1、4 2一般二次曲线的化简与分类 Simplificationandclassificationofgeneralquadraticcurves 在中学平面解析几何中 曾经学习了椭圆 圆 双曲线和抛物线等圆锥曲线及其标准方程 它们都是二次曲线 本章讨论更一般的二次曲线 在平面直角坐标系下 关于x和y的二元二次方程所表示的曲线 称为一般二次曲线 a11 a12和a22不全为零 4 2 1一些常用记号 Notations 为了以后讨论问题和书写的方便 引进下面的一些记号 根据这些记号的含义 可验证下面的恒等式成立 F x y xF1 x y yF2 x y F3 x y 称F x y 的系数所组成的
2、矩阵为二次曲线 4 2 1 的系数矩阵 或称F x y 的矩阵再引入几个记号 例1试求二次曲线的系数矩阵A F1 x y F2 x y F3 x y I1 I2 I3 和K1 解由以上记号知 4 2 2直角坐标变换下 二次曲线方程的系数变换规律 VariationlowofcoefficientsequationofquadraticcurvesunderDescartescoordinates 为了选择适当的坐标变换来化简二次曲线的方程 需要了解在坐标变换下方程的系数是怎样变化的 由上节讨论 知道一般的坐标变换可以分解为移轴和转轴两部分 因此 将分别考察移轴变换和转轴变换对方程系数的影响 1
3、 平移变换下二次曲线方程的系数的变化规律 将平移公式 x x x0 y y y0代入曲线方程 化简整理 设曲线方程变为F x y a 11x 2 2a 12x y a 22y 2 2a 13x 2a 23y a 33 0比较方程系数 得平移变换下曲线方程系数的变化规律 1 二次项系数不变 2 一次项系数变为F1 x0 y0 F2 x0 y0 3 常数项变为F x0 y0 若取新坐标原点O x0 y0 满足方程 则在新坐标系下 方程中将无一次项 曲线对称于原点 点 x0 y0 就是曲线的对称中心 如果对称中心是唯一的 称为曲线的中心 此时方程称为中心方程 注 当I2 0时 上一方程组就有唯一解
4、这时曲线称为中心型二次曲线 当I2 0时 方程组就没有解或有无穷多解 这时曲线称为非中心型二次曲线或无心型二次曲线 例2求二次曲线的中心 解 x0 y0 是对称中心必须且只需满足中心方程 即解得 x0 y0 0 3 所以 0 3 是曲线的中心 2 旋转变换下二次曲线方程的系数的变化规律 将旋转公式 x x cos y sin y x sin y cos 代入曲线方程 化简整理 曲线方程变为F x y a 11x 2 2a 12x y a 22y 2 2a 13x 2a 23y a 33 0比较方程系数 得旋转变换下曲线方程系数的变化规律 1 二次项系数一般可变 但新系下方程的二次项系数仅与旧系
5、下方程的二次项系数及旋转角 有关 而与一次项系数及常数项无关 2 一次项系数一般也可变 但新系下方程的一次项系数仅与旧系下方程的一次项系数及旋转角 有关 而与二次项系数及常数项无关 3 常数项不变 根据公式的表达式 若选取 角 使 则方程中没有交叉乘积项 注 若要通过旋转变换消去交叉项 只须旋转角 满足 a 12 a22 a11 cos sin a12 cos2 sin2 0 即 a22 a11 sin2 2a12cos2 0从而得旋转角 满足 因为余切的值可以是任意实数 所以一定存在 满足上式 这就是说 一定可以通过转角 消去交叉项 上式中的 不是唯一的 为确定起见 一般规定0 需要说明的是
