1、1如图，直线y=x+c与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B，抛物线y=x2+bx+c经过点A，B（1）求点B的坐标和抛物线的解析式；（2）M（m，0）为x轴上一动点，过点M且垂直于x轴的直线与直线AB及抛物线分别交于点P，N点M在线段OA上运动，若以B，P，N为顶点的三角形与APM相似，求点M的坐标；点M在x轴上自由运动，若三个点M，P，N中恰有一点是其它两点所连线段的中点（三点重合除外），则称M，P，N三点为“共谐点”请直接写出使得M，P，N三点成为“共谐点”的m的值【分析】（1）把A点坐标代入直线解析式可求得c，则可求得B点坐标，由A、B的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；（2）
2、由M点坐标可表示P、N的坐标，从而可表示出MA、MP、PN、PB的长，分NBP=90和BNP=90两种情况，分别利用相似三角形的性质可得到关于m的方程，可求得m的值；用m可表示出M、P、N的坐标，由题意可知有P为线段MN的中点、M为线段PN的中点或N为线段PM的中点，可分别得到关于m的方程，可求得m的值【解答】解：（1）y=x+c与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B，0=2+c，解得c=2，B（0，2），抛物线y=x2+bx+c经过点A，B，解得，抛物线解析式为y=x2+x+2；（2）由（1）可知直线解析式为y=x+2，M（m，0）为x轴上一动点，过点M且垂直于x轴的直线与直线AB及抛物线
3、分别交于点P，N，P（m，m+2），N（m，m2+m+2），PM=m+2，AM=3m，PN=m2+m+2（m+2）=m2+4m，BPN和APM相似，且BPN=APM，BNP=AMP=90或NBP=AMP=90，当BNP=90时，则有BNMN，N点的纵坐标为2，m2+m+2=2，解得m=0（舍去）或m=2.5，M（2.5，0）；当NBP=90时，过点N作NCy轴于点C，则NBC+BNC=90，NC=m，BC=m2+m+22=m2+m，NBP=90，NBC+ABO=90，ABO=NBC，RtNCBRtBOA，=，=，解得m=0（舍去）或m=，M（，0）；综上可知当以B，P，N为顶点的三角形与APM
4、相似时，点M的坐标为（2.5，0）或（，0）；由可知M（m，0），P（m，m+2），N（m，m2+m+2），M，P，N三点为“共谐点”，有P为线段MN的中点、M为线段PN的中点或N为线段PM的中点，当P为线段MN的中点时，则有2（m+2）=m2+m+2，解得m=3（三点重合，舍去）或m=；当M为线段PN的中点时，则有m+2+（m2+m+2）=0，解得m=3（舍去）或m=1；当N为线段PM的中点时，则有m+2=2（m2+m+2），解得m=3（舍去）或m=；综上可知当M，P，N三点成为“共谐点”时m的值为或1或【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、函数图象的交点、相似三角形的判定和性质
5、、勾股定理、线段的中点、方程思想及分类讨论思想等知识在（1）中注意待定系数法的应用，在（2）中利用相似三角形的性质得到关于m的方程是解题的关键，注意分两种情况，在（2）中利用“共谐点”的定义得到m的方程是解题的关键，注意分情况讨论本题考查知识点较多，综合性较强，分情况讨论比较多，难度较大2如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：y=ax2+bx+c与x轴相交于A，B两点，顶点为D（0，4），AB=4，设点F（m，0）是x轴的正半轴上一点，将抛物线C绕点F旋转180，得到新的抛物线C（1）求抛物线C的函数表达式；（2）若抛物线C与抛物线C在y轴的右侧有两个不同的公共点，求m的取值范围（3）如
