1、二阶线性微分方程的通解公式童宏胜纪华霞杭州职业技术学院基础部摘 要本文试图结合常数变易、换元、降阶等方法，对二阶线性微分方程的通解公式进行一些有效的探索，以满足教学和工程技术的需要。关键词微分方程；通解公式二阶线性微分方程：Y。+P(对y+Q(x)y=(而 (1)是高等数学中很重要的一类微分方程，在工程技术各个领域中有着非常广泛的应用。但对于这类方程，即使是二阶常系数线性微分方程，+置y+钞=，(x) (卢埠悬常数) (2)当比较复杂时，其通解往往是较难求得的。而一般高等数学教材并没有给出其通解公式。本文试图结合常数变易、换元、降阶等方法，来推导方程(1)的通解公式。设：(i)：y是方程(1)
2、对应的齐次方程，+以少+Q(对y=0 (3)的一个非零特解，(2)取对，Q(而，(的在X的某一区间上都连续。根据假设，由于y是方程(3)的一个非零特解，一般来说y不会是方程(1)的解。仿照一阶非齐次线性方程的通解公式的推导，利用常数变易法可设：y=C(x)yl (4)对(4)求导，得：=C(x)Yl+0(x圳Y。=C(x)yl+2c力爿+G(曲W将y=C(x)yl，Y=C(x)y。+c(x)“ ，=C。(x)M+2er(力爿+e(咖“代入方程(1)，得：(咖l+2C。(x)+G(咖!+尸(的叫c(x)+c曲M)+QO)e(x挑=，(力整理，得：c(Of+烈咖；+0(力_)，1)+C。(x)M+
3、2e力奠+P(曲o(咖l=扛)因为y，是方程(3)的一个非零特解，故硝+p(x)y+Q(砷yl=0，于是上式可化为：咒c”(砷+(力(2Z+P(x)yO=，如)又由于y，0，故有： 。一(对+(三蔓+戢曲)c，(x)=上(砷，l M这是关于c(x)的二阶线性微分方程，利用降阶法，令“=a，则可将此方程化为一阶线性微分方程：“t+(丛+以勘“：上，(并)M M由一阶线性微分方程的通解公式可得：“攀州*辫“=Cfn=学【I学垂秘黼出+cj=丢t弘”tlM，(咖p。+q】再积分一次，得：)=q十传。一n枇(iylf(x)fl*。x+q)ax将C(x)代入(4)，得：y州q+B搴扣博(彤(别附胁ax+
4、coax其中C，C：为两个任意常数。下面证明(5)式是二阶线性微分方程：Y。+尹()c汐。+琶0谚=，(曲 (1)的通解公式。为分析(5)式的结构，可将(5)式改写为：y：锄嘞j簪+姐J(m硪Mxp蛐蚴=r+yf；fr)m式中：k嘞+c2Mf础；=以峙一蚺M刁p。)出若能证明y=铴+J型蠹m是二一lH#)矗阶线性齐次方程： y。+砌+Q(碜y=0的通解，且歹；为j(一似壮jM川p社ax)dx是二阶线性非齐次方程：Y”+P蚴+Q(珊=，的一个特解，则由线性微分方程的通解结构定理可知，(5)式是二阶线性非齐次微分方程：Y。+P劬+Q(咖=，(x (1)的通解公式。事实上：rf=吲+岛“f争+等)阼
5、C“qwf瑚叫等。一M尸(x。n。蚺一M0即。蚺、膏 。“嘞I争一毕，将j，py一代入二阶线性齐次方程)，”+P(曲y+9(神y=0，得：左=aM，州M。f芝麓一旦趔竺)锄岛wJ础一竿)州吲蝴I学+华，+蜊鹕”C。y,I删=q魄。十联曲一十Q(x)yO+C+联耐+Q(x)Y1)I一注意到Y，是二阶线性齐次方程：，+P(对，+Q(对y=0的一个非零特解，即：M。+户(力，：+Q(母乃=0，所以上式=0 ， 这说明一陬*脚y=嘞+岛Mj竺丢积是二阶线性齐次万方数据f鞠嘲嘲嘲嘲 中国科技信息2006年第1 2期 CHINA SCIENCE AND TECHNOLOGY INFORMATION Jun
