1、数的整除,整除和除尽：,1202 = 60,1212 = 60.5,上面这两个除法算式的共同点是：商到了某一位时，计算就结束了，,人们把这种情况叫做“除尽”了；,上面这两个除法算式的不同点是：第一个算式的商是整数，第二个算式的商带有小数，,所以，第一个算式叫做能够“整除”；,第二个算式却只能够叫做“除尽”；,除此以外还有什么情况的除法呢？,1207 = 17.142857142857,10017 = 5.8823529411764,上面这两个算式叫做“除不尽”。,数的整除性的基本性质：【要记住】 1、如果两个【或者多个】数，都能够被某个数 a 整除，那么，它们的和或者差，也一定能够被 a 整除
2、；,例如：1004 = 25,644 = 16,(10064)4 = 41,(10064)4 = 9,2、如果两个【或者多个】数，其中有一个不能够被某个数 a 整除，那么，它们的和或者差，也一定不能够被 a 整除；,例如：1004 = 25,624 = 15.5,(10062)4 = 40.5,(10064)4 = 9.5,3、如果两个【或者多个】数，其中有两个【或者好几个】不能够被某个数 a 整除，那么，它们的和或者差的整除性，无法确定；,例如：1024 = 25.5,624 = 15.5,1644 = 41,404 = 10,例如：1034 = 25.75,654 = 16.25,(103
3、65)4 = 42,(10365)4 = 9.5,4、如果一个数能够被 a 整除，那么，这个数与另外一个或者几个数的乘积，也一定能够被 a 整除。,例如：1044 = 26,(1043)4 = 78,(10435)4 = 390,5、如果一个数能够被 a 整除，那么，这个数除以另外一个数所得的商，不一定能够被 a 整除。,例如：1004 = 25,(1002)4 = 12.5,(1005)4 = 5,总而言之：加减关系，都能整除，才能整除；相乘关系，一个能整除就能整除。,6、如果一个数能够被 a 整除，也能够被 b 整除，且 a、b 不能同时被除 1 以外的自然数整除【叫做“互素”】，那么这个
4、数就能够被 ab 的积整除。例如：24 既能够被 3 整除，也能够被 4 整除，且 3 和 4 互素，所以它就能够被 12 整除；24 虽然既能够被 2 整除，也能够被 8 整除，但是它不能够被 16 整除【因为 2 和 8 不互素，都能够被 2 整除】；,1、能够被 2 或者 5 整除的数的特征：,如果一个数的个位数是 0 、2、4、6、8 中的一个，这个数就能够被 2 整除。,如果一个数的个位数是 0 或者 5，这个数就能够被 5 整除。,为什么不需要考虑除个位数以外的高位数？,因为：比如 1238 = 1230 + 8，因为1230 肯定能够被 2 整除，所以根据前面的性质 1 ，可知，
5、只要个位数的 8 能够被 2 整除，1238就肯定能够被 2 整除。,因为：比如 1238 = 1230 + 8，因为1230 肯定能够被 5 整除，所以根据前面的性质 2 ，可知，只要个位数的 8 不能够被 5 整除，1238就肯定不能够被 5 整除。,2、能够被 3 或者 9 整除的数的特征：,如果一个数的各位数字之和是 3 的倍数，这个数就能够被 3 整除。【可以一直求数字之和，到成为一位数】,这是为什么？,如果一个数的各位数字之和是 9 的倍数，这个数就能够被 9 整除。【可以一直求数字之和，到成为一位数】,原理比较难懂，要注意理解并思考。,1、各位数字都是 9 的数，一定能够被 3
6、或者 9 整除；,2、个位数字是 0 的数，可以进行以下变形：,10 = (9 + 1)，70 = 7(9 + 1) = 79 + 7,100 = (99 + 1)，500 = 5(99 + 1) = 599 + 5,1000 = (999 + 1)，2000 = 2(999 + 1) = 2999 + 2,10000 = (9999 + 1)，40000 = 4(9999 + 1) = 49999 + 4,现在我们任意写一个数：,比如：4239,= 4000 + 200 + 30 + 9,= 4(999 + 1) + 2(99 + 1) + 3(9 + 1) + 9,= 4999 + 4 +