6、图2，P是第一象限内抛物线C上一点，它到两坐标轴的距离相等，点P在抛物线C上的对应点P，设M是C上的动点，N是C上的动点，试探究四边形PMPN能否成为正方形？若能，求出m的值；若不能，请说明理由【分析】（1）由题意抛物线的顶点D（0，4），A（2，0），设抛物线的解析式为y=ax2+4，把A（2，0）代入可得a=，由此即可解决问题；（2）由题意抛物线C的顶点坐标为（2m，4），设抛物线C的解析式为y=（x2m）24，由，消去y得到x22mx+2m28=0，由题意，抛物线C与抛物线C在y轴的右侧有两个不同的公共点，则有，解不等式组即可解决问题；（3）情形1，四边形PMPN能成为正方形作PEx轴于
7、E，MHx轴于H由题意易知P（2，2），当PFM是等腰直角三角形时，四边形PMPN是正方形，推出PF=FM，PFM=90，易证PFEFMH，可得PE=FH=2，EF=HM=2m，可得M（m+2，m2），理由待定系数法即可解决问题；情形2，如图，四边形PMPN是正方形，同法可得M（m2，2m），利用待定系数法即可解决问题【解答】解：（1）由题意抛物线的顶点D（0，4），A（2，0），设抛物线的解析式为y=ax2+4，把A（2，0）代入可得a=，抛物线C的函数表达式为y=x2+4（2）由题意抛物线C的顶点坐标为（2m，4），设抛物线C的解析式为y=（x2m）24，由，消去y得到x22mx+2m28
8、=0，由题意，抛物线C与抛物线C在y轴的右侧有两个不同的公共点，则有，解得2m2，满足条件的m的取值范围为2m2（3）结论：四边形PMPN能成为正方形理由：1情形1，如图，作PEx轴于E，MHx轴于H由题意易知P（2，2），当PFM是等腰直角三角形时，四边形PMPN是正方形，PF=FM，PFM=90，易证PFEFMH，可得PE=FH=2，EF=HM=2m，M（m+2，m2），点M在y=x2+4上，m2=（m+2）2+4，解得m=3或3（舍弃），m=3时，四边形PMPN是正方形情形2，如图，四边形PMPN是正方形，同法可得M（m2，2m），把M（m2，2m）代入y=x2+4中，2m=（m2）2+
9、4，解得m=6或0（舍弃），m=6时，四边形PMPN是正方形综上，四边形PMPN能成为正方形，m=3或6【点评】本题考查二次函数综合题、中心对称变换、正方形的性质、全等三角形的判定和性质、一元二次方程的根与系数的关系等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题3在平面直角坐标系xOy中的点P和图形M，给出如下的定义：若在图形M上存在一点Q，使得P、Q两点间的距离小于或等于1，则称P为图形M的关联点（1）当O的半径为2时，在点P1（，0），P2（，），P3（，0）中，O的关联点是P2，P3点P在直线y=x上，若P为O的关联点，求点P的横坐标的取值范围
10、（2）C的圆心在x轴上，半径为2，直线y=x+1与x轴、y轴交于点A、B若线段AB上的所有点都是C的关联点，直接写出圆心C的横坐标的取值范围【分析】（1）根据点P1（，0），P2（，），P3（，0），求得OP1=，OP2=1，OP3=，于是得到结论；根据定义分析，可得当最小y=x上的点P到原点的距离在1到3之间时符合题意，设P（x，x），根据两点间的距离公式即可得到结论；（2根据已知条件得到A（1，0），B（0，1），如图1，当圆过点A时，得到C（2，0），如图2，当直线AB与小圆相切时，切点为D，得到C（1，0），于是得到结论；如图3，当圆过点A，则AC=1，得到C（2，0），如图4，当圆过
11、点B，连接BC，根据勾股定理得到C（2，0），于是得到结论【解答】解：（1）点P1（，0），P2（，），P3（，0），OP1=，OP2=1，OP3=，P1与O的最小距离为，P2与O的最小距离为1，OP3与O的最小距离为，O，O的关联点是P2，P3；故答案为：P2，P3；根据定义分析，可得当最小y=x上的点P到原点的距离在1到3之间时符合题意，设P（x，x），当OP=1时，由距离公式得，OP=1，x=，当OP=3时，OP=3，解得：x=；点P的横坐标的取值范围为：x，或x；（2）直线y=x+1与x轴、y轴交于点A、B，A（1，0），B（0，1），如图1，当圆过点A时，此时，CA=3，C（2，0）
