1、19（14分）（2013潮州二模）如图，四边形ABCD为矩形，AD平面ABE，AE=EB=BC=2，F为CE上的点，且BF平面ACE，BDAC=G（1）求证：AE平面BCE；（2）求证：AE平面BFD；（3）求三棱锥EADC的体积解答：解：（1）证明：AD平面ABE，ADBC，BC平面ABE，AEBC（2分）又BF平面ACE，BFAE，BCBF=B，AE平面BCE（4分）（2）连接GF，BF平面ACE，BFCEBE=BC，F为EC的中点；矩形ABCD中，G为两对角线的交点且是两线段的中点，GFAE，（7分）GF平面BFD，AE平面BFD，AE平面BFD（8分）（3）三棱锥EADC的体积等于三棱
2、锥EABC的体积VEABC=故棱锥EADC的体积为18（14分）（2013东莞二模）如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱AA1底面ABC，ABBC，D为AC的中点，AA1=AB=2（1）求证：AB1平面BC1D；（2）若BC=3，求三棱锥DBC1C的体积解答：解：（1）证明：连接B1C，设B1C与BC1相交于O，连接OD，四边形BCC1B1是平行四边形，点O为B1C的中点D为AC的中点，OD为AB1C的中位线，ODB1AOD平BC1D，AB1平面BC1D，AB1平面BC1D（2）三棱柱ABCA1B1C1，侧棱CC1AA1，又AA1底面ABC，侧棱CC1面ABC，故CC1为三棱锥C1BCD的
3、高，A1A=CC1=2，18（14分）（2013佛山一模）如图，已知圆O的直径AB长度为4，点D为线段AB上一点，且，点C为圆O上一点，且点P在圆O所在平面上的正投影为点D，PD=BD（1）求证：CD平面PAB；（2）求点D到平面PBC的距离解答：解：（1）AB为圆O的直径，ACCB，RtABC中，由，tanABC=，ABC=30，AB=4，3AD=DB，DB=3，由余弦定理，得BCD中，CD2=DB2+BC22DBBCcos30=3，CD2+DB2=12=BC2，可得CDAO（3分）点P在圆O所在平面上的正投影为点D，即PD平面ABC，又CD平面ABC，PDCD，（5分）PDAO=D得，CD
4、平面PAB（6分）（2）由（1）可知，PD=DB=3，且RtBCD中，（7分）（10分）又，PBC为等腰三角形，可得（12分）设点D到平面PBC的距离为d，由VPBDC=VDPBC，得，解之得（14分）18（14分）（2013广州二模）如图，在三棱锥PABC中，PAB=PAC=ACB=90（1）求证：平面PBC丄平面PAC（2）已知PA=1，AB=2，当三棱锥PABC的体积 最大时，求BC的长解答：解：（1）证明：PAB=PAC=90，PAAB，PAAC，ABAC=A，PA平面ABC，BC 平面ABC，BCPAACB=90，BCCA，又PACA=A，BC平面PAC，BC 平面PBC，平面PBC
5、平面PAC（2）由（1）知：PA平面ABC，BCCA，设BC=x（0x2），AC=，VPABC=SABCPA=x=当且仅当x=时，取“=”，故三棱锥PABC的体积最大为，此时BC=18（本小题满分14分）如图4，在四棱锥中，底面是平行四边形，平面，点为的中点. （1）求证:平面；（2）求证：；（3）若，求点到平面的距离.【解析】(1)证明:连接，与相交于点, 连接， 是平行四边形，是的中点. 为的中点， . 平面,平面, 平面. (2)证明:平面，面， . ， . . . ，平面，面， 平面. 平面， . （3）解：取的中点，连接，则且. 平面， 平面，. 在Rt中， , . 在Rt中，.在中
6、，为的中点,.在Rt中，.在Rt中，.，. 设点面的距离为， ， . 即， 解得. 点到平面的距离为. 17（14分）（2013惠州二模）正方体ABCD_A1B1C1D1，AA1=2，E为棱CC1的中点（） 求证：B1D1AE； （） 求证：AC平面B1DE；（）求三棱锥ABDE的体积解答：证明：（1）连接BD，则BDB1D1，（1分）ABCD是正方形，ACBDCE面ABCD，CEBD又ACCE=C，BD面ACE（4分）AE面ACE，BDAE，B1D1AE（5分）（2）连接AF、CF、EFE、F是CC1、BB1的中点，CE平行且等于B1F，四边形B1FCE是平行四边形，CFB1E，CF平面B1
7、DE，B1E平面B1DE（7分）CF平面B1DEE，F是CC1、BB1的中点，EF平行且等于BC又BC平行且等于AD，EF平行且等于AD四边形ADEF是平行四边形，AFED，AF平面B1DE，ED平面B1DE（7分）AF平面B1DEAFCF=F，平面ACF平面B1DE（9分）又AC平面ACFAC平面B1DE；解：（）三棱锥ABDE的体积，即为三棱锥EABD的体积V=ADABEC=221=18（14分）（2013惠州模拟）如图所示，在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别为DD1、DB的中点（1）求证：EF平面ABC1D1；（2）求证：EFB1C；（3）求三棱锥的体积解答：解：（
