1、1第七单元 平面向量教材复习课 “平面向量”相关基础知识一课过 对 应 学 生 用 书 P59向量的有关概念过双基名称 定义 备注向量既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的长度(或称 )模平面向量是自由向量零向量 长度为 0的向量；其方向是任意的 记作 0单位向量 长度等于 1个单位的向量 非零向量 a的单位向量为 a|a|平行向量方向相同或相反的非零向量(平行向量又叫做共线向量)0与任一向量平行或共线相等向量 长度相等且方向相同的向量两向量只有相等或不等，不能比较大小相反向量 长度相等且方向相反的向量 0的相反向量为 0小 题 速 通 1若向量 a与 b不相等，则 a与 b一定( )A有
2、不相等的模 B不共线C不可能都是零向量 D不可能都是单位向量解析：选 C 若 a与 b都是零向量，则 ab，故选项 C正确2关于平面向量，下列说法正确的是( )A零向量是唯一没有方向的向量B平面内的单位向量是唯一的C方向相反的向量是共线向量，共线向量不一定是方向相反的向量D共线向量就是相等向量解析：选 C 对于 A，零向量是有方向的，其方向是任意的，故 A不正确；对于 B，单位向量的模为 1，其方向可以是任意方向，故 B不正确；对于 C，方向相反的向量一定是共线向量，共线向量不一定是方向相反的向量，故 C正确；对于 D，由共线向量和相等向量的定义可知 D不正确，故选 C.3下列命题中，正确的个
3、数是( )单位向量都相等；模相等的两个平行向量是相等向量；2若 a，b 满足|a|b|且 a与 b同向，则 ab；若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合A0 B1C2 D3解析：选 A 对于，单位向量的大小相等，但方向不一定相同，故错误；对于，模相等的两个平行向量是相等向量或相反向量，故错误；对于，向量是有方向的量，不能比较大小，故错误；对于，向量是可以平移的矢量，当两个向量相等时，它们的起点和终点不一定相同，故错误综上，正确的命题个数是 0.清易错1对于平行向量易忽视两点：(1)零向量与任一向量平行(2)两平行向量有向线段所在的直线平行或重合，易忽视重合这一条件2单位向量的定义中只规定了
4、长度没有方向限制1若 mn ， nk ，则向量 m与向量 k( )A共线 B不共线C共线且同向 D不一定共线解析：选 D 可举特例，当 n0 时，满足 mn ， nk ，故 A、B、C 选项都不正确，故D正确2设 a，b 都是非零向量，下列四个选项中，一定能使 0 成立的是( )a|a| b|b|Aa2b Ba bCa b Dab13解析：选 C “ 0，且 a，b 都是非零向量”等价于“非零向量 a，b 共线且a|a| b|b|反向” ，故答案为 C.向量共线定理及平面向量基本定理过双基1向量共线定理向量 b与 a(a0)共线的充要条件是有且只有一个实数 ，使得 b a.2平面向量的基本定理
5、如果 e1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量 a，有且只有一对实数 1， 2，使 a 1e1 2e2.3其中，不共线的向量 e1，e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底小 题 速 通 1已知 a，b 是不共线的向量， ab， a b， ， R，则AB AC A， B， C三点共线的充要条件为( )A 2 B 1C 1 D 1解析：选 D A， B， C三点共线， ，AB AC 设 m (m0)，即 ab ma m b，AB AC Error! 1.2(2018南宁模拟)已知 e1，e 2是不共线向量，a me12e 2，b ne1e 2，且mn0，若 a b
6、，则 的值为( )mnA B.12 12C2 D2解析：选 C a b，a b，即 me12e 2 (ne1e 2)，则Error!故 2.mn3已知点 M是 ABC的边 BC的中点，点 E在边 AC上，且 2 ，则 ( )EC AE EM A. B. 12AC 13AB 12AC 16AB C. D. 16AC 12AB 16AC 32AB 解析：选 C 如图， 2 ， ( )EC AE EM EC CM 23AC 12CB 23AC 12 AB AC 16 .AC 12AB 清易错1在向量共线的重要条件中易忽视“a0” ，否则 可能不存在，也可能有无数个2平面向量基本定理指出：平面内任何一
