1、第2课时 椭圆方程及性质的应用,【题型示范】 类型一 直线与椭圆的位置关系 【典例1】 (1)若直线ykx1与焦点在x轴上的椭圆 总有公共 点，则m的取值范围为_ (2)判断直线l: 和椭圆2x2+3y2=6是否有公共点.,【解题探究】1.题(1)中直线y=kx+1是否恒过定点？若恒过定点，过哪个定点？当点在什么位置时，经过该点的直线总与椭圆有公共点？ 2.题(2)判断直线是否与椭圆有公共点，常用什么方法？ 【探究提示】1.恒过定点(0,1)，当点在椭圆上或在椭圆内部时，经过该点的直线与椭圆总有公共点. 2.判断直线与椭圆是否有公共点，往往利用判别式的符号进行判断.,【自主解答】(1)方法一:
2、由 消去y,整理得 (m+5k2)x2+10kx+5(1-m)=0, 所以=100k2-20(m+5k2)(1-m)=20m(5k2+m-1). 因为直线与椭圆总有公共点, 所以0对任意kR都成立. 因为m0,所以5k21-m恒成立,所以1-m0,即m1. 又因为椭圆的焦点在x轴上,所以0m5, 所以1m5.,方法二：因为直线ykx1过定点M(0,1)， 所以要使直线与该椭圆总有公共点，则点M(0,1)必在椭圆内或 椭圆上，由此得 解得1m5. 答案：1,5),(2)由 得即 = 因此直线与椭圆没有公共点.,【延伸探究】题(2)条件不变，问椭圆上是否存在一点，它到 直线l的距离最大？最大距离是
3、多少？ 【解析】因为直线l与椭圆2x2+3y2=6不相交，设与椭圆相切的 直线m平行于直线l，则直线m的方程为： 由方程组 消去y得: 即 由=0，得 或,当 时，直线m与椭圆的交点到直线l的距离最远，此时 m的方程为 直线m与直线l的距离 所以最大距离为,【方法技巧】直线与椭圆位置关系的判断方程,【变式训练】已知椭圆C： 一个顶点为A(0，2). (1)若将椭圆C绕点P(1，2)旋转180得到椭圆D，求椭圆D的方 程. (2)若椭圆C与直线y=kx+m(k0)相交于不同的M，N两点，且 |AM|=|AN|，求m的取值范围.,【解析】(1)由题意得，椭圆C的对称中心(0，0)关于点P(1，2)
4、 的对称点为(2，4)，且对称轴平行于坐标轴，长轴、短轴的长 度不变，故将椭圆C绕点P(1，2)旋转180得到椭圆D的方程为,(2)设M(x1,y1)，N(x2,y2). 所以|AM|=|AN|，所以A在线段MN的垂直平分线上， 把M(x1,y1),N(x2,y2)分别代入椭圆C： 得：,用减去得： 所以 再由垂直平分线的性质得所以 所以y1+y2=-2,所以x1+x2=-3k(y1+y2)=6k, 故MN的中点(3k,-1),把y=kx+m代入椭圆C： 得， (1+3k2)x2+6kmx+3m2-12=0, 所以x1+x2=6k= 所以m=-(1+3k2),所以-mx2+6kmx+3m2-1
5、2=0, 由题意知，判别式大于0，即36k2m2+4m(3m2-12)0, m(m-4)0,所以0m4,故m的取值范围为(0，4).,【补偿训练】已知以F1(-2，0)，F2(2，0)为焦点的椭圆与直 线 有且仅有一个交点，求椭圆的长轴长. 【解析】设椭圆长轴长为2a(且a2)， 则椭圆方程为由 得,因为直线与椭圆只有一个交点，所以=0，即192(a2-4)2- 16(a2-3)(16-a2)(a2-4)=0，解得a=0(舍去)，a=2(舍去)，所以长轴长,类型二 弦长及中点弦问题 【典例2】 (1)(2014衡水高二检测)椭圆4x2+9y2=144内一点P(3,2),过点P的弦恰好以P为中点