12、，如图2，当直线AB与小圆相切时，切点为D，CD=1，直线AB的解析式为y=x+1，直线AB与x轴的夹角=45，AC=，C（1，0），圆心C的横坐标的取值范围为：2xC1；如图3，当圆过点A，则AC=1，C（2，0），如图4，当圆过点B，连接BC，此时，BC=3，OC=2，C（2，0）圆心C的横坐标的取值范围为：2xC2；综上所述；圆心C的横坐标的取值范围为：2xC1或2xC2【点评】本题考查了一次函数的性质，勾股定理，直线与圆的位置关系，两点间的距离公式，正确的作出图形是解题的关键4如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+ax+b交x轴于A（1，0），B（3，0）两点，点P是抛物线上在第一
13、象限内的一点，直线BP与y轴相交于点C（1）求抛物线y=x2+ax+b的解析式；（2）当点P是线段BC的中点时，求点P的坐标；（3）在（2）的条件下，求sinOCB的值【分析】（1）将点A、B代入抛物线y=x2+ax+b，解得a，b可得解析式；（2）由C点横坐标为0可得P点横坐标，将P点横坐标代入（1）中抛物线解析式，易得P点坐标；（3）由P点的坐标可得C点坐标，由B、C的坐标，利用勾股定理可得BC长，利用sinOCB=可得结果【解答】解：（1）将点A、B代入抛物线y=x2+ax+b可得，解得，a=4，b=3，抛物线的解析式为：y=x2+4x3；（2）点C在y轴上，所以C点横坐标x=0，点P是
14、线段BC的中点，点P横坐标xP=，点P在抛物线y=x2+4x3上，yP=3=，点P的坐标为（，）；（3）点P的坐标为（，），点P是线段BC的中点，点C的纵坐标为20=，点C的坐标为（0，），BC=，sinOCB=【点评】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式和解直角三角形，利用中点求得点P的坐标是解答此题的关键5如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，点B坐标为（6，0），点C坐标为（0，6），点D是抛物线的顶点，过点D作x轴的垂线，垂足为E，连接BD（1）求抛物线的解析式及点D的坐标；（2）点F是抛物线上的动点，当FBA=BDE时，求点F的坐标；（3）若点M是抛
15、物线上的动点，过点M作MNx轴与抛物线交于点N，点P在x轴上，点Q在坐标平面内，以线段MN为对角线作正方形MPNQ，请写出点Q的坐标【分析】（1）由B、C的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式，再求其顶点D即可；（2）过F作FGx轴于点G，可设出F点坐标，利用FBGBDE，由相似三角形的性质可得到关于F点坐标的方程，可求得F点的坐标；（3）由于M、N两点关于对称轴对称，可知点P为对称轴与x轴的交点，点Q在对称轴上，可设出Q点的坐标，则可表示出M的坐标，代入抛物线解析式可求得Q点的坐标【解答】解：（1）把B、C两点坐标代入抛物线解析式可得，解得，抛物线解析式为y=x2+2x+6，y=x2+2x
16、+6=（x2）2+8，D（2，8）；（2）如图1，过F作FGx轴于点G，设F（x，x2+2x+6），则FG=|x2+2x+6|，FBA=BDE，FGB=BED=90，FBGBDE，=，B（6，0），D（2，8），E（2，0），BE=4，DE=8，OB=6，BG=6x，=，当点F在x轴上方时，有=，解得x=1或x=6（舍去），此时F点的坐标为（1，）；当点F在x轴下方时，有=，解得x=3或x=6（舍去），此时F点的坐标为（3，）；综上可知F点的坐标为（1，）或（3，）；（3）如图2，设对角线MN、PQ交于点O，点M、N关于抛物线对称轴对称，且四边形MPNQ为正方形，点P为抛物线对称轴与x轴的交点