7、个非零向量都可以表示为沿两个不共线的方向分离的两个非零向量的和，并且一旦分解方向确定后，这种分解是唯一的这一点是易4忽视的1(2018大连双基测试)给出下列四个命题：两个具有公共终点的向量一定是共线向量；两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小； a0( 为实数)，则 必为零； ， 为实数，若 a b，则 a与 b共线其中假命题的个数是( )A1 B2C3 D4解析：选 C 错误，两向量是否共线是要看其方向而不是起点或终点；正确，因为向量既有大小，又有方向，故向量不能比较大小，但向量的模均为实数，故可以比较大小；错误，当 a0 时，不论 为何值，都有 a0；错误，当 0 时， a b，此时
8、a与 b可以是任意向量2.如图，在 OAB中， P为线段 AB上的一点， x y ，且 2 ，则( )OP OA OB BP PA A x ， y 23 13B x ， y13 23C x ， y 14 34D x ， y34 14解析：选 A 由题意知 ，又 2 ，所以OP OB BP BP PA ( ) ，所以 x ， y .OP OB 23BA OB 23 OA OB 23OA 13OB 23 13平面向量的运算过双基1向量的线性运算向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律加法求两个向量和的运算三角形 法则平行四边形法则(1)交换律：abba；(2)结合律：(ab)ca(bc)5减法求
9、 a与 b的相反向量b 的和的运算叫做 a与 b的差三角形法则aba(b)数乘求实数 与向量 a的积的运算(1)| a| |a|；(2)当 0 时， a的方向与 a的方向相同；当 0时， a的方向与 a的方向相反；当 0 时， a0 ( a)( )a；( )a a a； (ab) a b2平面向量的坐标运算(1)平面向量的正交分解把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解(2)平面向量的坐标运算向量加法、减法、数乘向量及向量的模设 a( x1， y1)，b( x2， y2)，则ab( x1 x2， y1 y2)，ab( x1 x2， y1 y2)， a( x 1， y 1)，|a|
10、 .x21 y21向量坐标的求法设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则 ( x2 x1， y2 y1)，| |AB AB . x2 x1 2 y2 y1 2(3)平面向量共线的坐标表示设 a( x1， y1)，b( x2， y2)，则 a bx1y2 x2y10.小 题 速 通 1(2018嘉兴测试)在 ABC中，已知 M是 BC边的中点，设 a， b，则CB CA ( )AM A. ab B. ab12 12Ca b Da b12 126解析：选 A b a.AM AC CM CA 12CB 122设 D是线段 BC的中点，且 4 ，则( )AB AC AE A 2 B 4AD A
11、E AD AE C 2 D 4AD EA AD EA 解析：选 A D是线段 BC的中点， 2 ，AB AC AD 4 ，AB AC AE 2 .AD AE 3已知 AC为平行四边形 ABCD的一条对角线， (2,4)， (1,3)，则AB AC ( )AD A(1，1) B(3,7)C(1,1) D(2,4)解析：选 A 由题意可得 (1,3)(2,4)(1，1)AD BC AC AB 4已知 A(2,3)， B(4，3)，且 3 ，则点 P的坐标为_AP AB 解析：设 P(x， y)， A(2,3)， B(4，3)，且 3 ，AP AB ( x2， y3)3(2，6)(6，18)，Err
12、or! 解得 x8， y15，点 P的坐标为(8，15)答案：(8，15)5已知向量 a(1,3)，b(2,1)，c(3,2)若向量 c与向量 kab 共线，则实数 k_.解析： kab k(1,3)(2,1)( k2,3 k1)，因为向量 c与向量 kab 共线，所以 2(k2)3(3 k1)0，解得 k1.答案：16设 O在 ABC的内部， D为 AB的中点，且 2 0，则 ABC的面积OA OB OC 与 AOC的面积的比值为_7解析： D为 AB的中点， 2 ，OA OB OD 2 0，OA OB OC ，OC OD O是 CD的中点， S AOC S AOD S AOB S ABC.
