺1:500的测图要求。按图上0.lmm的绘制精度计算，这相当于地面上的点位精度为0.1500=5（cm）。对于国家控制网而言，尽管观测精度很高，但由于边长比工测控制网长得多，待定点与起始点相距较远，因而点位中误差远大于工测控制网。3.要有足够的密度 不论是工测控制网或专用控制网，都要求在测区内有足够多的控制点。如前所述，控制点的密度通常是用边长来表示的。城市测量规范中对于城市三角网平均边长的规定列于表2-3中。4.要有统一的规格为了使不同的工测部门施测的控制网能够互相利用、互相协调，也应制定统一的规范，如现行的城市测量规范和工程测量规范。
28、表2-3 三角网的主要技术要求等级平均边长（km）测角中误差（）起算边相对中误差最弱边相对中误差二等91.01/300 0001/120 000三等51.81/200 000(首级）1/120 000(加密）1/80 000四等22.51/120 000（首级）1/80 000(加密）1/45 000一级小三角二级小三角10.55101/40 0001/20 0001/20 0001/10 0002.2.2 布设方案 现以城市测量规范为例，将其中三角网的主要技术要求列于表2-3，电磁波测距导线的主要技术要求列于表2-4。从这些表中可以看出，工测三角网具有如下的特点：各等级三角网平均边长较相应等
29、级的国家网边长显著地缩短；三角网的等级较多；各等级控制网均可作为测区的首级控制。这是因为工程测量服务对象非常广泛，测区面积大的可达几千平方公里（例如大城市的控制网），小的只有几公顷（例如工厂的建厂测量），根据测区面积的大小，各个等级控制网均可作为测区的首级控制；三、四等三角网起算边相对中误差，按首级网和加密网分别对待。对独立的首级三角网而言，起算边由电磁波测距求得，因此起算边的精度以电磁波测距所能达到的精度来考虑。对加密网而言，则要求上一级网最弱边的精度应能作为下一级网的起算边，这样有利于分级布网、逐级控制，而且也有利于采用测区内已有的国家网或其他单位已建成的控制网作为起算数据。以上这些特点主
30、要是考虑到工测控制网应满足最大比例尺1:500测图的要求而提出的。表2-4 电磁波测距导线的主要技术要求等级附合导线长度（km）平均边长（m）每边测距中误差（mm）测角中误差（）导线全长相对闭合差三等四等一级二级三级15103.62.41.53 0001 60030020012018181515151.52.558121/60 0001/40 0001/14 0001/10 0001/6 000 此外，在我国目前测距仪使用较普遍的情况下，电磁波测距导线已上升为比较重要的地位。表2-4中电磁波测距导线共分5个等级，其中的三、四等导线与三、四等三角网属于同一个等级。这5个等级的导线均可作为某个测区
31、的首级控制。 2.2.3 专用控制网的布设特点 专用控制网是为工程建筑物的施工放样或变形观测等专门用途而建立的。由于专用控制网的用途非常明确，因此建网时应根据特定的要求进行控制网的技术设计。例如：桥梁三角网对于桥轴线方向的精度要求应高于其他方向的精度，以利于提高桥墩放样的精度；隧道三角网则对垂直于直线隧道轴线方向的横向精度的要求高于其他方向的精度，以利于提高隧道贯通的精度；用于建设环形粒子加速器的专用控制网，其径向精度应高于其他方向的精度，以利于精确安装位于环形轨道上的磁块。以上这些问题将在工程测量中进一步介绍。2.3 三角锁推算元素的精度估算 在1.1.2小节中已经提到，控制测量工作的第一阶
32、段就是控制网的设计阶段。论述控制网的精度是否能满足需要是技术设计报告的主要内容之一。虽然对于评定控制网的优劣、费用的高低也是一项重要的指标，但是，通常首先考虑的是精度，只有在精度指标满足要求的情况下，才考虑选择费用较低廉的布设方案。本节着重介绍估算三角锁边长精度的方法。 近20年来，随着电子计算机的广泛应用，以近代平差理论为基础的控制网优化设计理论获得了迅速地发展。例如，仅在表达控制网质量的指标方面，无论在广度和深度上，均非过去所能比。2.3.1 精度估算的目的和方法 精度估算的目的是推求控制网中边长、方位角或点位坐标等的中误差，它们都是观测量平差值的函数，统称为推算元素。估算的方法有两种。1
