1、分类讨论思想,2,思想方法概述,1.分类讨论思想是一种重要的数学思想方法.其基本思路是将一个较复杂的数学问题分解(或分割)成若干个基础性问题，通过对基础性问题的解答来实现解决原问题的思想策略.对问题实行分类与整合，分类标准等于增加一个已知条件，实现了有效增设，将大问题(或综合性问题)分解为小问题(或基础性问题)，优化解题思路，降低问题难度.,2.分类讨论的常见类型 (1)由数学概念引起的分类讨论.有的概念本身是分类的，如绝对值、直线斜率、指数函数、对数函数等. (2)由性质、定理、公式的限制引起的分类讨论.有的数学定理、公式、性质是分类给出的，在不同的条件下结论不一致，如等比数列的前n项和公式
2、、函数的单调性等.,(3)由数学运算要求引起的分类讨论.如除法运算中除数不为零，偶次方根为非负，对数真数与底数的要求，指数运算中底数的要求，不等式两边同乘以一个正数、负数，三角函数的定义域等. (4)由图形的不确定性引起的分类讨论.有的图形类型、位置需要分类：如角的终边所在的象限；点、线、面的位置关系等.,(5)由参数的变化引起的分类讨论.某些含有参数的问题，如含参数的方程、不等式，由于参数的取值不同会导致所得结果不同，或对于不同的参数值要运用不同的求解或证明方法. (6)由实际意义引起的讨论.此类问题在应用题中，特别是在解决排列、组合中的计数问题时常用.,3.分类讨论的原则 (1)不重不漏.
3、 (2)标准要统一，层次要分明. (3)能不分类的要尽量避免或尽量推迟，决不无原则地讨论.,4.解分类问题的步骤 (1)确定分类讨论的对象，即对哪个变量或参数进行分类讨论. (2)对所讨论的对象进行合理的分类. (3)逐类讨论，即对各类问题详细讨论，逐步解决. (4)归纳总结，将各类情况总结归纳.,在解答某些数学问题时，有时会遇到多种情况，需要对各种情况加以分类，并逐类求解，然后综合得解，这就是分类讨论法。分类讨论是一种逻辑方法，是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法。有关分类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性、综合性、探索性，能训练
4、人的思维条理性和概括性，所以在高考试题中占有重要的位置。 引起分类讨论的原因主要是以下几个方面： 问题所涉及到的数学概念是分类进行定义的。如|a|的定义分a0、a0、a2时分a0、a0和a0三种情况讨论。这称为含参型。另外，某些不确定的数量、不确定的图形的形状或位置、不确定的结论等，都主要通过分类讨论，保证其完整性，使之具有确定性。进行分类讨论时，我们要遵循的原则是：分类的对象是确定的，标准是统一的，不遗漏、不重复，科学地划分，分清主次，不越级讨论。其中最重要的一条是“不漏不重”。解答分类讨论问题时，我们的基本方法和步骤是：首先要确定讨论对象以及所讨论对象的全体的范围；其次确定分类标准，正确进
5、行合理分类，即标准统一、不漏不重、分类互斥（没有重复）；再对所分类逐步进行讨论，分级进行，获取阶段性结果；最后进行归纳小结，综合得出结论。,1.设全集U=R，集合A=x|1x4，B=x|2ax3-a （1）若a=-2，求BA，BUA； （2）若AB=A，求实数a的取值范围,试题解析 （1）利用已知条件求出A的补集，然后直接求解即可 （2）分类讨论B是否是空集，列出不等式组求解即可 本题考查集合的基本运算，补集以及并集的求法，考查分类讨论思想的应用.,2.已知二次函数f（x）满足f（x+1）-f（x）=2x（xR），且f（0）=1 （1）求f（x）的解析式； （2）若函数g（x）=f（x）-2t
6、x在区间-1，5上是单调函数，求实数t的取值范围； （3）若关于x的方程f（x）=x+m有区间（-1，2）上有唯一实数根，求实数m的取值范围（注：相等的实数根算一个）,4设函数f(x) 若f(a)f(a)，则实数a的取值范围是( )A(1,0)(0,1) B.(，1)(1，)C(1,0)(1，) D.(，1)(0,1),解析 若a0，则log2aloga，即2log2a0，所以a1； 若a0，则log(a)log2(a)，即2log2(a)0，所以0a1， 1a0. 所以实数a的取值范围是a1或1a0，即a(1,0)(1，),答案 C,log2x x0， log1/2(x) x0，,5. 设直
7、线l：(a1)xy2a0(aR)在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程,【分析】解题时注意对直线是否过原点进行分情况讨论，否则会漏解,6.已知直线l经过点P(4，3)且被圆(x1)2 (y2)225截得的弦长为8，求直线l的方程,【分析】解决本题需要先设出直线方程，解决问题时应分斜率存在与不存在两种情况进行讨论,8在ABC中，已知a5，b5，A30，解三角形,变式训练1,答案 C,(2)已知数列an的前n项和Snpn1(p是常数)，则数列an是( ) A.等差数列 B.等比数列 C.等差数列或等比数列 D.以上都不对,解析 Snpn1， a1p1，anSnSn1(p1)pn1(n2)， 当p1
8、且p0时，an是等比数列； 当p1时，an是等差数列； 当p0时，a11，an0(n2)，此时an既不是等差数列也不是等比数列. 答案 D,5.已知等差数列an的前3项和为6，前8项和为4. (1)求数列an的通项公式；,解 设数列an的公差为d，,故an3(n1)4n.,(2)设bn(4an)qn1 (q0，nN*)，求数列bn的前n项和Sn.,解 由(1)可得bnnqn1， 于是Sn1q02q13q2nqn1. 若q1，将上式两边同乘q，得 qSn1q12q2(n1)qn1nqn.,两式相减，得(q1)Snnqn1q1q2qn1,分类讨论思想的本质是“化整为零，积零为整”.用分类讨论的思维
9、策略解数学问题的操作过程：明确讨论的对象和动机确定分类的标准逐类进行讨论归纳综合结论检验分类是否完备(即分类对象彼此交集为空集，并集为全集).做到“确定对象的全体，明确分类的标准，分类不重复、不遗漏”的分析讨论.,本讲规律总结,常见的分类讨论问题有： (1)集合：注意集合中空集的讨论. (2)函数：对数函数或指数函数中的底数a，一般应分a1和01的讨论；等比数列中分公比q1和q1的讨论.,(4)三角函数：角的象限及函数值范围的讨论. (5)不等式：解不等式时含参数的讨论，基本不等式相等条件是否满足的讨论. (6)立体几何：点线面及图形位置关系的不确定性引起的讨论； (7)平面解析几何：直线点斜式中k分存在和不存在，直线截距式中分b0和b0的讨论；轨迹方程中含参数时曲线类型及形状的讨论.,(8)排列、组合、概率中的分类计数问题. (9)去绝对值时的讨论及分段函数的讨论等.,