7、 299 + 2 + 39 + 3 + 9,= 4999 + 299 + 39 + 4 + 2 + 3 + 9,一定能够被 3 或者 9 整除,如果也能够被 3 或者 9 整除,则：,就也能够被 3 或者 9 整除,如果不能够被 3 或者 9 整除,就不能够被 3 或者 9 整除,各位数字之和！,练习：从0，2，5，7四个数字中任选三个，组成能同时被2，5，3整除的数，并将这些数从小到大进行排列。,要能同时被 2、5 整除，个位数只能是 0；,个位数是 0 的三位数可以是：250，520，270，720，570，750；,其中能被 3 整除的有：,从小到大排列：270， 570， 720，75
8、0；,练习：个位数是 5，且能被 9 整除的三位数共有多少个？,个位数是 5，且能被 9 整除，百位和十位的和应该是 4 或 13；,可以是 405、315、225、135；,也可以是 945、495、855、585、765、675；,一共 10 个。,练习：一些四位数，百位上的数字都是 3，十位上的数字都是 6，并且它们既能被 2 整除又能被 3 整除。在这样的四位数中，最大的和最小的各是多少？,9,9,1,2,3、能够被 4 或者 25 整除的数的特征：,如果一个数的末两位数【十位和个位】是 4 的倍数【包括00 】 ，这个数就能够被 4 整除。,这是为什么？,这个比较好懂。,1、因为 4
9、25 = 100，所以100的倍数一定能够被 4 和 25 整除；,2、所以一个数的百位以上【包括百位】的部分，一定能够被 4 和 25 整除；,如果一个数的末两位数【十位和个位】是 25 的倍数【包括00 】 ，这个数就能够被 25 整除。,3、所以一个数能否被 4 和 25 整除，就决定于这个数的末两位能否被 4 和 25 整除；,4、能够被 8 整除的数的特征：,如果一个数的末三位数【百位、十位和个位】是 8 的倍数【包括000 】 ，这个数就能够被 8 整除。,这个道理也比较好懂。,1、因为 8125 = 1000，所以1000的倍数一定能够被 8 整除；,2、所以一个数的千位【包括千
10、位】以上的部分，一定能够被 8 整除；,3、所以一个数能否被 8 整除，就决定于这个数的末三位能否被 8 整除；,要考察一个三位数能不能被 8 整除，可以把此数连续用 2 除 3 次，如果能整除 ，那么它就能够被 8 整除，否则，就 不能被 8 整除。因为：A8A(222)A222可以先只看个位数；不行再看十位数；再不行，再看百 位数。也可以用短除法：,312,2,156,2,78,2,39,*能够被 8 整除的部分三位数：【供查阅，不需要记住】813104； 814112； 815120； 816128； 817136； 818144； 819152； 820160； 821168； 822
11、176； 823184； 824192； 825200； 826208； 827216； 828224； 829232； 830240； 831248； 832256； 833264； 834272； 835280； 836288； 837296； 838304； 839312； 840320； 841328； 842336； 843344； 844352； 845360； 846368； 847376； 848384； 849392； 850400； 851408； 852416； 853424； 854432； 855440； 856448； 857456； 858464； 859472；
12、 860480；,5、能够被 7 整除的数的特征：,判断一个数能否被 7 整除，可以用“割减法” 。,下面举例介绍“割减法”：,比如：判断 6692 能否被 7 整除。,写出这个数： 6 6 9 2,从个位开始：,割掉末位数字,在它的前一位减去割去数字的 2 倍：,4,6 6 5,再割掉末位数字,在它的前一位减去割去数字的 2 倍：,1 0,5 6,到能够看出剩余数字能否被 7 整除时为止。,如果剩余数字能被 7 整除，则原来的数字也能被 7 整除。,如果剩余数字不能被 7 整除，则原来的数字也不能被 7 整除。,练习：判断下列各数能否被 7 整除,189,584,5166,2632,1321
13、6,这又是为什么呢？,让我们看一看“割减法”的实质：,6 6 9 2,4,6 6 5,1 0,5 6,6 6 9 2,4 2,6 6 5 0,1 0 5 0,5 6 0 0,= 221 = 237,= 5021 = 5037,原来，割掉末位数字，再在它的前一位减去割去数字的 2 倍，实际上就是从原数中减去了割掉数字的21倍。也就是说减去的这部分肯定是 7 的倍数。,所以剩余部分如果是 7 的倍数，则原数能够被 7 整除。,顺便说一句，如果割减以后，剩余部分是21的倍数， 说明原来的数可以被 7 整除，也可以被 21 整除，当然也可 以被 3 整除。,6、能够被 11 整除的数的特征：,判断一个
