1、空间向量运算的坐标表示 一 空间向量 定义 既有大小又有方向的量 模 零向量 单位向量 相等的向量 一个向量的负向量 向量的夹角等概念 空间向量的和 差 数乘 数量积等运算的定义及其运算律都与平面向量的相应概念 运算及其运算律具有相同的意义 三个坐标平面将整个空间分为八个部分 被称为八个卦限 如图 O O 二 向量的直角坐标运算 三 距离与夹角 1 距离公式 1 向量的长度 模 公式 注意 此公式的几何意义是表示长方体的对角线的长度 2 空间两点间的距离公式 在空间直角坐标系中 已知 则 2 两个向量夹角公式 注意 1 当时 同向 2 当时 反向 3 当时 思考 当及时 向量的夹角在什么范围内
2、 练习一 1 求下列两个向量的夹角的余弦 2 求下列两点间的距离 定比分点公式 例2已知 求 1 线段的中点坐标和长度 解 设是的中点 则 点的坐标是 2 到两点距离相等的点的坐标满足的条件 3 A B C x y 9 共线 求x y 2 到两点距离相等的点的坐标满足的条件 解 点到的距离相等 则 化简整理 得 即到两点距离相等的点的坐标满足的条件是 例1已知 求 例2如图 在正方体中 求与所成的角的余弦值 解 设正方体的棱长为1 如图建立空间直角坐标系 则 例2如图 在正方体中 求与所成的角的余弦值 五 课堂小结 1 基本知识 1 向量的长度公式与两点间的距离公式 2 两个向量的夹角公式 2 思想方法 用向量计算或证明几何问题时 可以先建立直角坐标系 然后把向量 点坐标化 借助向量的直角坐标运算法则进行计算或证明 思考题 练习二 练习三