33、.公式估算法 此法是针对某一类网形导出计算某种推算元素（例如最弱边长中误差）的普遍公式。由于这种推算过程通常相当复杂，需经过许多简化才能得出有价值的实用公式，所以得出的结果都是近似的。而对另外一些推算元素，则难以得出有实用意义的公式。公式估算法的好处是，不仅能用于定量地估算精度值，而且能定性地表达出各主要因素对最后精度的影响，从而为网的设计提供有用的参考。推导估算公式的方法以最小二乘法中条件分组平差的精度计算公式为依据，现列出公式如下。 设控制网满足下列两组条件方程式 （） （）推算元素是观测元素平差值的函数，其一般形式为式中，为观测值，为其权，为其相应的改正数。实际上的数值很小，可将上式按台
34、劳级数展开，并舍去二次以上各项，得到其线性式 （2-1）式中， 根据两组平差的步骤，首先按第一组条件式进行平差，求得第一次改正后的观测值，然后改化第二组条件方程式。设改化后的第二组条件方程式为则的权倒数为 （2-2）如果平差不是按克吕格分组平差法进行的，即全部条件都是第一组，没有第二组条件，则在计算权倒数时应将上式的后两项去掉。 的中误差为 （2-3）式中，为观测值单位权中误差。 2.程序估算法 此法根据控制网略图，利用已有程序在计算机上进行计算。在计算过程中，使程序仅针对所需的推算元素计算精度并输出供使用。 通常这些程序所用的平差方法都是间接平差法。设待求推算元素的中误差、权（或权系数）分别
35、为、，后者与网形和边角观测值权的比例有关（对边角网而言），不具有随机性。至于单位权中误差，对验后网平差来说，是由观测值改正数求出的单位权标准差的估值，具有随机性。但对于设计的控制网来说，用于网的精度估算，可取有关规范规定的观测中误差或经验值。这时需要计算的主要是或，所用程序最好具有精度估算功能。否则，应加适当修改，以使其自动跳过用观测值改正数计算的程序段，而直接由用户将指定值赋给。如此计算出的即为所需结果。在这种情况下，运行程序开始时应输入由网图量取的方向和边长作为观测值，各观测值的精度也应按设计值给出。输入方式按程序规定进行。图2-82.3.2 三角锁推算边长的精度估算1.单三角形中推算边长
36、的中误差 图2-8中，设为三角形的起算边，为推算边，、为角度观测值，于是由推算的函数式为 单三角形中有下列图形条件 按角度平差时，条件方程式的系数为，对角度、的偏导数（各角以弧度为单位）如下，设角、为等精度观测，中误差为，代入（2-2）式（去掉后两项）得于是将上式的结果代入（2-3）式，并注意上式在求导数时角度是以弧度为单位的，因而相应的测角中误差也应化成以弧度为单位，即为，于是可得写成相对中误差的形式为 （2-4）过去经常使用边长对数的中误差，为此可利用微分式式中，=0.434 29为常用对数的模，将上式换成中误差的形式有 （2-5）式中的是以对数第6位为单位的。于是（2-5）式又可改写为
37、（2-6）将上式右端的乘以根号内的和可得 （2-7）式中 （2-8）、的含义可以这样理解，因为 （以秒为单位）当=1时左端为正弦对数每秒的增量，在对数表上即为相应每1的正弦对数表列值之差，简称为正弦对数每秒表差。若以对数第6位为单位，则上式可写为由此可见，等于角的正弦对数每秒表差（以对数第6位为单位）。 若令 （2-9）则（2-7）式可写为 （2-10）15表2-5 （以对数第六位为单位）如果已知的不是测角中误差，而是方向中误差（有关方向和方向观测的概念见第三章），则利用关系代入（2-10）式可得或 （2-11）由（2-9）和（2-8）式可知与三角形的内角有关，亦即与三角形的形状有关。通常将称
38、为三角形的图形权倒数，也就是以方向的权为单位权，三角形推算边（一般是指精度最差的边，即最弱边）边长对数的权倒数称为三角形的图形权倒数。关于图形权倒数的这个定义不仅适用于三角形，也适用于下面讲述的大地四边形等其他图形。 为了便于计算图形权倒数，已将列成数表，以角度为引数查取（见表2-5）。2.三角形的最有利形状 以上导出了三角形的图形权倒数公式，并说明了它同三角形的形状有关。由此，我们自然会提出什么样的三角形图形权倒数最小，亦即推算出的边长精度最高的问题。图2-9 为了便于研究，选取（2-6）式进行分析。令。欲使最小，亦即最小，则应使最小。表面看来这是个多元极值问题，但应注意，三个角为三角形的内
