1、1第十单元 空间几何体教材复习课 “空间几何体”相关基础知识一课过空间几何体的结构特征过双基1简单旋转体的结构特征(1)圆柱可以由矩形绕其任一边旋转得到；(2)圆锥可以由直角三角形绕其直角边旋转得到；(3)圆台可以由直角梯形绕直角腰或等腰梯形绕上下底中点连线旋转得到，也可由平行于圆锥底面的平面截圆锥得到；(4)球可以由半圆或圆绕直径旋转得到2简单多面体的结构特征(1)棱柱的侧棱都平行且相等，上下底面是全等的多边形；(2)棱锥的底面是任意多边形，侧面是有一个公共点的三角形；(3)棱台可由平行于棱锥底面的平面截棱锥得到，其上下底面是相似多边形小 题 速 通 1关于空间几何体的结构特征，下列说法中不
2、正确的是( )A棱柱的侧棱长都相等B棱锥的侧棱长都相等C三棱台的上、下底面是相似三角形D有的棱台的侧棱长都相等解析：选 B 根据棱锥的结构特征知，棱锥的侧棱长不一定都相等2下列说法中正确的是( )A各个面都是三角形的几何体是三棱锥B以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥C棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则该棱锥可能是六棱锥D圆锥的顶点与底面圆周上的任一点的连线都是母线解析：选 D 当一个几何体由具有相同的底面且顶点在底面两侧的两个三棱锥构成时，尽管各面都是三角形，但它不是三棱锥，故 A错误；若三角形不是直角三角形或是直角三角形但旋转轴不是直角边所在直线
3、，所得几何体就不是圆锥，故 B错误；若六棱锥的所有棱都相等，则底面多边形是正六边形，由几何图形知，若以正六边形为底面，则棱长必然要大于底面边长，故 C错误选 D.2清易错1认识棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥、圆台的结构特征时，易忽视定义，可借助于几何模型强化对空间几何体的结构特征的认识2台体可以看成是由锥体截得的，但一定强调截面与底面平行1已知正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 1，点 E， F分别是棱 D1C1， B1C1的中点，过E， F作一平面 ，使得平面 平面 AB1D1，则平面 截正方体的表面所得平面图形为( )A三角形 B四边形C五边形 D六边形解析：选 D 如图所示，平面 是
4、平面 EFGHJK，截面是六边形，故选 D.2下列几何体是棱台的是_(填序号)解析：都不是由棱锥截成的，不符合棱台的定义，故不满足题意中的截面不平行于底面，不符合棱台的定义，故不满足题意符合棱台的定义，故填.答案：直观图与三视图过双基1直观图(1)画法：常用斜二测画法(2)规则：原图形中 x轴、 y轴、 z轴两两垂直，直观图中， x轴、 y轴的夹角为 45(或135)， z轴与 x轴和 y轴所在平面垂直原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴平行于 x轴和 z轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于 y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半2三视图(1)几何体的三视图包括正视图、侧视图
5、、俯视图，分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线提醒 正视图也称主视图，侧视图也称左视图3(2)三视图的画法基本要求：长对正，高平齐，宽相等画法规则：正侧一样高，正俯一样长，侧俯一样宽；看不到的线画虚线小 题 速 通 1用一个平行于水平面的平面去截球，得到如图所示的几何体，则它的俯视图是( )解析：选 B D 选项为正视图或侧视图，俯视图中显然应有一个被遮挡的圆，所以内圆是虚线，故选 B.2如图所示，等腰 A B C是 ABC的直观图，那么 ABC是( )A等腰三角形 B直角三角形C等腰直角三角形 D钝角三角形解析：选 B 由题图知 A C y轴， A B x轴，由斜二测