8、1）证明：连接BD1，如图，在DD1B中，E、F分别为D1D，DB的中点，则平面ABC1D1（2）（3）CF平面BDD1B1，CF平面EFB1且，EF2+B1F2=B1E2即EFB1=90，=18（14分）（2013惠州一模）如图，直角梯形ACDE与等腰直角ABC所在平面互相垂直，F为BC的中点，BAC=ACD=90，AECD，DC=AC=2AE=2（1）求证：AF平面BDE；（2）求四面体BCDE的体积解答：解：（1）取BD的中点P，连接EP、FP，（1分）BCD中，PF为中位线，PFDC且PF=DC，又AECD，DC=2AE2EADC且EA=DC，由此可得PFEA，且PF=EA（3分）四边
9、形AFPE是平行四边形，可得AFEP（5分）EP面BDE，AF面BDE，AF面BDE（7分）（2）BAAC，面ABC面ACDE，面ABC面ACDE=ACBA面ACDE，即BA就是四面体BCDE的高，BA=2（10分）DC=AC=2AE=2，AECD因此，CDE的面积为SCDE=31=2（12分）四面体BCDE的体积（14分）18（14分）（2013江门二模）如图，在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，已知底面ABCD是边长为的正方形，侧棱D1D垂直于底面ABCD，且D1D=3（1）点P在侧棱C1C上，若CP=1，求证：A1P平面PBD；（2）求三棱锥A1BDC1的体积V解答：解：（1）依题意，C
10、P=1，C1P=2，在RtBCP中，PB=，同理可知，A1P=2，A1B=所以A1P2+PB2=A1B2，则A1PPB，同理可证，A1PPD，由于PBPD=P，PB平面PBD，PD平面PBD，所以，A1P平面PBD（2）如图，易知三棱锥A1BDC1的体积等于四棱柱的体积减去四个体积相等的三棱锥的体积，即=4=ABADA1A4（ABAD）A1A=218（15分）（2013江门一模）如图，AB是圆O的直径，C是圆O上除A、B外的一点，AED在平面ABC的投影恰好是ABC已知CD=BE，AB=4，（1）证明：平面ADE平面ACD；（2）当三棱锥CADE体积最大时，求三棱锥CADE的高解答：（1）证明
11、：因为AB是直径，所以BCAC，因为ABC是AED的投影，所以CD平面ABC，则CDBC，因为CDAC=C，所以BC平面ACD，因为CD平面ABC，BE平面ABC，所以CDBE，又因为CD=BE，所以BCDE是平行四边形，BCDE，则DE平面ACD，因为DE平面ADE，所以平面ADE平面ACD；（2）在直角三角形AEB中，EB=ABtanEAB=4=1，由（1）知=，等号当且仅当时成立，此时，设三棱锥CADE的高为h，则，所以，当三棱锥CADE体积最大时，三棱锥CADE的高为18（14分）（2013茂名一模）如图，多面体ABCDE中，AB平面ACD，DE平面ACD，AB=CD=1，G为AD的中
12、点（1）求证；ACCE；（2）在线段CE上找一点F，使得BF平面ACD，并给予证明；（3）求三棱锥VGBCE的体积解答：（1）证明：DE平面ACD，DEAC，AD2=AC2+CD2，ACCDCDDE=D，AC平面CDEACCE（2）由已知AB平面ACD，DE平面ACD，ABED，设F为线段CE的中点，H是线段CD的中点，连接FH，则，四边形ABFH是平行四边形，BFAH，由BF平面ACD内，AH平面ACD，BF平面ACD；（3）由ED平面ACD，平面ABED平面ACD，在平面ACD内作CPAD垂足为P，平面ABED平面ACD=AD，CP平面ABED，CP为三棱锥VCBGE的高由，=，三棱锥VG
13、BCE的体积18（14分）（2013梅州二模）如图，C、D是以AB为直径的圆上两点，AB=2AD=，AC=BC，F是AB上一点，且，将圆沿直径AB折起，使点C在平面ABD的射影E在BD上，已知（1）求证：AD平面BCE；（2）求证：AD平面CEF；（3）求三棱锥ACFD的体积解答：（1）证明：依题意：ADBDCE平面ABDCEADBDCE=E，AD平面BCE（2）证明：RtBCE中，BE=2（5分）RtABD中，BD=3（6分）ADEFAD在平面CEF外AD平面CEF（3）解：由（2）知ADEF，ADED，且ED=BDBE=1F到AD的距离等于E到AD的距离，为1CE平面ABD18（14分）（
14、2013梅州一模）已知在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，PA平面ABCD，AB=2，PA=AD=1，E，F分别是AB、PD的中点（1）求证：AF平面PDC；（2）求三棱锥BPEC的体积；（3）求证：AF平面PEC解答：（1）证明：PA平面ABCD，PACD，由底面ABCD是矩形，CDDA，又PAAD=A，CD平面PAD，CDAFPA=AD=1，F是PD的中点，AFPD，又PDDC=D，AF平面PDC（2）解：=，PA平面ABCD，VBPEC=VPBEC=（3）取PC得中点M，连接MF、ME，E是AB的中点，四边形AEMF是平行四边形，AFEM又AF平面PEC，EM平面PEC，AF平面P