6、,那么这弦所在的直线方程为( ) A.3x+2y-12=0 B.2x+3y-12=0 C.4x+9y-144=0 D.9x+4y-144=0,(2)(2014济宁高二检测)已知椭圆C的对称轴为坐标轴，且短 轴长为4,离心率为 求椭圆C的方程； 设椭圆C的焦点在y轴上，斜率为1的直线l与C相交于A，B两 点，且 求直线l的方程.,【解题探究】1.题(1)求弦所在直线的方程，还需确定什么？ 如何利用中点这个条件？ 2.题(2)求弦长的一般思路是什么？你能得出弦长的公式吗？ 【探究提示】1.还需确定直线的斜率，可设出弦的两个端点坐 标，利用中点坐标公式，找它们之间的联系. 2.一般思路是联立直线与椭
7、圆的方程，消元得到关于x(或y)的 一元二次方程，由根与系数的关系得故弦长为,【自主解答】(1)选B.设弦的两个端点分别为P1(x1,y1), P2(x2,y2),弦所在直线的斜率为k,则 ,. -得：4(x1-x2)(x1+x2)+9(y1-y2)(y1+y2)=0, 又 因此可得：4(x1-x2)6+9(y1-y2)4=0, 所以 故弦所在直线方程为 即2x+3y-12=0,选B.,(2)设椭圆C的长半轴长为a(a0),短半轴长为b(b0), 则2b=4,由 解得a=4,b=2. 因为椭圆C的对称轴为坐标轴， 所以椭圆C的方程为 或,设直线l的方程为y=x+m,A(x1,y1),B(x2,
8、y2), 由方程组 消去y,得5x2+2mx+m2-16=0, 由题意，得=(2m)2-20(m2-16)0, 且 因为|AB|= =,所以 解得m=2, 验证知0成立， 所以直线l的方程为x-y+2=0或x-y-2=0.,【方法技巧】 1.直线与椭圆相交弦的弦长问题 直线与椭圆相交有关弦的问题,主要思路是联立直线和椭圆的方程,得到一元二次方程,然后借助一元二次方程的有关知识解决,有时运用弦长公式,解题时应注意以下几点: (1)当弦的两端点的坐标易求时,可直接求出交点坐标,再用两点间距离公式求弦长. (2)当弦的两端点的坐标不易求时,可用弦长公式. (3)如果直线方程涉及斜率,要注意斜率不存在
9、的情况.,2.解决椭圆中点弦问题的三种方法 (1)根与系数的关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决.,(2)点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，将端点坐标 分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关 系，具体如下： 已知A(x1,y1),B(x2,y2)是椭圆 (ab0)上的两个不同的点，M(x0,y0)是线段AB的中点，则,由-，得 变形得即 (3)共线法：利用中点坐标公式，如果弦的中点为P(x0,y0)， 设其一交点为A(x，y)，则另一交点为B(2x0-x，2y0-y)， 则 两式作差即得所求直线方程.,
10、【变式训练】直线y=x+1被椭圆 所截得的弦的中点 坐标是( )【解析】选C.由 消去y,得3x2+4x-2=0,设弦的两端点坐标为(x1,y1),(x2,y2), 中点坐标为(x中，y中)， 则x1+x2= 所以x中= 从而y中=x中+1= 所以中点坐标为,【补偿训练】椭圆x2+4y2=16被直线 截得的弦长为 _. 【解析】由 消去y并化简得x2+2x-6=0. 设直线与椭圆的交点为M(x1,y1),N(x2,y2), 则x1+x2=-2,x1x2=-6. 所以弦长 = 答案：,类型三 与椭圆有关的综合问题 【典例3】 (1)椭圆 (ab0)与直线x+y=1交于P，Q两点，且 OPOQ，其
11、中O为坐标原点，则 =_.,(2)(2014成都高二检测)已知椭圆 (ab0)的离心 率为 短轴的一个端点到右焦点的距离为 直线l: y=kx+m交椭圆于不同的两点A，B. 求椭圆的方程； 若坐标原点O到直线l的距离为 求AOB面积的最大值.,【解题探究】1.题(1)中一般将条件OPOQ转化为什么？ 2.题(2)中求AOB面积的最大值，关键是求什么？ 【探究提示】1.条件OPOQ，一般转化为向量 来处 理. 2.关键是求|AB|的最大值.,【自主解答】(1)设P(x1,y1)，Q(x2，y2)， 由OPOQ x1x2+y1y2=0. 因为y1=1-x1,y2=1-x2,代入上式得： 2x1x2