6、2006方程：M。+以咖j+Q(对M=0 的通解。(由此可得一个推论：若y，是方程吖+P(对y：+Q(力M=0的一个非零特一rl玲解，则：儿=)、f争是该方程的一个与y，线性无关的特解。而：陋lmr；+印。=q以+J争是该方程的通解。)又因为：歹=珊寺扣腑J朋x)p4娴出+M万l e-p(x)a“jM似少出出歹硼”(寺似冲朋扩“出)出+Mil P-_m)e“JM厂(x)eIP(x)6出+二墨塑尘：幺坐兰片fM厂(DP出出+厂(x)将rYY一 代入方程：少+以曲少+Q(x)y=(曲，整理得：左=右=，(x)因此，歹=舶f(_o,l、x)ii-fMJr(力。肄出是二阶线性非齐次微分方程：，+联砖y
7、+Q(x)y=(砖的一个特解。综上所述可知：y；“rig+f；，即城(，M，(对-Jh蚺出+cj)d科是二阶线性非齐次微分方程：，+P(对y+Q(x)y=J，(曲的通解。式中cC，是任意常数。容易证明：对于二阶线性齐次方程：订+尸(枷?tQ(对照=0，当五是其对应的特征方程，2+暇习+Q(对=0，p是未知数)时的一个特征根时(即五3+允P(+Q(x)=0)，则y=窖。必为该二阶线性齐次方程的一个特解。利用二阶线性非齐次微分方程的通解公式：y=M【q+f丢t,-f-州。碡(J(咖n艟,ix+岛)出】可推出二阶常系数线性非齐次微分方程的通解公式。设二阶常系数线性非齐次微分方程为：掣。+妙+秽=，霉
8、o)(6)其对应的齐次方程的特征方程为：。+打+c=0，根据特征方程的根的三种情况，分别讨论：(1)当刍24ac0，设2是与方程(6)对应的齐次方程的特征方程的一个特征根，则y=窖舰必为与方程(6)对应的齐次方程的一个非零特解，由公式(5)得方程(6)的通解为：，=fq+删“臼e(而办+岛)酬(7 )(2)b 24ac=0，则与方程(6)对应的齐次方程的特征方程的一个特征根为：五=一云，因此M=一”=廖百。必为与方程(6)对应的齐次方程的一个非零特解，由公式(5)得方程(6)的通解为：y；霉箍【q+q舯三ff(咖斧2j(8 )(3)b 24a C0，则与方程(6)对应的齐次方程的特征方程的一个
9、特征根为：焉=口+犀，磊=口一犀 ，其中，口：一兰，芦；盘娑 ，因此Z口 Zd乃=曾“cos筘x必为与方程(6)对应的齐次方程的一个非零特解，由公式(5)得方程(6)的通解为：yi帮c。s取【q+f磊1嚼(三(枷象淄触+岛敞】(9)例 ： 求 微 分 方 程，一2y+y=(+对矿的通解解：6，一钕：(一妒一4xlxl。0，对应的齐次方程的特征根为：丑=一寺=一嘉一，M=一。=矿是对应的齐次方程的一个非零特解，由通解公式(8)得：该方程的通解为：308y=#。fq+qx+劈02+力口。2j=矾q+岛x+f(争3+吾x2胁】刮，【q+qz+丧+吉】 l 口参考懿瓣常微分方程中山大学数学力学系微分方
10、程组人民教育出版社2朱有清，贺才兴高等数学复习十五讲上海交通大学出版社5高等数学(第四版)同济大学数学系高等数学教研室同济大学出版社上接第502页学，以实现学习个体化。多媒体教育网络，即可以进行个别化教学，又可以进行协作型教学，还可以相互交流。这种教学方式完全按照个人需求进行。教学的内容、时间及方式甚至指导教师，都可以按个人意愿选择，是一种以学习者为中心，以实践为中心，自主学习的现代教学方式。教师更多的是作为一个管理者和引导者，而不是说教者。另外多媒体技术还可以把抽象的问题形象化、把静止的图像动起来，更加具体的反映思维过程，开阔学生视野、激发学生灵感、开拓学生的创新思维。总之，信息时代的到来，
11、为教育事业展现了一片广阔的新天地，应用于教育改革的新技术还很多，我fi1要不断探索和尝试，才能充分发掘新技术的优势。将多媒体技术适当应用于课堂教学，可以减轻学生学习的过重负担，提高课堂教学效率，培养学生非智力因素，符合现代化教育的需要，能有效地培养更多的新世纪的创造型人才。并能满足终身教育、个性化教育的需求，有力地推进了教育的改革和发展。参努囊裁申国电化教育f 998年7-12期合订本1 999年第4期P27、P462】 钟义信信息时代宣言，第二届全国高等学校理科CAI学术会议论文集暨南大学出版社1 997。万方数据二阶线性微分方程的通解公式作者： 童宏胜， 纪华霞作者单位： 杭州职业技术学院