14、数能否被 11 整除，也可以用“割减法” 。,下面举例介绍“割减法”：,比如：判断 9416 能否被 11 整除。,写出这个数： 9 4 1 6,从个位开始：,割掉末位数字,在它的前一位减去割去的数字：,6,9 3 5,再割掉末位数字,在它的前一位减去割去的数字：,5,8 8,到能够看出剩余数字能否被 11 整除时为止。,如果剩余数字能被 11 整除，则原来的数字也能被 11 整除。,如果剩余数字不能被 11 整除，则原来的数字也不能被 11 整除。,可以看出，割减法的实质是减去所割去数字的 11 倍， 所以有以上结论。,判断一个数能否被 11 整除，还有一种“奇偶位差法” ：,比如：判断 9
15、416 能否被 11 整除。,写出这个数： 9 4 1 6,从个位开始，把个位、百位、万位等奇位数字加起来；,10,10,再把十位、千位、十万位等偶位数字加起来；,0,再把上面的两个和相减；,如果差是 11 的倍数【包括 0】，则原数能够被 11 整除；,练习：判断下列各数能否被 11 整除,198,584,9196,2633,13266,“奇偶位差法”的原理比较难懂，试试看吧：,1、先看一个事实：,911 不能整除；,9911 = 9 能整除；,99911 不能整除；,999911 = 909 能整除；,9999911 不能整除；,99999911 = 90909 能整除；,奇数个911 不
16、能整除；,偶数个911 能整除；,2、再看一个事实：,111 不能整除；,1111 = 1 能整除；,10111 不能整除；,100111 = 91 能整除；,1000111 不能整除；,10000111 = 9091 能整除；,奇数位11 不能整除；,偶数位11 能整除；,看看“奇偶位差法”的巧妙之处：,比如：判断 9416 能否被 11 整除。,9416 = 9000 + 400 + 10 + 6,= 9(10011) + 4(99 + 1) + 1(111) + 6,= 910019 + 499 + 4 + 1111 + 6,= 91001 + 499 + 111 9 + 41 + 6,
17、肯定是 11 的倍数,如果也是 11 的倍数,则原数肯定是 11 的倍数。,练习：用19九个数码组成能被11整除的没有重复数字的最大九位数。,如果不考虑能够被 11 整除，则最大的没有重复数字的九位数是987654321；,这个数的奇偶位差：(97531)(8642)5；,可见，987654321不能被11整除；,为了满足题意，我们尽量调整低位数字，只要使奇数位的数字和增加3 (偶数位的数字和自然就减少3) ，就可以了；,(97534)(8612)11；,答案为：987652413 。,7、能够被 13 整除的数的特征：,判断一个数能否被 13整除，可以用“割加法” 。,下面举例介绍“割加法”
18、：,比如：判断 22971 能否被 13 整除。,写出这个数： 2 2 9 7 1,从个位开始：,割掉末位数字,在它的前一位加上割去数字的 4 倍：,4,+,2 3 0 1,再割掉末位数字,4,+,2 3 4,在它的前一位加上割去数字的 4 倍：,再割掉末位数字,在它的前一位加上割去数字的 4 倍：,1 6,+,3 9,到能够看出剩余数字能否被 13 整除时为止。,如果剩余数字能被 13 整除，则原来的数字也能被 13 整除。,如果剩余数字不能被 13 整除，则原来的数字也不能被 13 整除。,练习：判断下列各数能否被 13 整除,76336 11102 11129 54883,这又是为什么呢
19、？让我们仔细观察一下“割加法”的过程：,写出这个数：2 2 9 7 1,4,+,2 3 0 1,4,+,2 3 4,1 6,+,3 9,这一步是从原数中减去 1 ；,这一步是再加上 40 ；,总结果是把原数39，成为23010 ；,这一步是从23010中减去 10 ；,这一步是再加上 400 ；,总结果是把23010390，成为23400 ；,这一步是从23400中减去 400 ；,这一步是再加上 16000 ；,总结果是把2340015600，成为39000 ；,这些数都能够被 13 整除：,最终和,加数 1,加数 2,加数 3,根据数的整除性性质 1 可以推出：如果各个加数与和都能够被 1