15、EC18（13分）如图，四棱锥PABCD的底面ABCD为矩形，且PA=AD=1，AB=2，PAB=120，PBC=90（）求证：DA平面PAB；（）求三棱锥DPAC的体积解答：解：（）四边形ABCD为矩形，DAAB，且DABC，（1分）PBC=90，得BCPB，DAPB（3分）又ABPB=B，AB、PB平面PABDA平面PAB，（5分）（）PA=1，AB=2，PAB=120，根据正弦定理，得PAB的面积为SPAB=12sin120=，（7分）由（1）DA平面PAB，且ADBC可得BC平面PAB，BC是三棱锥CPAB的高线，（9分）因此，可得VCPAB=SPABBC=1=，（10分）VDPAC=
16、VPDAC=VPABC=VCPAB（12分）三棱锥DPAC的体积VDPAC=VCPAB=（13分）18（13分）（2013韶关二模）如图1，在直角梯形ABCD中，ADC=90，CDAB，点E为AC中点，将ADC沿AC折起，使平面ADC平面ABC，得到几何体DABC，如图2所示（1）求证：DABC；（2）在CD上找一点F，使AD平面EFB；（3）求点A到平面BCD的距离解答：解：（1）在图1中，取AB得中点M，连接CM，则四边形ADCM为正方形，MB=2CMAB，CM=2，CB=又AC=，从而AC2+BC2=AB2，ACBC平面ADC平面ABC，面ADC面ABC=AC，BC面ABCBC平面ADC
17、又AD面ADCBCDA（2）取CD的中点F，连接EF，BF在ACD中，E，F分别为AC，DC的中点，EF为ACD的中位线，ADEFEF平面EFBAD平面EFB，AD平面EFB（3）由（1）可得：BCAD，又ADDC，DCBC=C，AD平面BCDAD就是点A到平面BCD的距离，即为AD=2VABC18（14分）如图，在三棱锥中，平面, ,且.（1)求证：平面平面;（2）求.18.（1）平面 2分 3分 平面 5分 平面平面 7分（2） 8分 10分 12分 13分 14分19（14分）（2013肇庆二模）已知四棱锥PABCD（图1）的三视图如图2所示，PBC为正三角形，PA垂直底面ABCD，俯视
18、图是直角梯形（1）求正视图的面积；（2）求四棱锥PABCD的体积；（3）求证：AC平面PAB解答：解：（1）过A作AECD，根据三视图可知，E是BC的中点，（1 分）且BE=CE=1，AE=CD=1（2 分）又PBC为正三角形，BC=PB=PC=2，且PEBCPE2=PC2CE2=3（3 分）PA平面ABCD，AE平面ABCD，PAAE（4 分）可得PA2=PE2AE2=2，即（5 分）因此，正视图的面积为（6 分）（2）由（1）可知，四棱锥PABCD的高为PA，（7 分）底面积为（8分）四棱锥PABCD的体积为（10 分）（3）PA平面ABCD，AC平面ABCD，PAAC（11 分）在RtA
19、BE中，AB2=AE2+BE2=2，在RtADC中，AC2=AD2+CD2=2（12 分）BC2=4=AA2+AC2，可得BAC是直角三角形 （13 分）ACAB由此结合ABPA=A，可得AC平面PAB（14 分）18（13分）（2013肇庆一模）如图，PA垂直于O所在平面ABC，AB为O的直径，PA=AB=2，C是弧AB的中点（1）证明：BC平面PAC；（2）证明：CFBP；（3）求四棱锥CAOFP的体积解答：解：（1）PA平面ABC，BC平面ABC，BCPA（1分）ACB是直径所对的圆周角，ACB=90，即BCAC（2分）又PAAC=A，BC平面PAC（3分）（2）PA平面ABC，OC平面
20、ABC，OCPA（4分）C是半圆弧AB的中点，ABC是等腰三角形，AC=BC，又O是AB的中点，OCAB（5分）PAAB=A，PA、AB平面PAB，OC平面PAB，结合PB平面PAB，可得BPOC（6分）设BP的中点为E，连结AE，则OF是AEB的中位线，可得OFAE，PA=AB，E为BP中点，AEBP，可得BPOF（7分）OCOF=O，OC、OF平面CFO，BP平面CFO又CF平面CFO，CFBP（8分）（3）由（2）知OC平面PAB，CO是三棱锥CBFO的高，且CO=1（9分）又，（10分）（11分）又三棱锥PABC的体积（12分）四棱锥CAOFP的体积（13分）18（本题满分14分）如图：、是以为直径的圆上两点， 是上一点，且，将圆沿直径折起，使点在平面的射影在上，已知.（1）求证：平面；（2）求证：平面；（3）求三棱锥的体积18解：（1）证明：依题意： 2分平面 2分平面 5分（2）证明：中， 6分 中， 7分 8分 在平面外 平面 10分（3）解：由题设知，,11分 12分 平面 14分立体几何复习 第22页 共22页
