1、数学建模作业11贷款问题小王夫妇计划贷款20万元购买一套房子，他们打算用20年的时间还清贷款。目前，银行的利率是0.6%/月。他们采用等额还款的方式(即每月的还款额相同)偿还贷款。 (1)在上述条件下，小王夫妇每月的还款额是多少？共计付了多少利息？ (2)在贷款满5年后，他们认为他们有经济能力还完余下的款额，打算提前还贷，那么他们在第6年初，应一次付给银行多少钱，才能将余下全部的贷款还清？ (3)如果在第6年初，银行的贷款利率由0.6%/月调到0.8%/月，他们仍然采用等额还款的方式，在余下的15年内将贷款还清，那么在第6年后，每月的还款额应是多少？ (4)某借贷公司的广告称，对于贷款期在20
2、年以上的客户，他们帮你提前三年还清贷款。但条件是: (i)每半个月付款一次，但付款额不增加，即一次付款额是原付给银行还款额的1/2； (ii)因为增加必要的档案、文书等管理工作，因此要预付给借贷公司贷款总额10%的佣金。 试分析，小王夫妇是否要请这家借贷公司帮助还款。解：（1） 贷款20万元，还款总期数为20年=240月。设：每月月供M万元，月利率为v=0.006，每月欠银行房款为 Q ；于是有 =20 =0 第n个月后欠银行的钱为， n240第一个月后欠银行的钱为： = (1+v)-M 设为A式 第n+1个月后欠银行的钱为： = (1+v)-M 设为B式 由A、B式可推得： = (1+v)n
3、 M (1+v)n-1 /v 第240月还清 =0 于是有 M= (1+v)n/(1+v)n-1/v代入v和n的值M=(1+0.006)240/(1+0.006)240-1/ 0.006 M=0.157470万元=1574.70元共付利息=M240-20=0.15747240-20=17.792766万元（2） 根据房贷公式 = (1+v)n M (1+v)n-1 /v五年后月数为n=60小王夫妇欠银行的钱为：=20(1+v)60-0.157470(1+v)60-1/v=20(1+0.006)60-0.157470(1+0.006)60-1/ 0.006 =17.303481万元第六年初，还欠
4、银行17.303481万元。（3）第六年初，还欠银行17.303481万元月利率0.6% 变为 月利率为0.8%此时=17.303481万元，月利率v=0.008，还款15年12=180月且=0根据房贷公式 = (1+v)n M (1+v)n-1 /vM= (1+v)n/(1+v)n-1/v每月还款M =17.303481(1+0.008)180/(1+0.008)180-1/0.008每月还款M=0.181733万元=181733元（4） 根据题意，自己还款小王夫妇最后本息支付银行总金额M240=0.15747240=37.792766万元，请借贷公司帮助还款，可提前三年还清，支付贷公司数为
5、0.157471217=32.12388万元再加上支付给借贷公司2010%=2万元的佣金，总支付34.12388万元。小于自己还款总金额。所以小王夫妇请借贷公司帮助还款比较合算一些。2. 冷却定律与破案按照Newton冷却定律，温度为T的物体在温度为To (ToT)的环境中冷却的速度与温差T-To成正比。你能用该定律确定张某是否是下面案件中的犯罪嫌疑人。 某公安局于晚上7时30分发现一具女尸，当晚8时20分法医测得尸体温度为32.6,一小时后，尸体被抬走时又测得尸体温度为31.4,，已知室温在几个小时内均为21.1,由案情分析得知张某是此案的主要犯罪嫌疑人，但张某矢口否认，并有证人说:“下午张
6、某一直在办公室，下午5时打一个电话后才离开办公室”。从办公室到案发现场步行需要5分钟，问张某是否能被排除在犯罪嫌疑人之外？解：知识一：根据一般常识人体正常体温平均在3637之间，在一天的生物节律中，清晨25 时体温最低，下午57 时最高，男、女的体温也有不同，女子体温一般比男子约高0.3 。知识二：牛顿冷却定律（Newtons law of cooling)：温度高于周围环境的物体向周围媒质传递热量逐渐冷却时所遵循的规律。当物体表面与周围存在温度差时，单位时间从单位面积散失的热量与温度差成正比，比例系数称为热传递系数。因而假定该女子遇害前体温为36.8。设：被害人体温为T，t时刻的体温为Tt