6、画法知，在 ABC中， AC y轴， AB x轴， AC AB.又因为 A C A B， AC2 AB AB， ABC是直角三角形3现有编号为的三个三棱锥(底面水平放置)，俯视图分别为图 1、图 2、图3，则至少存在一个侧面与此底面互相垂直的三棱锥的编号是( )A BC D解析：选 B 还原出空间几何体，编号为的三棱锥的直观图如图(1)三棱锥 PABC所示，平面 PAC平面 ABC，平面 PBC平面 ABC，满足题意；编号为的三棱锥的直观图如图(2)三棱锥 PABC所示，平面 PBC平面 ABC，满足题意；编号为的三棱锥的直观图如图(3)三棱锥 PABC所示，不存在侧面与底面互相垂直，即满足题
7、意的编号是.44某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长的棱长为( )A. B25 2C3 D3 2解析：选 C 依题意，可知该几何体为如图所示三棱锥 DABC，最长的棱 AD 3，故选 C.1 22 2清易错1画三视图时，能看见的线和棱用实线表示，不能看见的线和棱用虚线表示2一物体放置的位置不同，所画的三视图可能不同1.沿一个正方体三个面的对角线截得的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为( )解析：选 B 给几何体的各顶点标上字母，如图 1.A， E在侧投影面上的投影重合，C， G在侧投影面上的投影重合，几何体在侧投影面上的投影及把侧投影面展平后的情形如图 2所示，故正确选项为 B.52已知
8、以下三视图中有三个表示同一个三棱锥，则不是该三棱锥的三视图的是( )解析：选 D 对于选项 A，相应的几何体是如图所示的三棱锥 ABCD，其中AB平面 BCD，且 BC BD， AB3， BC1， BD2；对于选项 B，相应的几何体可视为将选项 A中的几何体按逆时针方向旋转 90而得到的几何体；对于选项C，相应的几何体可视为将选项 A中的几何体按逆时针方向旋转 180而得到的几何体综上所述，选 D.空间几何体的表面积与体积过双基空间几何体的表面积与体积公式名称几何体 表面积 体积柱体(棱柱和圆柱)S 表面积 S 侧 2 S 底 V Sh锥体(棱锥和圆锥)S 表面积 S 侧 S 底 V Sh13
9、台体(棱台和圆台)S 表面积 S 侧 S 上 S 下 V (S 上 S 下 )13 S上 S下h球 S4 R2 V R343小 题 速 通 1已知某几何体的三视图的侧视图是一个正三角形，如图所示，则该几何体的体积等于( )6A12 B163 3C20 D323 3解析：选 C 由三视图画出该几何体的直观图如图所示， V 棱柱 42 312 ， V 棱锥 4(63)2 8 ，所以组合12 3 3 13 3 3体的体积 V V 棱柱 V 棱锥 20 .32(2017浙江高考)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm 3)是( )A. 1 B. 32 2C. 1 D. 3
10、32 32解析：选 A 由几何体的三视图可得，该几何体是一个底面半径为 1，高为 3的圆锥的一半与一个底面为直角边长为 的等腰直角三角形，高为 3的三棱锥的组合体，故该几何2体的体积 V 1 23 3 1.13 12 13 12 2 2 23若圆锥的侧面积是底面积的 2倍，则其母线与轴所成角的大小是_解析：设圆锥的母线与轴所成角为 ，由题意得 Rl2 R2，即 l2 R，所以 sin ，即 .即母线与轴所成角的大小是 .Rl 12 6 6答案：64如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积为_7解析：由三视图可知该几何体左侧是一个半圆柱，底面半径为 1，高为 2；右侧是一个棱长为 2的正方体，
11、则该几何体的表面积为 S52 2121 2203.答案：203清易错1由三视图计算几何体的表面积与体积时，由于几何体的还原不准确及几何体的结构特征认识不准易导致失误2求组合体的表面积时，组合体的衔接部分的面积问题易出错3易混侧面积与表面积的概念1 九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高二丈，问：积几何？”其意思为：“今有底面为矩形的屋脊状的楔体，下底面宽 3丈，长 4丈，上棱长 2丈，高 2丈，问：它的体积是多少？”已知 1丈为 10尺，该楔体的三视图如图所示，其中图中小正方体的边长为 1丈，则该楔体的体积为( )A10 00