12、基础部刊名： 中国科技信息英文刊名： CHINA SCIENCE AND TECHNOLOGY INFORMATION年，卷(期)： 2006，“(12)被引用次数： 0次参考文献(3条)1.中山大学数学力学系微分方程组 常微分方程2.朱有清.贺才兴 高等数学复习十五讲3.同济大学数学系高等数学教研室 高等数学相似文献(10条)1.期刊论文 汤光宋.阮燕珍 新三类二阶二次微分方程的解法及其通解公式 -株洲师范高等专科学校学报2004,9(2)提出新的三类二阶二次微分方程,分别借助降阶法、线性化法,论证其可积性,获得相应方程类型的通解公式,并列举了实例.2.期刊论文 陈新明 二阶常系数线性微分方
13、程的通解公式 -高等数学研究2007,10(3)讨论了求二阶常系数线性微分方程一个通解公式.3.期刊论文 邢春峰.袁安锋.XING Chun-feng.YUAN An-feng 二阶变系数线性非齐次微分方程的通解公式 -北京联合大学学报（自然科学版）2007,21(4)为了更多地得到理论上和应用上占有重要地位的二阶变系数线性非齐次微分方程的通解,这里使用常数变易法,在先求得二阶变系数线性齐次微分方程一个特解的情况下,将二阶变系数线性非齐次微分方程转化为可降阶的微分方程,从而给出了一种运算量较小的二阶变系数线性非齐次微分方程通解的一般公式,并且将通解公式进行了推广,实例证明该方法是可行的.4.期
14、刊论文 敏志奇 一类变系数微分方程通解公式的求法 -高等数学研究2005,8(3)已知微分方程y“+a(x)y+b(x)yf(x)相对应的Riccati方程z+z2-a(x)z+b(x)一个特解,可以导得原二阶线性常系数微分方程的通解公式.5.期刊论文 汤光宋.瞿国林.TANG Guang-song.QU Guo-lin 含参数微分方程类型的可积判据 -井冈山师范学院学报（自然科学）2005,26(3)提出几类含参数微分方程,借助变量替换法、线性化法、降阶法、交换变量位置法,论证其可积性,给出可积的判据及通解的表达式.扩大微分方程的可积范围,提供其求解的方法及通解公式.6.期刊论文 胡博.王明
15、建.HU Bo.WANG Mingjian 可积Riccati微分方程的通解公式 -河南教育学院学报（自然科学版）2007,16(2)利用特征方程和初等变换,得到了可积Riccati微分方程的通解公式,并给出了它的应用.7.期刊论文 汤光荣.朱渭川 二阶二级微分方程的可积判据 -长沙大学学报2004,18(2)提出几类二阶二次微分方程,借用降价法、线性化法、首次积分法、积分法,将非线性微分方程化为线性微分方程,给出可积的判据及通解表达式,推广与扩充了二阶二次微分方程的可积类型.8.期刊论文 汤光宋.曹晓颖 高阶Lagrange-DAlembert型微分方程的求解定理 -邵阳学院学报2003,2
16、(5)提出几类高阶Lagrange-DAlembert(拉格朗日-达朗贝尔)型的微分方程,借助提供的引理,论证它的可积性,给出它们参数式通解的表达式.9.期刊论文 何万生.HE Wan-sheng Lagrange-DAlembert型微分方程的可积类型 -甘肃工业大学学报2001,27(1)对于两类高阶的Lagrange-DAlembert型微分方程，运用变量变换的方法，证得它们是可积的，并给出了它们参数式通解的表达式.10.期刊论文 何基好.秦勇飞.HE Ji-hao.QIN Yong-fei 一类二阶线性变系数微分方程通解的解法 -贵州大学学报（自然科学版）2009,26(6)研究了一类二阶线性变系数微分方程通解的解法.利用特解和常数变易法,给出一类二阶线性变系数微分方程的通解公式.本文链接：http:/
