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3.5 矩阵的等价和等价标准形.ppt
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1、线性代数张保田 复习 内容 3 5矩阵的等价和等价标准形 1 矩阵的秩 定义2设A为m n矩阵 如果A中至少有一个r阶子式不等于零 而所有r 1阶子式 如果存在r 1阶子式时 都等于零 则称r为矩阵A的秩 记为 r A 或R A 或秩 A 规定 零矩阵的秩为0 矩阵A中不为零的子式的最大阶数称为矩阵A的秩 可等价定义为 定理1初等变化不改变矩阵的秩 定理2矩阵乘可逆矩阵 其秩不变 2 定理2 1 2设矩阵A aij m n为非零矩阵 则通过初等行变换和列互换一定可把A化为约化阶梯形矩阵 对矩阵A继续进行列变换一定可把A化为 一 矩阵的等价 定义3 5 1若矩阵A经过有限次初等变换化成矩阵B 则
2、称矩阵A与B等价 或相抵 记为A B 例如 因为任一个秩为r的矩阵A等价于 称此矩阵为矩阵A的等价标准形 1 等价矩阵的概念 性质3 5 1任意一个矩阵秩为r的矩阵A 经过有限次初等变换 可以化为下列标准形矩阵 2 等价矩阵的性质 定理3 5 1设A B均为m n阶矩阵 则下述条件中每一个都是A与B等价的充要条件 1 存在m阶可逆阵P和n阶可逆阵Q 使得 2 秩 A 秩 B 证明 1 定理3 4 1及推论 2 必要性 初等变换不改变矩阵的秩 充分性 由秩 A 秩 B 知道 于是 存在可逆矩阵 使 定理3 5 2秩 AB 秩 A 秩 AB 秩 B 证明 略 由向量可证 矩阵的秩还有如下性质 1 秩 A B 秩 A 秩 B 2 设A为m n阶矩阵 B为n s阶矩阵 则 秩 A 秩 B n 秩 AB min 秩 A 秩 B 3 设A为m n阶矩阵 B为n s阶矩阵 且AB 0 则秩 A 秩 B n 4 设A B C为同阶阶方阵 则秩 AB 秩 BC 秩 B 秩 ABC 5 证1 证2 证3 例3 5 1设n 1 解 因为 求 秩 AB 秩 A 1 秩 B 1 于是 秩 AB 1 又因为AB 0 可知秩 AB 1 所以 秩 AB 1 而AB为n 1 阶矩阵 所以 作业 习题3 51 10 作业 习题3 61 8 下节讲习题
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