12、0 立方尺 B11 000 立方尺C12 000 立方尺 D13 000 立方尺解析：选 A 该楔形的直观图如图中的几何体 ABCDEF所示，取AB的中点 G， CD的中点 H，连接 FG， GH， HF，则该几何体可看作四棱锥 FBCHG与三棱柱 ADEGHF的组合体三棱柱 ADEGHF可以通过割补法得到一个高为 EF2，底面积为 S 323 的一个直棱柱，故该楔形的体积12V32 23210(立方丈)10 000(立方尺)132如图是一个几何体的三视图，其中正视图和侧视图都是一个两底长分别为 2和 4，腰长为 4的等腰梯形，则该几何体的侧面积是( )8A6 B12C18 D24解析：选 B
13、 由三视图可得该几何体的直观图为圆台，其上底半径为 2，下底半径为1，母线长为 4，所以该几何体的侧面积为 (21)412.3若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的表面积是_解析：由三视图可知，该几何体由一个正四棱柱和一个棱台组成，其表面积S34222242 246 (26)227216 .212 2答案：7216 2一、选择题1如图所示，若 P为正方体 ABCDA1B1C1D1中 AC1与 BD1的交点，则 PAC在该正方体各个面上的射影可能是( )A BC D解析：选 C 由题意，得 PAC在底面 ABCD， A1B1C1D1上的射影如图所示， PAC在其余四个侧面上的射影如图所示，故选
14、 C.92.用斜二测画法画出的某平面图形的直观图如图，边 AB平行于 y轴， BC， AD平行于x轴已知四边形 ABCD的面积为 2 cm2，则原平面图形的面积为( )2A4 cm 2 B4 cm22C8 cm 2 D8 cm22解析：选 C 依题意可知 BAD45，则原平面图形为直角梯形，上下底面的长与BC， AD相等，高为梯形 ABCD的高的 2 倍，所以原平面图形的面积为 8 cm2.23在九章算术中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马；将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑若三棱锥 PABC为鳖臑， PA平面ABC， PA AB2， AC4，三棱锥 PABC的四个
15、顶点都在球 O的球面上，则球 O的表面积为( )A8 B12C20 D24解析：选 C 如图，由题意得 PC为球 O的直径，而PC 2 ，即球 O的半径 R ，所以球 O的表面积22 42 5 5S4 R220.选 C.4(2017北京高考)某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为( )A3 B22 3C2 D22解析：选 B 在正方体中还原该四棱锥如图所示，从图中易得最长的棱为AC1 2 .AC2 CC21 22 22 22 35(2017北京高考)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为( )10A60 B30C20 D10解析：选 D 如图，把三棱锥 ABCD放到长方体中
16、，长方体的长、宽、高分别为 5,3,4， BCD为直角三角形，直角边分别为 5和 3，三棱锥 ABCD的高为 4，故该三棱锥的体积 V 53410.13 126已知正四棱锥的顶点都在同一球面上若该棱锥的高为 4，底面边长为 2，则该球的表面积为( )A. B16814C9 D.274解析：选 A 如图，设球心为 O，半径为 r，则在 Rt AOF中，(4 r)2( )2 r2，解得 r ，所以该球的表面积为2944 r24 2 .(94) 8147(2018南阳联考)已知一个三棱锥的俯视图与侧视图如图所示，俯视图是边长为 2的正三角形，侧视图是有一条直角边为 2的直角三角形，则该三棱锥的正视图可能为( )解析：选 C 由已知条件得直观图如图所示， PC底面 ABC，正视图是直角三角形，中间的线是看不见的线 PA形成的投影，应为虚线，故选 C.8已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图中圆的直径为 4，该几何体的体积为V1，直径为 4的球的体积为 V2，则 V1 V2( )