20、3 整除，则被加数就一定能够被 13 整除；如果和不能被 13 整除，则说明被加数也不能被 13 整除。,所以原数能够被 13 整除。,8、能够被 17 整除的数的特征：,判断一个数能否被 17 整除，也可以用“割减法” 。,下面举例介绍“割减法”：,比如：判断6630能否被 17 整除。,写出这个数： 6 6 3 0,从个位开始：,割掉末位数字,在它的前一位减去割去数字的 5 倍：,0,6 6 3,再割掉末位数字,在它的前一位减去割去数字的 5 倍：,1 5,5 1,到能够看出剩余数字能否被 17 整除时为止。,如果剩余数字能被 17 整除，则原来的数字也能被 17 整除。,如果剩余数字不能
21、被 17 整除，则原来的数字也不能被 17 整除。,为什么？,9、能够被 19 整除的数的特征：,判断一个数能否被 19整除，可以用“割加法” 。,下面举例介绍“割加法”：,比如：判断 12939 能否被 19 整除。,写出这个数： 1 2 9 3 9,从个位开始：,割掉末位数字,在它的前一位加上割去数字的 2 倍：,1 8,+,1 3 1 1,再割掉末位数字,2,+,1 3 3,在它的前一位加上割去数字的 2 倍：,再割掉末位数字,在它的前一位加上割去数字的2倍：,6,+,1 9,到能够看出剩余数字能否被 19 整除时为止。,如果剩余数字能被 19 整除，则原来的数字也能被 19 整除。,如
22、果剩余数字不能被 19 整除，则原来的数字也不能被 19 整除。,练习：判断下列各数能否被 19 整除,16644 12046 12104 11172,为什么？,“割尾法”判断数的整除性小结,“割尾法”判断数的整除性，都是利用了数的整除性性 质 1 ：“如果两个【或者多个】数，都能够被某个数 a 整除 那么，它们的和或者差，也一定能够被 a 整除。”具体方法是把原数加上或者减去一个已知能够被该除数 整除的一个数【是该除数的若干倍】，由于过程中尾位的 0 不写出，所以数字会越来越简单，直到能够看出最后的数字 能不能被该除数整除为止，得出结论。其中，割减法是把该除数扩大若干倍，成为 10a1 的
23、形式，方法就是去掉末位数，从剩下的数中再减去末位数的 a 倍【简称为割 1 减 a】；如果遇到过程中出现减数大于被 减数时，可以倒过来减。也可以得出负数，考虑其绝对值。,其中，割加法是把该除数扩大若干倍，成为 10a9 的 形式，方法就是去掉末位数，把剩下的数中再加上末位数的 (a1) 倍【简称为割 1 加 (a1) 】；,常用割加、割减法的小结,、 7： 割 1 减 2 ； 【7321201】割 1 加 5 ； 【7749501】 、 11：割 1 减 1 ； 【11111101】割 1 加 10 ；【119991001】 、 13：割 1 加 4 ； 【13339401】割 1 减 5 ；
24、 【13751 501】 、 17：割 1 减 5 ； 【17351501】割 1 加 12 ；【1771191201】 、 19：割 1 加 2 ； 【19119201】割 1 减 17 ；【1991711701】,割减是把除数扩大若干倍，变为几十 1 ，就减去几；,割加是把除数扩大若干倍，变为几十 9 ，就加上几1；,10、能够被 6 整除的数的特征：,如果一个数既能被2整除，又能被3整除，它就能够被6整除。,11、能够被 15 整除的数的特征：,如果一个数既能被3整除，又能被5整除，它就能够被15整除。,用上面的方法来判断：如果一个数既能被a整除，又能被b整除，它就能够被ab整除 的适用
25、条件是a和b必须是互素数。如 36 既能被2整除，又能被4整除，但是它不能够被8整除。如 63 既能被3整除，又能被7整除，它能就够被21整除。,练习： 1、已知有一个五位数 2x36y, 能够被 45 整除，这个数可能是多少？2、已知有一个七位数 62xy427, 能够被 99 整除，这个数可能是多少？,既能够被 5 整除 又能够被 9 整除,y = 0或者5,2x360 或者 2x365,x = 7或者2,27360 或者 22365,既能够被 11 整除 又能够被 9 整除,x + y = 6或者15,6224427,(7+4+x+6)(2+y+2) = 0或者11,y x = 2,无解,x = 2，y = 4,x、y 只能是一位数,3、在123的左右各添一个数码，使得到的五位数能被72整除。,2,既能够被 8 整除 又能够被 9 整除,829232；,8,1,结 束,