39、角，此外由图2-8，从已知边推求任一边或应使它们精度相等，则应使。于是考虑这两个条件，可写出因而使最小变成了一元极值问题。首先求出将上式代入表达式内，得到为了求的极小值，将上式对取一阶导数，并令其为零，则经整理得方程因此 ，这个结果说明，以为底边，角度的等腰三角形，对推算边长的精度最为有利。 然而上述结果只是从推算边长精度最高这一要求得出的。如果用这种等腰三角形布设三角锁，则三角形的边长将越来越短（见图2-9），因而将无法扩展下去。这说明实际布网时不能只从精度考虑，而必须顾及各方面的条件。若按正三角形布网，则不仅点位密度均匀而且正三角形的值（=4.4）与上述最有利图形（=4.0）也比较接近。因
40、此从两个方面的要求综合考虑，可以认为正三角形是布网的理想图形。3.三角形锁中推算边长的中误差 图2-10代表一段三角形单锁，其中为起算边，为传距边。在每个三角形中与传距边相对的角为传距角，用和表示。三角形中另一个角用表示，称为间隔角，与之相对的边称为间隔边。 设三角形单锁是按角度观测和按角度平差的，也就是所有等角都是等精度独立观测值并按此参加平差。现在导出计算的边长对数中误差的公式。图2-10 由图2-10可以看出是由依次经过第1，第2，第个三角形推算而得的，由于在平差时只是将第个三角形的角度闭合差平均分配在三个内角、上，因此平差后只有这三个内角是相关的，而不同三角形之间各角是互不相关的。于是
41、每个三角形对推算边长，所产生的误差可以认为是互相独立的。因而根据协因数传播律可知，由起始边通过各三角形推算最末边的权倒数将是各三角形图形权倒数之和，即 （2-12）4.大地四边形和中点多边形推算边长的中误差图2-11 在两相邻三角形内加测一条对角线所构成的图形，称为大地四边形，如图2-11、2-12所示。这种图形在工程控制网中应用颇广，例如桥梁三角网，通常就采用一个或几个大地四边形构成。图2-13所示的图形为中点多边形。大地四边形和中 点多边形都是构成三角网的主要图形。图2-11、2-12和2-13中的是已知边，是推算边。图2-11和2-12两种图形中既含有若干图形条件（前者有3个）又含有一个
42、极条件因此不易推出边长中误差的普遍公式。图2-12 对于大地四边形，此处只给出两种典型情况的图形权倒数公式。一种是图2-11 （a）所示的矩形大地四边形和图2-12（a）所示的菱形大地四边形（由两个等边三角形加测对角线所构成的图形）。按方向平差时它们的图形权倒数如下： 矩形大地四边形 （2-13） 菱形大地四边形 （2-14）式中（见图2-11（b）和图2-12（b）、（c）。 在图2-12（a）中，如果不加测长对角线-，而按图2-12（b）计算三角形单锁的图形权倒数，则得（见（2-12）式）。与（2-14）式比较，可见加测长对角线后，前面的系数仅由1.33降低为1.25，这说明图形强度增强很
43、少。但长对角线给观测带来困难，如在平地还须增加觇标高度。由此可见，在两个近似等边的三角形内一般不宜加测长对角线。 虽然对于任意角度的大地四边形计算图形权倒数的普遍公式不易求得，但是在实际作业中所选出的大地四边形通常总是介于矩形与菱形大地四边形之间，因此可近似地取（2-13）式和（2-14）式中系数的平均值，作为计算任意角度大地四边形图形权倒数的系数，即 （2-15） 按上式计算大地四边形权倒数时有两个不同的推算路线（见图2-11（b）和图2-12 （c），应取其中较小的。较小的那条推算路线又称最佳推算路线。对于中点多边形，现给出三种图形的最弱边边长对数的权倒数如下：中点五边形 中点六边形 中点七边形 图2-13可见采用中点五边形或中点六边形较为有利。实际作业时所选定的中点多边形一般不符合等边情况，因此计算权倒数时常采用近似公式