17、，点Q在抛物线的对称轴上，设Q（2，2n），则M坐标为（2n，n），点M在抛物线y=x2+2x+6的图象上，n=（2n）2+2（2n）+6，解得n=1+或n=1，满足条件的点Q有两个，其坐标分别为（2，2+2）或（2，22）【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、相似三角形的判定和性质、正方形的性质、方程思想及分类讨论思想等知识在（1）中注意待定系数法的应用，在（2）中构造三角形相似是解题的关键，注意有两种情况，在（3）中确定出P、Q的位置是解题的关键本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中6已知抛物线y=x2+bx3（b是常数）经过点A（1，0）（1）求该抛物线的解析式和顶点坐标；
18、（2）P（m，t）为抛物线上的一个动点，P关于原点的对称点为P当点P落在该抛物线上时，求m的值；当点P落在第二象限内，PA2取得最小值时，求m的值【分析】（1）把A点坐标代入抛物线解析式可求得b的值，则可求得抛物线解析式，进一步可求得其顶点坐标；（2）由对称可表示出P点的坐标，再由P和P都在抛物线上，可得到关于m的方程，可求得m的值；由点P在第二象限，可求得t的取值范围，利用两点间距离公式可用t表示出PA2，再由点P在抛物线上，可以消去m，整理可得到关于t的二次函数，利用二次函数的性质可求得其取得最小值时t的值，则可求得m的值【解答】解：（1）抛物线y=x2+bx3经过点A（1，0），0=1b
19、3，解得b=2，抛物线解析式为y=x22x3，y=x22x3=（x1）24，抛物线顶点坐标为（1，4）；（2）由P（m，t）在抛物线上可得t=m22m3，点P与P关于原点对称，P（m，t），点P落在抛物线上，t=（m）22（m）3，即t=m22m+3，m22m3=m22m+3，解得m=或m=；由题意可知P（m，t）在第二象限，m0，t0，即m0，t0，抛物线的顶点坐标为（1，4），4t0，P在抛物线上，t=m22m3，m22m=t+3，A（1，0），P（m，t），PA2=（m+1）2+（t）2=m22m+1+t2=t2+t+4=（t+）2+；当t=时，PA2有最小值，=m22m3，解得m=或m
20、=，m0，m=不合题意，舍去，m的值为【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、中心对称、二次函数的性质、勾股定理、方程思想等知识在（1）中注意待定系数法的应用，在（2）中求得P点的坐标，得到关于m的方程是解题的关键，在（2）中用t表示出PA2是解题的关键本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中7在同一直角坐标系中，抛物线C1：y=ax22x3与抛物线C2：y=x2+mx+n关于y轴对称，C2与x轴交于A、B两点，其中点A在点B的左侧（1）求抛物线C1，C2的函数表达式；（2）求A、B两点的坐标；（3）在抛物线C1上是否存在一点P，在抛物线C2上是否存在一点Q，使得以AB为边，且以A、
21、B、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出P、Q两点的坐标；若不存在，请说明理由【分析】（1）由对称可求得a、n的值，则可求得两函数的对称轴，可求得m的值，则可求得两抛物线的函数表达式；（2）由C2的函数表达式可求得A、B的坐标；（3）由题意可知AB只能为平行四边形的边，利用平行四边形的性质，可设出P点坐标，表示出Q点坐标，代入C2的函数表达式可求得P、Q的坐标【解答】解：（1）C1、C2关于y轴对称，C1与C2的交点一定在y轴上，且C1与C2的形状、大小均相同，a=1，n=3，C1的对称轴为x=1，C2的对称轴为x=1，m=2，C1的函数表示式为y=x22x3，C2的函数表达式为
