1、- 1 -2017-2018 学年度高二下学期期中考试数学试题 A（理科）满分：150 分 考试时间：120 分钟第 I 卷（满分 60 分）1、选择题（本大题共 12 个小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知 ，则复数 Z=（ ）iZ2A. B. C. D.i3131i31i312.以下式子正确的个数是（ ）. 2)(x xsin)(co 2ln)(x 0ln)(gxA.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个3.若曲线 在点 处的切线的倾斜角为 ，则 等于（ ）baf23)( )1(,f 43aA.2 B.-2 C.3 D.-14.已知 XB
2、（n，p） ，EX=8，DX=1.6，则 n 与 p 的值分别是（ ）A100，0.08 B20，0.4 C10，0.2 D10，0.85. 有一段“三段论”推理是这样的：对于可导函数 ，如果 ，那么 是)(xf0)(xf0x函数 的极值点，因为函数 在 处的导数值 ，所以 是函数)(xf 3)(xf0的极值点.以上推理中（ ）3A. 大前提错误 B.小前提错误 C.推理形式错误 D.结论正确6. 已知 得分布列为-1 0 1p21316则在下列式中： ； ； .正确的个数是（ ）)(E27)(D3)0(PA.0 B.1 C.2 D.37.中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外” ，其中的“
3、筹”原意是指孙子算经中记载的算筹，古代是用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放形式有纵横两种形式，如图，当表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数- 2 -位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示，以此类推例如 6613 用算筹表示就是，则 8335 用算筹可表示为（ B ）A BC D8.已知函数 f（x）= +cx+bc 在 x=1 处有极值 ，则 b=（ ）A1 B1 C1 或1 D1 或 39.用数学归纳法证明： 时，由 不等式成)2(12nnn )2(k立，推证 时，左边增加的代
4、数式是（ ）knA. B. C. D.)1(212k21k1k10.若 在（1，+）上是单调减函数，则 b 的范围是（ ）)ln()(2xbxfA1，+） B （1，+）C （，1）D （，111.一个篮球运动员投篮一次得 3 分的概率为 ，得 2 分的概率为 ，不得分的概率为 ， （ac） ，已知他投篮一次得分的数学期望是 2，则 的最小值为（ ）)1,0(,cba b31A. B. C. D.32814612.已知函数 在 R 上可导，且其导函数为 .若 满足：)(xf )(xff， ，则下列判断一定正确的是（ ）0)1(x)2(2exf- 3 -A. B. C. D.)0(1f)0(2e
5、ff)0()3(fef)0()4(fef第 II 卷（满分 90 分）2、填空题（本大题共 4 个小题，每小题 5 分）13.已知 ， 是虚数单位，若 ，则 = Rba,i biia2ia14. dx)21(015.椭圆 =1（ab0）在其上一点 P（x 0，y 0）处的切线方程为 =1类比上述结论，双曲线 =1（a0，b0）在其上一点 P（x 0，y 0）处的切线方程为 16.已知直线 与曲线 有三个不同的交点 ，l 1312xy ),(),(21yxBA)(3C且 ,则 .ACB1)(iii3、解答题（本大题共 6 个小题，满分 70 分，解答时写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤）17
6、.（本小题满分 10 分）已知函数 且 .cxaxf23)( )32(f（1）求 的值；a（2）求函数 的单调区间)(xf18.（本小题满分 12 分）设数列 的前 n 项和为 Sn，且满足 （nN *） anna1（）计算 的值；4321,a（）猜想 的表达式，并用数学归纳法证明你的结论.n19.（本小题满分 12 分）随着网络营销和电子商务的兴起，人们的购物方式更具多样化，某调查机构随机抽取 10 名购物者进行采访，5 名男性购物者中有 3 名倾向于选择网购，2 名倾向于选择实体店，5 名女性购物者中有 2 名倾向于选择网购，3 名倾向于选择实体店（）若从这 10 名购物者中随机抽取 2