12、-(x1+x2)+1=0 (*) 又将y=1-x代入 (a2+b2)x2-2a2x+a2(1-b2)=0，因为 0，所以x1+x2= x1x2= 代入(*)化简得答案：2,(2)由 所以 b=1, 所以椭圆的方程为: 由已知 所以 联立l:y=kx+m和 消去y,整理可得： (1+3k2)x2+6kmx+3m2-3=0, 所以=(6km)2-4(1+3k2)(3m2-3)0,设A(x1,y1),B(x2,y2), 则 所以|AB|2=(1+k2)(x1-x2)2= = = (k0),当且仅当 时取等号， 验证知 满足题意， 显然k=0时，|AB|2=34. 所以(SAOB)max=,【方法技巧
13、】解椭圆综合问题的常用技巧椭圆是圆锥曲线中重要的一种曲线，它可以同其他章节知识结合考查，如不等式、三角函数以及平面向量等.解决这类问题时要注意方程思想、函数思想及转化的思想，其中利用方程中根与系数的关系构造方程或函数是常用的技巧.,【变式训练】(2014安徽高考)设F1,F2分别是椭圆E:(ab0)的左、右焦点,过点F1的直线交椭圆E于A, B两点,|AF1|=3|BF1|. (1)若|AB|=4,ABF2的周长为16,求|AF2|. (2)若cosAF2B= ,求椭圆E的离心率.,【解题指南】(1)利用椭圆的定义求解. (2)设|BF1|=k,用a,k表示|AF2|,|BF2|,利用余弦定理
14、解ABF2得出等腰RtAF1F2,从而得到a,c的关系式.,【解析】(1)由|AF1|=3|BF1|,|AB|=4, 得|AF1|=3,|BF1|=1, 因为ABF2的周长为16, 所以由椭圆定义可得4a=16,|AF1|+|AF2|=2a=8, 故|AF2|=2a-|AF1|=8-3=5.,(2)设|BF1|=k,则k0,且|AF1|=3k,|AB|=4k, 由椭圆定义可得|AF2|=2a-3k,|BF2|=2a-k, 在ABF2中,由余弦定理可得 |AB|2=|AF2|2+|BF2|2-2|AF2|BF2|cosAF2B, 即(4k)2=(2a-3k)2+(2a-k)2- (2a-3k)(
15、2a-k), 化简可得(a+k)(a-3k)=0,而a+k0, 故a=3k,于是有|AF2|=3k=|AF1|,|BF2|=5k,因此|BF2|2=|AF2|2+|AB|2F1AF2A, 故AF1F2为等腰直角三角形, 从而c=,【补偿训练】已知椭圆G： (ab0)的离心率为 右焦点为 斜率为1的直线l与椭圆G交于A，B两点，以 AB为底边作等腰三角形，顶点为P(-3,2). (1)求椭圆G的方程. (2)求PAB的面积.,【解析】(1)由已知得 解得 又b2=a2-c2=4, 所以椭圆G的方程为 (2)设直线l的方程为y=x+m， 由 得4x2+6mx+3m2-12=0 ,设A，B的坐标分别
16、为(x1,y1),(x2,y2)(x1x2), AB的中点为E(x0,y0), 则 因为AB是等腰PAB的底边，所以PEAB. 所以PE的斜率 解得m=2. 此时方程为4x2+12x=0, 解得x1=-3,x2=0,所以y1=-1,y2=2.,所以 此时，点P(-3,2)到直线AB：x-y+2=0的距离所以PAB的面积,【拓展类型】椭圆中的最值问题 【备选例题】(1)斜率为1的直线l与椭圆 相交于A，B 两点，则|AB|的最大值为_. (2)(2012辽宁高考)如图，动圆C1:x2+y2 =t2,1t3，与椭圆C2: 相交于 A，B，C，D四点，点A1,A2分别为C2的左、 右顶点.,当t为何