6、 我们为什么不用 这是因为当a11 a22时 该式没有意义 而完全可以决定旋转角 4 当a12 0时 虽然也无意义 但这时方程中已经不含交叉项 就用不到转轴变换了 例利用转轴变换 消去二次曲线x2 2xy y2 4x y 1 0中的交叉项 解设旋转角为 由决定方程得可取 故转轴公式为 代入原方程化简整理得转轴后的新方程为 4 2 3二次曲线的判别 Quadraticcurvediscriminant 从前面的讨论可知 二次曲线化简的关键是如何消去方程中的交叉项xy和一次项 化简一般二次曲线方程 首先要判别二次曲线的类型 然后根据曲线的类型 采用不同的坐标变换 二次曲线的类型可以用I2来判别 当
7、I2 0时 二次曲线是中心型曲线 当I2 0时 二次曲线是非中心型曲线 又可以细分为以下3种类型 1 椭圆型 I2 0 2 双曲型 I2 0 3 抛物型 I2 0 注 二次曲线类型判别的严格证明 参看后文的利用不变量化简曲线方程部分 4 2 4二次曲线的化简与作图 SimplificationandgraphingofQuadraticcurves 根据坐标变换下方程系数的变化规律 对于中心型二次曲线 可以先求出曲线的中心 通过移轴变换消去一次项 然后再作转轴变换时 就不用整理一次项了 而对于非中心型二次曲线 由于曲线没有中心 只能先作转轴变换 这就是说 要根据曲线的类型 采用不同的化简方法
8、1 中心型二次曲线 I2 0 的化简与作图 对于中心型二次曲线 采用 先移后转 较为简便 其具体步骤是 1 解中心方程组 求出曲线的中心 x0 y0 2 作平移变换 消去一次项 3 利用旋转角 公式 求出cos sin 4 作旋转变换 消去交叉项 得到曲线的标准方程 5 将旋转变换代入平移变换 得到直角坐标变换公式 6 作出新旧坐标系O xy O x y 和O x y 在新坐标系下按照标准方程作出曲线的图形 例化简二次曲线方程5x2 4xy 2y2 24x 12y 18 0 并画出它的图形 解因I2 5 2 22 6 0 所以曲线为中心型二次曲线 先移后转 1 解中心方程组得到曲线中心 2 1
9、 2 做移轴变换原方程变为5x 2 4x y 2y 2 12 0这里实际上只需计算F 2 1 12 因为移轴时二次项系数不变 一次项系数变为0 3 再做转轴变换消去x y 项 令得tan 1 2或tan 2取tan 1 2 可得cos 2 51 2 sin 1 51 2 4 转轴变换公式 代入 可将方程化简为标准方程是这是一个椭圆 如图所示 作图要点 要比较准确地画出新旧坐标系和曲线的图形 必须掌握好比例 新旧原点的位置以及坐标轴的旋转角 本题中坐标系O xy平移到 2 1 成O x y 再把坐标系O x y 旋转角得O x y 在新坐标系O x y 中根据椭圆的标准方程作图 注 本题转轴时若
10、取tan 2 则可得cos 1 51 2 sin 2 51 2 所得的转轴公式是得到的标准方程为 图形相对于原坐标系的位置不变 此时O x 轴的正向恰好是图中y 轴的反向 例化简二次曲线方程x2 3xy y2 10 x 10y 21 0 写出坐标变换公式并作出它的图形 解因为I2 0 所给的二次曲线是双曲型的 中心方程组解得中心坐标为 2 2 作移轴变换原方程化为再作转轴变换 得旋转角为 故转轴变换为 二次曲线的方程化简为 标准方程为这是一条双曲线 其图形如图所示 作图时 先将坐标系O xy平移到 2 2 成O x y 再把坐标系O x y 旋转角 4得O x y 在新坐标系O x y 中根据