7、名，其中男、女各一名，求至少 1 名倾向于选择实体店的概率；（）若从这 10 名购物者中随机抽取 3 名，设 X 表示抽到倾向于选择网购的男性购物者的人数，求随机变量 X 的分布列及数学期望- 4 -20.（本小题满分 12 分）设函数 2ln)(xxf（1）求函数 的单调递增区间；)(xf（2）若关于 的方程 在区间1，3内恰有两个相异实根，求实数02axf的取值范围a21（本小题满分 12 分）2017 年 3 月智能共享单车项目正式登陆某市，两种车型（“小绿车” 、 “小黄车” ）采用分时段计费的方式， “小绿车”每 30 分钟收费 0.5 元（不足 30 分钟的部分按 30 分钟计算）
8、 ；“小黄车”每 30 分钟收费 1 元（不足 30 分钟的部分按 30 分钟计算） 有甲、乙、丙三人相互独立的到租车点租车骑行（各租一车一次） 设甲、乙、丙不超过 30 分钟还车的概率分别为 ， ， ，三人租车时间都不会超过 60 分钟甲、乙均租用“小绿车” ，丙租用“小黄车” （I）求甲、乙两人所付的费用之和等于丙所付的费用的概率；（）设甲、乙、丙三人所付的费用之和为随机变量 ，求 的分布列和数学期望22.已知函数 2()lnfxax（）若函数 在其定义域上是增函数，求实数 的取值范围；a（）当 时，求出 的极值；3a()fx（）在（）的条件下，若 在 内恒成立，试确定 的21(36)x0
9、,1xa取值范围2017-2018 学年度高二下学期期中考试数学试题 A（理科）答案一、选择题1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12A B A D A C B A C D D C2、填空题13. 14. 15. 16. 7514120byax3、解答题17.（本小题 10 分）- 5 -解：（1）f（x）=3x 2+2ax1，f（ ）= + a1=a，解得：a=1；（2）由（1）得：f（x）=x 3x 2x+c，f（x）=3x 22x1=（3x+1） （x1） ，令 f（x）0，解得：x1 或 x ，令 f（x）0，解得： x1，函数 f（x）的单调增区间为（， ） ， （1，+
10、） ，单调减区间为（ ，1） 18.（本小题 12 分） （1） ，所以 ， ，所以 ， ，所以 ， ，所以 。 （2）猜想： 。 下面用数学归纳法证明：当 时， ，猜想显然成立。 假设当 （ ）时猜想成立，即 。那么当 时， ，即 。 又 ，所以 ，从而，即当 时，猜想也成立。故由和，可知猜想成立。 19.（本小题 12 分）解：（）设“至少 1 名倾向于选择实体店”为事件 A，则 表示事件“随机抽取 2 名， （其中男、女各一名）都选择网购” ，则 P（A）=1P =1 = （）X 的取值为 0，1，2，3P（X=k）= ，- 6 -P（X=0）= ，P（X=1）= ，P（X=2）= ，P
11、（X=3）= E（X）=0 +1 +2 +3 = 20.（本小题 12 分）解：（1）f（x）= ，x0，x（0，1）时，f（x）0，所以函数 f（x）的单调递增区间是（0，1（2）将 f（x）代人方程 f（x）+x 2x2a=0 得 2lnxx2a=0，令 g（x）=2lnxx2a 则 g（x）= ；x1，2）时，g（x）0；x（2，3时，g（x）0；g（2）是 g（x）的极大值，也是 g（x）在1，3上的最大值；关于 x 的方程 f（x）+x 2x2a=0 在区间1，3内恰有两个相异实根；函数 g（x）在区间1，3内有两个零点；则有：g（2）0，g（1）0，g（3）0，所以有：解得：2ln
12、35a2ln24，所以 a 的取值范围是（2ln35，2ln24） 21.解：（I）由题意得，甲乙丙在 30 分钟以上且不超过 60 分钟还车的概率分别为记甲、乙两人所付的费用之和等于丙所付的费用为事件 A则，答：甲、乙两人所付的费用之和等于丙所付的费用的概率为 ，（） 可能取值有 2，2.5，3，3.5，4， ； ； ，甲、乙、丙三人所付的租车费用之和 的分布列为： 2 2.5 3 3.5 4- 7 -P 22.（本小题 12 分）解：（1）函数 的定义域为 ，则2()lnfxax(0,)因为函数 在 内是增函数，所以()2(0)fxax0,)在 内恒成立，所以 在 内恒成立，因为当 ,12x(,)时， ，当且仅当 ，即 时，等号成立所以实数 的取值0x12x12xa范围为 (,（2）当 时， 所以当 时，3a1(1)()23(0)xfxx1(0,)2x为增函数；当 时， 为减函数；当 时， 为增函数；所以()fx,f ,f在 处取得极大值 ， 在 处取得极大值12 5()lnln2244()x1()3f（3）设 ，则222211ln(36)l3)gxaxxax（由（1）可知 ，且 ，1()（ a(,(0,1故 所以 在 内为增函数因为 ，即 ，0x(x0,max)ga所以 的取值范围是 a2,