13、12 14答案：4清易错1向量坐标不是向量的终点坐标，与向量的始点、终点有关系2数乘向量仍为向量，只是模与方向发生变化，易误认为数乘向量为实数3若 a( x1， y1)，b( x2， y2)，则 a b的充要条件不能表示成 ，因为x1x2 y1y2x2， y2有可能等于 0，所以应表示为 x1y2 x2y10.1若向量 (1,2)， (3,4)，则 ( )AB BC AC A(2,2) B(2，2)C(4,6) D(4，6)解析：选 C (4,6)AC AB BC 2已知向量 a，b 不共线，若 a2b， 4ab， 5a3b，则四AB BC CD 边形 ABCD是( )A梯形 B平行四边形C矩
14、形 D菱形解析：选 A 因为 a2b， 4ab， 5a3b，AB BC CD 所以 8a2b，AD AB BC CD 所以 2 ，即直线 AD与 BC平行，AD BC 而向量 与 不共线，即直线 AB与 CD不平行，AB CD 故四边形 ABCD是梯形3(2018河北联考)已知向量 a(1,2)，b(2， m)，若 ab，则 2a3b( )A(5，10) B(2，4)C(3，6) D(4，8)解析：选 D 由 ab，得 m40，即 m4，所以 2a3b2(1,2)3(2，4)8(4，8)平面向量的数量积过双基1向量的夹角定义 图示 范围 共线与垂直已知两个非零向量 a和 b，作 a，OA b，
15、则 AOBOB 就是 a与 b的夹角设 是 a与 b的夹角，则 的取值范围是 0 180 0或 180ab ， 90ab2平面向量的数量积定义设两个非零向量 a，b 的夹角为 ，则数量|a|b|cos 叫做 a与 b的数量积，记作 ab投影|a|cos 叫做向量 a在 b方向上的投影，|b|cos 叫做向量 b在 a方向上的投影几何意义数量积 ab等于 a的长度|a|与 b在 a的方向上的投影|b|cos 的乘积3平面向量数量积的运算律(1)abb a.(2)( a)b (ab)a ( b)(3)(ab)ca cb c.4平面向量数量积的有关结论已知非零向量 a( x1， y1)，b( x2，
16、 y2)， a，b.结论 几何表示 坐标表示模 |a| aa |a| x21 y21夹角 cos ab|a|b| cos x1x2 y1y2x21 y21x2 y2ab 的充要条件 ab0 x1x2 y1y20|ab|与 |a|b|的关系 |ab| |a|b|x1x2 y1y2| x21 y21 x2 y2小 题 速 通 1设向量 e1，e 2是两个互相垂直的单位向量，且 a2e 1e 2，be 2，则|a2b|( )9A2 B.2 5C2 D4解析：选 B 向量 e1，e 2是两个互相垂直的单位向量，|e 1|1，|e 2|1，e 1e20，a2e 1e 2，be 2，a2b2e 1e 2，
17、|a2b| 24e 4e 1e2e 5，21 2|a2b| .52(2018云南检测)设向量 a(1,2)，b( m,1)，如果向量 a2b 与 2ab 平行，那么 a与 b的数量积等于( )A B72 12C. D.32 52解析：选 D 因为 a2b(12 m,4)，2ab(2 m,3)，由题意得 3(12 m)4(2 m)0，则 m ，12所以 ab1 21 .(12) 523已知|a|1，|b|2，a(ab)3，则 a与 b的夹角为( )A. B.3 6C. D2解析：选 D 设 a与 b的夹角为 ，由题意知|a|1，|b|2，a(ab)a 2ab1 212cos 3，cos 1.又
18、0，a 与 b的夹角为 .4已知向量 a，b 满足|a|2，|b|1，a 与 b的夹角为 ，则|a2b|_.23解析：(a2b) 2a 24ab4b 24421 44，|a2b|2.(12)答案：25(2018衡水中学检测)在直角三角形 ABC中， C90， AB2， AC1，若 AD 3210，则 _.AB CD CB 解析： ，AD 32AB ( ) CD CB CA AD CB CB 2，CB 32CB 又 C90， AB2， AC1， CB ， .3 CD CB 92答案：926(2018东北三校联考)已知正方形 ABCD的边长为2， 2 ， ( )，则 _.DE EC DF 12 D
19、C DB BE DF 解析：如图，以 B为原点， BC所在直线为 x轴， AB所在直线为y轴建立平面直角坐标系则 B(0,0)， E ， D(2,2)(2，23)由 ( )，知 F为 BC的中点，所以 F(1,0)，故DF 12 DC DB ， (1，2)，BE (2， 23) DF 2 .BE DF 43 103答案：103清易错10 与实数 0的区别：0a00，a(a)00，a000.2ab0 不能推出 a0 或 b0，因为 ab0 时，有可能 ab.3在运用向量夹角时，注意其取值范围为0，1有下列说法：向量 b在向量 a方向上的投影是向量；若 ab0，则 a和 b的夹角为锐角，若 ab0，则 a和 b的夹角为钝角；(ab)ca(bc)；若 ab0，则 a0 或 b0.其中正确的说法个数为( )