17、值时，矩形ABCD的面积取得最大值？并求出其最大面积; 求直线AA1与直线A2B交点M的轨迹方程.,【解析】(1)方法一：设直线l的方程为y=x+t, 由 消去y得 整理，得5x2+8tx+4(t2-1)=0. 因为=64t2-80(t2-1)0,所以,设直线与椭圆交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点， 则 所以|AB|= = 当t=0时，|AB|为最大，即|AB|max=,方法二：根据椭圆的对称性，当直线斜率固定时，直线过原点 时截椭圆所得弦长最长，将y=x代入 得交点坐标为和 故 答案：,(2)设A(x0,y0)(-3x00)，则矩形ABCD的面积S=4|x0y0|. 由 得 从而
18、当 时，Smax=6. 从而t= 时，矩形ABCD的面积最大，最大面积为6.,由A(x0,y0),B(x0,-y0),A1(-3,0),A2(3,0)知直线AA1的方程为 直线A2B的方程为 由得 又点A(x0,y0)在椭圆C上，故 将代入得 (x-3,y0). 因此点M的轨迹方程为 (x-3,y0).,【方法技巧】解决与椭圆有关的最值问题的三种方法 (1)定义法：利用定义转化为几何问题处理. (2)数形结合法：利用数与形的结合，挖掘几何特征，进而求解. (3)函数法：探求函数模型，转化为函数的最值问题来处理，注意椭圆的范围.,【规范解答】椭圆与平面向量的综合问题 【典例】(12分)(2013
19、天津高考) 设椭圆 (ab0) 的左焦点为F,离心率为 过点F且与x轴垂直的直线被椭圆 截得的线段长为 (1)求椭圆的方程. (2)设A,B分别为椭圆的左、右顶点,过点F且斜率为k的直线与 椭圆交于C,D两点.若 求k的值.,【审题】抓信息,找思路,【解题】明步骤,得高分,【点题】警误区,促提升 失分点1:解题时,若求不出直线与椭圆交点的纵坐标,即得不出处,则会导致求不出椭圆方程而本例不得分. 失分点2:若在处化简整理结果时错误,则会导致下面运算全部错误,本例最多能得6分. 失分点3:若在处向量的运算不能转化为坐标间关系,则得不出关于k的等量关系而失34分.,【悟题】提措施,导方向 1.加强运
20、算能力的培养 椭圆的综合问题,一般涉及的运算量较大,因此在平时学习中,要多注重运算能力的培养,防止因运算错误而失分,如本例(1)(2)问求解时,都涉及较大的运算量.,2.向量关系的应用 在解析几何中，向量的运算常通过坐标的运算来实现，对向量 相等、向量的数量积、共线向量的坐标表示要熟练掌握，如本 例 是建立关于k的方程的关键.,【类题试解】(2013山东高考)在平面直角坐标系xOy中，已 知椭圆C的中心在原点O，焦点在x轴上，短轴长为2，离心率为 (1)求椭圆C的方程. (2)A,B为椭圆C上满足AOB的面积为 的任意两点，E为线 段AB的中点，射线OE交椭圆C于点P，设 求实数t的值.,【解
21、析】(1)设椭圆C的方程为 (ab0)，由题意知 解得 因此椭圆C的方程为,(2)当ABx轴时，设A(x0,y0),B(x0,y0)， 由 得 或 由 =t(x0,0)=(tx0,0),得P(tx0,0)， 又P在椭圆上，所以 所以 或 所以t=2或 (舍去负值).,当AB不垂直于x轴时，设AB：y=kx+m，显然m0，代入椭圆方 程得(1+2k2)x2+4kmx+2(m21)=0. (*) 由三角形面积公式知， |xAyBxByA|= |xA(kxB+m) xB(kxA+m)|= |m|xAxB|= 所以，|xAxB|= (xA+xB)24xAxB= 即,整理得， 又 所以，即 将其代入椭圆方程得 整理可得， 1+2k2=m2t2, ,联立，消去1+2k2，约分掉m2，移项整理得，3t416t2+16 =0， 解之可得，t2=4或 均能使(*)式的0，所以t=2或 (舍 去负值). 综上，t=2或,
