1、 10 6高斯公式通量与散度 一 高斯公式 二 通量与散度 高斯公式的物理意义 散度 散度的计算 通量 高斯公式的另一形式 一 高斯公式 定理1设空间闭区域W是由分片光滑的闭曲面S所围成 函数P x y z Q x y z R x y z 在W上具有一阶连续偏导数 则有 这里S是W的整个边界的外侧 cosa cosb cosg是S上点 x y z 处的法向量的方向余弦 这两个公式称为高斯公式 证明 如图所示 把S看成由S1 S2和S3三部分组成 其中S1和S2的方程分别为z z1 x y 和z z2 x y S1取下侧 S2取上侧 S3取外侧 设闭区域W在xOy面上的投影区域为Dxy 简要证明
2、 Dxy 根据三重积分的计算法 有 另一方面 有 以上三式相加 得 类似地有 把以上三式两端分别相加 即得高斯公式 解这里P y z x Q 0 R x y 由高斯公式 有 解设S1为z h x2 y2 h2 的上侧 则S与S1一起构成一个闭曲面 记它们围成的空间闭区域为W 而 因此 由高斯公式得 二 通量与散度 高斯公式 的右端可解释为单位时间内离开闭区域W的流体的总质量 左端可解释为分布在W内的源头在单位时间内所产生的流体的总质量 高斯公式的物理意义 在流速场F P x y z Q x y z R x y z 内一定点M x y z 附近任取一包围M点的闭曲面S 设S所围成的区域为W W的体积为V 则 散度 表示单位时间从W的单位体积内所产生的流量 而 表示在点M处单位时间内所产生的流量 我们称其为向量场F在点M的散度 记为divF 即 设P Q R具有一阶连续偏导数 则 散度的计算 设S是向量场F内的一片有向曲面 n是S上点 x y z 处的单位法向量 则 通量 叫做向量场F通过曲面S向着指定侧的通量 或流量 高斯公式的另一形式