22、y=x2+2x3；（2）在C2的函数表达式为y=x2+2x3中，令y=0可得x2+2x3=0，解得x=3或x=1，A（3，0），B（1，0）；（3）存在AB的中点为（1，0），且点P在抛物线C1上，点Q在抛物线C2上，AB只能为平行四边形的一边，PQAB且PQ=AB，由（2）可知AB=1（3）=4，PQ=4，设P（t，t22t3），则Q（t+4，t22t3）或（t4，t22t3），当Q（t+4，t22t3）时，则t22t3=（t+4）2+2（t+4）3，解得t=2，t22t3=4+43=5，P（2，5），Q（2，5）；当Q（t4，t22t3）时，则t22t3=（t4）2+2（t4）3，解得t=
23、2，t22t3=443=3，P（2，3），Q（2，3），综上可知存在满足条件的点P、Q，其坐标为P（2，5），Q（2，5）或P（2，3），Q（2，3）【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、对称的性质、函数图象与坐标轴的交点、平行四边形的性质、方程思想及分类讨论思想等知识在（1）中由对称性质求得a、n的值是解题的关键，在（2）中注意函数图象与坐标轴的交点的求法即可，在（3）中确定出PQ的长度，设P点坐标表示出Q点的坐标是解题的关键本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中8已知函数y=x2+（m1）x+m（m为常数）（1）该函数的图象与x轴公共点的个数是DA.0 B.1 C.2 D.1
24、或2（2）求证：不论m为何值，该函数的图象的顶点都在函数y=（x+1）2的图象上（3）当2m3时，求该函数的图象的顶点纵坐标的取值范围【分析】（1）表示出根的判别式，判断其正负即可得到结果；（2）将二次函数解析式配方变形后，判断其顶点坐标是否在已知函数图象即可；（3）根据m的范围确定出顶点纵坐标范围即可【解答】解：（1）函数y=x2+（m1）x+m（m为常数），=（m1）2+4m=（m+1）20，则该函数图象与x轴的公共点的个数是1或2，故选D；（2）y=x2+（m1）x+m=（x）2+，把x=代入y=（x+1）2得：y=（+1）2=，则不论m为何值，该函数的图象的顶点都在函数y=（x+1）2
25、的图象上；（3）设函数z=，当m=1时，z有最小值为0；当m1时，z随m的增大而减小；当m1时，z随m的增大而增大，当m=2时，z=；当m=3时，z=4，则当2m3时，该函数图象的顶点坐标的取值范围是0z4【点评】此题考查了抛物线与x轴的交点，以及二次函数的性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解本题的关键9已知直线y=2x+m与抛物线y=ax2+ax+b有一个公共点M（1，0），且ab（）求抛物线顶点Q的坐标（用含a的代数式表示）；（）说明直线与抛物线有两个交点；（）直线与抛物线的另一个交点记为N（）若1a，求线段MN长度的取值范围；（）求QMN面积的最小值【分析】（）把M点坐标代入抛物线解析
26、式可得到b与a的关系，可用a表示出抛物线解析式，化为顶点式可求得其顶点坐标；（）由直线解析式可先求得m的值，联立直线与抛物线解析式，消去y，可得到关于x的一元二次方程，再判断其判别式大于0即可；（）（i）由（）的方程，可求得N点坐标，利用勾股定理可求得MN2，利用二次函数性质可求得MN长度的取值范围；（ii）设抛物线对称轴交直线与点E，则可求得E点坐标，利用SQMN=SQEN+SQEM可用a表示出QMN的面积，再整理成关于a的一元二次方程，利用判别式可得其面积的取值范围，可求得答案【解答】解：（）抛物线y=ax2+ax+b过点M（1，0），a+a+b=0，即b=2a，y=ax2+ax+b=ax
27、2+ax2a=a（x+）2，抛物线顶点Q的坐标为（，）；（）直线y=2x+m经过点M（1，0），0=21+m，解得m=2，联立直线与抛物线解析式，消去y可得ax2+（a2）x2a+2=0（*）=（a2）24a（2a+2）=9a212a+4，由（）知b=2a，且ab，a0，b0，0，方程（*）有两个不相等的实数根，直线与抛物线有两个交点；（）联立直线与抛物线解析式，消去y可得ax2+（a2）x2a+2=0，即x2+（1）x2+=0，（x1）x（2）=0，解得x=1或x=2，N点坐标为（2，6），（i）由勾股定理可得MN2=（2）12+（6）2=+45=20（）2，1a，21，MN2随的增大而减小
