1、12309 年复试真题45610 年复试真题7811 年复试真题近世代数1.（25 分）简答题（1）给出一个 8 阶非交换群；（2）给出一个有单位元但无零因子的环；（3）给出一个有单位元也有零因子的环；（4）给出一个无单位元的环；（5）给出一个 4 元域，并给出其加法和乘法表；2.（25 分）设 是数域 上的 n 维线性空间， 表示 的所有线性变换的集合，VPVL表示 的所有可逆线性变换的集合。N（1）证明 关于线性变换的加法和乘法构成环；L（2）证明 关于线性变换的乘法不构成群；V（3）证明 关于线性变换的乘法构成群。N常微分方程求方程或方程组的解（每小题 10 分，共 30 分）1. ，其
2、中 为正常数；)1(Krxdt,1. ;0)523434dyxy2.求方程组 的标准基解矩阵 ，其中AdtxAtep210解答或证明（每小题 10 分，共 20 分）1.求 满足初始条件的 的解的存在区间；xtln10)1(y2.证明方程 的所有解均在 上有界。xetdt2012,实变函数1设 是 上一列 有限的可测函数，若对任意的 存在正整数 ，xfkE.ea ,0N使当 时，有 试证明：存在 上 有限的可测函数 ，Nmn,mnf E.eaxf使得 在 上依测度收敛于 。 （25 分）xfk x92设 和 是 上两个可测函数列，满足如下条件：xfngkE,21,nlimli xxffndgE
3、E试证明: ， （25 分）xfxfnli概率论设二维概率变量 的联合密度函数 ，YX,elsorxyyxp,0,1,（1）求边际密度函数 与 是否独立？,yPxXY（2）求 （25 分）.,21,EP1.设 为连续型随机变量 的分布函数，xF.xFY（1）求 的分布函数；Y（2）若 求其密度函数；,ln2YZ（3）设 是连续型随机变量 的 n 次观测值，则 服从自由度为 2nnX,1 XiiXF1l的 分布。 （25 分）2微分几何（每个大题 25 分，每小题 5 分，共 50 分）1、切线与固定方向成固定角的曲线称为一般螺线。1.证明：空间曲线是一般螺线的充要条件是主法线和一个固定方向垂直；2.证明：空间曲线是一般螺线的充要条件是副法线和一个固定方向成固定角；3.证明：空间曲线是一般螺线的充要条件是曲率与挠率是定值；4.设曲线 的副法向量为C1,cosin21t10求曲线 的单位切向量和主法向量；C5.证明曲线 是一般螺线。2、给定半径为 的球面0R,sin,icos,cs, Rr1.计算球面的第一基本形式； 2.计算球面的第二基本形式；3.证明球面上的测地线必为球面上的大圆；4.证明具有常高斯曲率 的曲面必与所给球面等距；21RK5.证明球极投影是球面到平面的一个保角变换。