11、双曲线的标准方程作图 将转轴公式 代入移轴公式 得坐标变换公式为 注 利用移轴可以直接化简缺少xy项的二次曲线方程 化简的关键是找到恰当的移轴公式 常用的方法有配方法和代入法 在应用配方法时必须注意 要分别先对关于x与y的项进行集项 然后把x2与y2项的系数括出来再配方 利用直角坐标变换的方法化简曲线方程 不仅能够得到曲线的标准方程 而且同时得到坐标变换公式 并能作出曲线的图形 这是其它方法所不能做到的 2 非中心型二次曲线 I2 0 的化简与作图 对于非中心型二次曲线 采用 先转后移 较为简便 其具体步骤是 1 利用旋转角 公式 求出cos sin 2 作旋转变换 消去交叉项 同时消去1个二
12、次项 3 对转轴后的方程 配方 先配二次项 再配一次项 4 令 配方 后的括号内分别为x 和y 相当于作平移变换 得到曲线的标准方程 5 将平移变换代入旋转变换 得到直角坐标变换公式 6 作出新旧坐标系O xy O x y 和O x y 在新坐标系下按照标准方程作出曲线的图形 例化简二次曲线方程下x2 4xy 4y2 12x y 1 0 写出坐标变换公式并画出它的图形 解由于I2 1 4 22 0 曲线是非中心型的 应先转轴后移轴 1 设旋转角为 则有得tan 1 2或tan 2取tan 2 若取tan 1 2 同样可将原方程化简 则有 cos 1 51 2 sin 2 51 22 得转轴公式
13、为 代入原方程化简整理得转轴后的新方程为 配方得 3 再做移轴变换曲线方程就化为最简形式4 写成标准方程为 这是一条抛物线 它的顶点是新坐标系O x y 的原点 原方程的图形可以根据它在坐标系O x y 中的标准方程作出 如图所示 将移轴公式代入转轴公式 得坐标变换公式为作图要点 坐标系O xy旋转角tan 2成O x y 再把坐标系O x y 平移 得到O x y 在新坐标系O x y 中可根据抛物线的标准方程作图 为了看出曲线在原坐标系中的位置 作图时需要将新旧坐标系同时画出 例化简二次曲线方程2x2 xy 3y2 13x 2y 21 0 解计算得I2 0 I3 0 可知所给二次曲线是退化
14、的双曲型曲线 表示两条相交直线 直接将原方程左边分解因式 得 x y 3 2x 3y 7 0 故原二次曲线的方程表示两条相交直线x y 3 0和2x 3y 7 0 综上所述 利用直角坐标变换化简二次曲线方程 不仅可以得到二次曲线的标准方程 还可以写出所作的坐标变换公式 并作出曲线的图形 这正是直角坐标变换的优势所在 4 2 5二次曲线方程的分类 ClassificationofequationofQuadraticcurves 根据上面的讨论可知 对于中心型二次曲线 先通过移轴消去一次项 再通过转轴消去交叉项 曲线的方程可化为标准方程按照标准方程系数的正负 中心型二次曲线又分为椭圆型和双曲型
15、椭圆型 I2 a 11a 22 0 1 实椭圆 a 33 0 a 11a 330 3 点椭圆 a 33 0 双曲型 I2 a 11a 22 0 4 双曲线 a 33 0 5 两条相交直线 a 33 0 对于非中心型曲线也称为抛物型曲线 通过转轴消去交叉项 再对转轴后的方程 配方 曲线的方程可化为标准方程或按照系数情况分为 抛物型 I2 0 a 11 0 a 22 0 6 抛物线 a 13 0 7 一对平行的直线 a 13 0 a 22a 33 0 8 无轨迹 两平行共轭虚直线 a 13 0 a 22a 33 0 9 一条直线 两重合直线 a 13 0 a 33 0 抛物线 6 没有对称中心 称为无心曲线 7 9 类型的曲线有无穷多对称中心 他们构成一条直线 也称为线心曲线 综上所述 通过适当地选取坐标系 二次曲线的方程总可以写成下面9种标准方程中的一种形式 为简便起见 标准方程中的撇号略去 一般二次曲线按照标准方程 可以分为3类9种 椭圆椭圆型 I2 0虚椭圆点椭圆双曲型 I2 0双曲线一对相交直线抛物型 I2 0 抛物线一对平行直线一对虚平行线一对重合直线 End