28、，当=2时，MN2有最大值245，则MN有最大值7，当=1时，MN2有最小值125，则MN有最小值5，线段MN长度的取值范围为5MN7；（ii）如图，设抛物线对称轴交直线与点E，抛物线对称轴为x=，E（，3），M（1，0），N（2，6），且a0，设QMN的面积为S，S=SQEN+SQEM=|（2）1|（3）|=，27a2+（8S54）a+24=0（*），关于a的方程（*）有实数根，=（8S54）2427240，即（8S54）2（36）2，a0，S=，8S540，8S5436，即S+，当S=+时，由方程（*）可得a=满足题意，当a=，b=时，QMN面积的最小值为+【点评】本题为二次函数的综合应用
29、，涉及函数图象的交点、二次函数的性质、根的判别式、勾股定理、三角形的面积等知识在（1）中由M的坐标得到b与a的关系是解题的关键，在（2）中联立两函数解析式，得到关于x的一元二次方程是解题的关键，在（3）中求得N点的坐标是解题的关键，在最后一小题中用a表示出QMN的面积是解题的关键本题考查知识点较多，综合性较强，难度较大10在平面直角坐标系中，设二次函数y1=（x+a）（xa1），其中a0（1）若函数y1的图象经过点（1，2），求函数y1的表达式；（2）若一次函数y2=ax+b的图象与y1的图象经过x轴上同一点，探究实数a，b满足的关系式；（3）已知点P（x0，m）和Q（1，n）在函数y1的图象
30、上，若mn，求x0的取值范围【分析】（1）根据待定系数法，可得函数解析式；（2）根据函数图象上的点满足函数解析式，可得答案；（3）根据二次函数的性质，可得答案【解答】解：（1）函数y1的图象经过点（1，2），得（a+1）（a）=2，解得a1=2，a2=1，函数y1的表达式y=（x2）（x+21），化简，得y=x2x2；函数y1的表达式y=（x+1）（x2）化简，得y=x2x2，综上所述：函数y1的表达式y=x2x2；（2）当y=0时（x+a）（xa1）=0，解得x1=a，x2=a+1，y1的图象与x轴的交点是（a，0），（a+1，0），当y2=ax+b经过（a，0）时，a2+b=0，即b=a2
31、；当y2=ax+b经过（a+1，0）时，a2+a+b=0，即b=a2a；（3）当P在对称轴的左侧（含顶点）时，y随x的增大而减小，（1，n）与（0，n）关于对称轴对称，由mn，得0x0；当时P在对称轴的右侧时，y随x的增大而增大，由mn，得x01，综上所述：mn，所求x0的取值范围0x01【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解（1）的关键是利用待定系数法；解（2）的关键是把点的坐标代入函数解析式；解（3）的关键是利用二次函数的性质，要分类讨论，以防遗漏11定义：如图1，抛物线y=ax2+bx+c（a0）与x轴交于A，B两点，点P在该抛物线上（P点与A、B两点不重合），如果ABP的三边
32、满足AP2+BP2=AB2，则称点P为抛物线y=ax2+bx+c（a0）的勾股点（1）直接写出抛物线y=x2+1的勾股点的坐标（2）如图2，已知抛物线C：y=ax2+bx（a0）与x轴交于A，B两点，点P（1，）是抛物线C的勾股点，求抛物线C的函数表达式（3）在（2）的条件下，点Q在抛物线C上，求满足条件SABQ=SABP的Q点（异于点P）的坐标【分析】（1）根据抛物线勾股点的定义即可得；（2）作PGx轴，由点P坐标求得AG=1、PG=、PA=2，由tanPAB=知PAG=60，从而求得AB=4，即B（4，0），待定系数法求解可得；（3）由SABQ=SABP且两三角形同底，可知点Q到x轴的距离
