1、第四节直接证明与间接证明,总纲目录,教材研读,1.直接证明,考点突破,2.间接证明,考点二分析法的应用,考点一综合法的应用,考点三反证法的应用,1.直接证明,教材研读,2.间接证明间接证明是不同于直接证明的又一类证明方法,反证法是一种常用的间接证明方法.(1)反证法的定义:假设原命题不成立(即在原命题的条件下,结论不成立),经过正确的推理,最后得出矛盾,因此说明假设错误,从而证明原命题成立的证明方法.(2)用反证法证明的一般步骤:(i)反设假设命题的结论不成立;(ii)归谬根据假设进行推理,直到推出矛盾为止;(iii)结论断言假设不成立,从而肯定原命题的结论成立.,1.命题“对任意角,cos4
2、-sin4=cos 2”的证明:“cos4-sin4=(cos2-sin2)(cos2+sin2)=cos2-sin2=cos 2”过程应用了()A.分析法B.综合法C.综合法、分析法综合使用D.间接证明法,答案B因为证明过程是“从左往右”,即由条件结论,故选B.,B,2.用分析法证明时出现:欲使AB,只需C0,ab0,b0,a0,bcn+1,考点突破,解析(1)f(x)的定义域为(0,+),当=0时, f(x)=ln x-x+1.则f (x)=-1,令f (x)=0,解得x=1.当00,f(x)在(0,1)上是增函数;当x1时, f (x)0,且x1).,当00.当x1时, f(x)=ln
3、x+(xln x-x+1)=ln x-x0,0.综上可知,0.,方法技巧用综合法证题是从已知条件出发,逐步推向结论,综合法的适用范围:(1)定义明确的问题,如判定函数的单调性、奇偶性;(2)已知条件明确,并且容易通过分析和应用条件逐步逼近结论的题型,在使用综合法证明时,易出现的错误是因果关系不明确,逻辑表达混乱.,1-1设f(x)=ax2+bx+c(a0),若函数f(x+1)与f(x)的图象关于y轴对称,求证:f为偶函数.证明由函数f(x+1)与f(x)的图象关于y轴对称,可知f(x+1)=f(-x).将x换成x-代入上式可得f=f,即f=f,由偶函数的定义可知f为偶函数.,典例2已知函数f(
4、x)=3x-2x,求证:对于任意的x1,x2R,均有 f.证明要证明 f,即证明-2,因此只要证明-(x1+x2)-(x1+x2),即证明,因此只要证明,由于x1,x2R,所以0,0,由基本不等式知成立,故原结论成立.,考点二分析法的应用,方法技巧(1)分析法采用逆向思维,当已知条件与结论之间的联系不够明显、直接,或证明过程中所需要用的知识不太明确、具体时,往往采用分析法,特别是含有根号、绝对值的等式或不等式,从正面不易推导时,常考虑用分析法.(2)应用分析法的关键在于需保证分析过程的每一步都是可逆的,它的常用书面表达形式为“要证只需要证”或“”.注意用分析法证明时,一定要严格按照格式书写.,
5、2-1已知m0,a,bR,求证:.证明m0,1+m0,要证原不等式成立,只需证明(a+mb)2(1+m)(a2+mb2),即证m(a2-2ab+b2)0,即证(a-b)20,而(a-b)20显然成立,故原不等式得证.,典例3设an是公比为q的等比数列.(1)推导an的前n项和公式;(2)设q1,求证:数列an+1不是等比数列.,考点三反证法的应用,q0,q2-2q+1=0,q=1,这与已知矛盾.假设不成立,故an+1不是等比数列.,易错警示用反证法证明不等式要把握三点:(1)必须先否定结论,即肯定结论的反面;(2)必须从结论的反面出发进行推理,即应把结论的反面作为条件,且必须依据这一条件进行推
6、证;(3)推导出的矛盾可能多种多样,有的与已知条件矛盾,有的与假设矛盾,有的与基本事实矛盾等,且推导出的矛盾必须是明显的.,3-1已知数列an的前n项和为Sn,且满足an+Sn=2.(1)求数列an的通项公式;(2)求证:数列an中不存在三项按原来顺序成等差数列.,解析(1)n=1时,a1+S1=2a1=2,则a1=1.又an+Sn=2,所以an+1+Sn+1=2,两式相减得an+1=an,所以an是首项为1,公比为的等比数列,所以an=.(2)证明:假设数列an中存在三项按原来顺序成等差数列,记为ap+1,aq+1,ar+1(pqr,且p,q,rN*),则2=+,所以22r-q=2r-p+1.(*),又因为pqr,p,q,rN*,所以r-q,r-pN*,所以(*)式左边是偶数,右边是奇数,等式不成立.所以假设不成立,原命题得证.,