7、散热系数为k，室内温度为T0 冷却速度的微分方程为 t时刻的体温为 T0=21.1晚上8 时20 分为t=0 时刻， T(0)=21.1+Cek0 = 32.6，晚上9时20 分为 t=1 时刻 T（1）=21.1+Cek1=31.4， C=11.5, k=ln10.3-ln11.5-0.11 带入到公式 设女子遇害前体温为36.8，代入后有 36.8= 代入后解得t=-2.89由于8 时20 分为t=0 时刻 8 时20分-2.895.445 时27分由此可判断该女子遇害时间在5时27分左右。嫌疑人下午5时在办公室，步行5分钟可到现场，有作案的时间故不能排除张某在犯罪嫌疑之外 。4 锻炼想象
8、力、洞察力和判断力的问题(1)某人早8时从山下旅店出发沿一条山路上山，下午5时到达山顶并留宿，次日8时沿同一路径下山，下午5时回到旅店。该人必在两天中的同一时刻经过路释中的同一地点，为什么？(2)甲乙两站之间有汽车相通，每隔10分钟甲乙两站相互发一趟车，但发车时刻不一定相同，甲乙两站之间有一中间站丙，某人每天在随机时刻到达丙站， 并搭乘最先经过丙站的那趟车。结果发现100天中约有90天到达甲站，大约10 天到达乙站。问开往甲乙两站的汽车经过丙站的时刻表是如何安徘的？(3)张先生家住在A市，在B市工作，每天下班后他乘城际火车于18:00抵达A市火车站，他妻子驾车至火车站接他回家。一日他提前下班，
9、乘早一班火车于17:30抵达A市火车站，随即步行回家，他妻子像往常一样驾车前来，在半路相遇将他接回家。到家时张先生发现比往常提前了10分钟，问张先生步行了多长时间？(4)一男孩和一女孩分别在距家2公里和1公里且方向相反的两所学校上学，每天同时放学后分别以每小时4公里和每小时2公里的速度步行回家。一小狗以每小时6公里的速度由男孩处奔向女孩，又从女孩处奔向男孩，如此往返直至回到家中。问小狗奔波了多少路程。如果男孩和女孩上学时，小狗也往返奔波在他们中间，问当他们到达学校时小狗在何处？解：（1）以旅店为原点，做y轴，早8点为原点做x轴，则第一天时间、位移距离形成一个三角形，第二天时间、位移距离也形成一
10、个三角形，两天三角形距离边必有一个交点，而这个交点时间坐标是一致的，所以表明在该交点处两天同一时刻走过同一地点。（2），这个人是搭乘先到达丙站的汽车，坐乙站发车的概率为甲的九倍。随机的到达丙站有90天到达甲站，10天到达乙站，即90%的时间内乙站开出的车辆先到达丙站，两个站的发车时间间隔均为10分钟，说明乙站发出的车比站发出的车早1分钟。这样在10分钟内，只有1分钟是甲站发车早于乙站发车。（3）以往是坐车回家，顾以开车为标准计算时间，张先生当天提前10分钟到家，说明少开车10分钟，并在半路将他接回家，假定张先生妻子所驾驶的匀速行驶，那么实际上张先生走路的时间为5分钟车程。即两人相遇时间为17:
11、55，张先生走路的时间为25分钟。（4）男孩和女孩回家时间为0.5小时，小狗时速6公里，总奔跑的路程为0.56=3公里；上学时间仍为0.5小时，小狗时速6公里，总奔跑的路程为0.56=3公里。孩子到学校上学时小狗的最终位置不确定。3 公平投票问题某部门推出一专项基金目的在于培养优秀人才，根据评比结果来确定资助的额度。许多单位的优秀者都申请了该基金，于是该基金的委员会聘请了数名专家，按照如下规则讲行评比。(1)为了公平性，评委对本单位选手不给分；(2)每位评委对每位参与申请的人(除本单位选手外)都必须打分，且不打相同的分；(3)评委打分方法为给参加申请的人排序，根据优劣分别记1分、2分、依次类推
12、。(4)评判结束后，求出各选手的平均分，按平均分从低到高排序，依次确定本次评比的名次，即平均分最低者获得资助最高，依次类推。本次基金申请中，甲所在单位有一名评委，这位评委将不参加对选手甲的评判，其它选手没有类似情。评审结束后选手甲觉得这种评比规则对他不公平。问选手甲的抱怨是否有道理？若不公平，能否做出修正来解决选手甲的抱怨？解：甲单位选手的抱怨是有道理的，其他选手得分为（a1+a2+an）/n，甲单位选手的得分为（a1+a2+an-1）/n-1，两者之间有差距。得分的起伏会大一些，因而不合理。特别是甲单位评委的给分对排名的影响会加大，而甲单位评委却不给甲评分，这显然不公平。当他给其他选手好分时对甲单位选手就更不利。修正反法：1.尽量避免此种事件发生，在没有甲单位所在的评委时，该规则是公平的。2.采用修正算法公平起见，采用度量函数来度量选手的得分。3.除甲单位评委不给甲评分外，其他评委随机的给其他选手中的某一个不评分。