33、为，据此求解可得【解答】解：（1）抛物线y=x2+1的勾股点的坐标为（0，1）；（2）抛物线y=ax2+bx过原点，即点A（0，0），如图，作PGx轴于点G，点P的坐标为（1，），AG=1、PG=，PA=2，tanPAB=，PAG=60，在RtPAB中，AB=4，点B坐标为（4，0），设y=ax（x4），将点P（1，）代入得：a=，y=x（x4）=x2+x；（3）当点Q在x轴上方时，由SABQ=SABP知点Q的纵坐标为，则有x2+x=，解得：x1=3，x2=1（不符合题意，舍去），点Q的坐标为（3，）；当点Q在x轴下方时，由SABQ=SABP知点Q的纵坐标为，则有x2+x=，解得：x1=2+，
34、x2=2，点Q的坐标为（2+，）或（2，）；综上，满足条件的点Q有3个：（3，）或（2+，）或（2，）【点评】本题主要考查抛物线与x轴的交点及待定系数法求函数解析式，根据新定义求得点B的坐标，并熟练掌握待定系数求函数解析式及三角形面积问题是解题的关键12如图，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于 A、B两点，与y轴交于点C，OB=OC点D在函数图象上，CDx轴，且CD=2，直线l是抛物线的对称轴，E是抛物线的顶点（1）求b、c的值；（2）如图，连接BE，线段OC上的点F关于直线l的对称点F恰好在线段BE上，求点F的坐标；（3）如图，动点P在线段OB上，过点P作x轴的垂线分别与BC交于点M
35、，与抛物线交于点N试问：抛物线上是否存在点Q，使得PQN与APM的面积相等，且线段NQ的长度最小？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，说明理由【分析】（1）由条件可求得抛物线对称轴，则可求得b的值；由OB=OC，可用c表示出B点坐标，代入抛物线解析式可求得c的值；（2）可设F（0，m），则可表示出F的坐标，由B、E的坐标可求得直线BE的解析式，把F坐标代入直线BE解析式可得到关于m的方程，可求得F点的坐标；（3）设点P坐标为（n，0），可表示出PA、PB、PN的长，作QRPN，垂足为R，则可求得QR的长，用n可表示出Q、R、N的坐标，在RtQRN中，由勾股定理可得到关于n的二次函数，利用二次
36、函数的性质可知其取得最小值时n的值，则可求得Q点的坐标，【解答】解：（1）CDx轴，CD=2，抛物线对称轴为x=1OB=OC，C（0，c），B点的坐标为（c，0），0=c2+2c+c，解得c=3或c=0（舍去），c=3；（2）设点F的坐标为（0，m）对称轴为直线x=1，点F关于直线l的对称点F的坐标为（2，m）由（1）可知抛物线解析式为y=x22x3=（x1）24，E（1，4），直线BE经过点B（3，0），E（1，4），利用待定系数法可得直线BE的表达式为y=2x6点F在BE上，m=226=2，即点F的坐标为（0，2）；（3）存在点Q满足题意设点P坐标为（n，0），则PA=n+1，PB=PM=
37、3n，PN=n2+2n+3作QRPN，垂足为R，SPQN=SAPM，QR=1点Q在直线PN的左侧时，Q点的坐标为（n1，n24n），R点的坐标为（n，n24n），N点的坐标为（n，n22n3）在RtQRN中，NQ2=1+（2n3）2，时，NQ取最小值1此时Q点的坐标为；点Q在直线PN的右侧时，Q点的坐标为（n+1，n24）同理，NQ2=1+（2n1）2，时，NQ取最小值1此时Q点的坐标为综上可知存在满足题意的点Q，其坐标为或【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、轴对称、三角形的面积、勾股定理、二次函数的性质、方程思想及分类讨论思想等知识在（1）中求得抛物线的对称轴是解题的关键，在（
38、2）中用F点的坐标表示出F的坐标是解题的关键，在（3）中求得QR的长，用勾股定理得到关于n的二次函数是解题的关键本题考查知识点较多，综合性较强，特别是最后一问，难度很大13如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2x与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，对称轴与x轴交于点D，点E（4，n）在抛物线上（1）求直线AE的解析式；（2）点P为直线CE下方抛物线上的一点，连接PC，PE当PCE的面积最大时，连接CD，CB，点K是线段CB的中点，点M是CP上的一点，点N是CD上的一点，求KM+MN+NK的最小值；（3）点G是线段CE的中点，将抛物线y=x2x沿x轴正方向平移得到新抛物线
39、y，y经过点D，y的顶点为点F在新抛物线y的对称轴上，是否存在点Q，使得FGQ为等腰三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由【分析】（1）抛物线的解析式可变形为y=（x+1）（x3），从而可得到点A和点B的坐标，然后再求得点E的坐标，设直线AE的解析式为y=kx+b，将点A和点E的坐标代入求得k和b的值，从而得到AE的解析式；（2）设直线CE的解析式为y=mx，将点E的坐标代入求得m的值，从而得到直线CE的解析式，过点P作PFy轴，交CE与点F设点P的坐标为（x，x2x），则点F（x，x），则FP=x2+x由三角形的面积公式得到EPC的面积=x2+x，利用二次函数的性质可求得x
40、的值，从而得到点P的坐标，作点K关于CD和CP的对称点G、H，连接G、H交CD和CP与N、M然后利用轴对称的性质可得到点G和点H的坐标，当点O、N、M、H在条直线上时，KM+MN+NK有最小值，最小值=GH；（3）由平移后的抛物线经过点D，可得到点F的坐标，利用中点坐标公式可求得点G的坐标，然后分为QG=FG、QG=QF，FQ=FQ三种情况求解即可【解答】解：（1）y=x2x，y=（x+1）（x3）A（1，0），B（3，0）当x=4时，y=E（4，）设直线AE的解析式为y=kx+b，将点A和点E的坐标代入得：，解得：k=，b=直线AE的解析式为y=x+（2）设直线CE的解析式为y=mx，将点E
41、的坐标代入得：4m=，解得：m=直线CE的解析式为y=x过点P作PFy轴，交CE与点F设点P的坐标为（x，x2x），则点F（x，x），则FP=（x）（x2x）=x2+xEPC的面积=（x2+x）4=x2+x当x=2时，EPC的面积最大P（2，）如图2所示：作点K关于CD和CP的对称点G、H，连接G、H交CD和CP与N、MK是CB的中点，k（，）tanKCP=OD=1，OC=，tanOCD=OCD=KCP=30KCD=30k是BC的中点，OCB=60，OC=CK点O与点K关于CD对称点G与点O重合点G（0，0）点H与点K关于CP对称，点H的坐标为（，）KM+MN+NK=MH+MN+GN当点O、N
42、、M、H在条直线上时，KM+MN+NK有最小值，最小值=GHGH=3KM+MN+NK的最小值为3（3）如图3所示：y经过点D，y的顶点为点F，点F（3，）点G为CE的中点，G（2，）FG=当FG=FQ时，点Q（3，），Q（3，）当GF=GQ时，点F与点Q关于y=对称，点Q（3，2）当QG=QF时，设点Q1的坐标为（3，a）由两点间的距离公式可知：a+=，解得：a=点Q1的坐标为（3，）综上所述，点Q的坐标为（3，）或（3，）或（3，2）或（3，）【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求一次函数的解析式、轴对称最短路径问题、等腰三角形的定义和性质，找到KM+MN+NK取得最小值的条件是解答问题（2）的关键；分为QG=FG、QG=QF，FQ=FQ三种情况分别进行计算是解答问题（3）的关键14如图，抛物线y=ax2+bx+2经过点A（1，0），B（4，0），交y轴于点C；（1）求抛物线的解析式（用一般式表示）；（2）点D为y轴右侧抛物线上一点，是否存在点D使SABC=SABD？若存在请直接给出点D坐标；若不存在请说明理由；（3）将直线BC绕点B顺时针旋转45，与抛物线交于另一点E，求BE的长【分析】（1）由A、B的坐标，
