1、第四节二次函数与幂函数,总纲目录,教材研读,1.二次函数,考点突破,2.幂函数,考点二二次函数的图象与性质,考点一幂函数的图象与性质,考点三二次函数在闭区间上的最值,1.二次函数(1)二次函数的定义形如f(x)=ax2+bx+c(a0)的函数叫做二次函数.(2)二次函数的三种表示形式(i)一般式: f(x)=ax2+bx+c(a0);(ii)顶点式: f(x)=a(x-m)2+n(a0);(iii)两根式: f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a0).,教材研读,(3)二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象和性质,2.幂函数(1)幂函数的定义形如y=x的函数称为幂函数,其中x是自变量,为
2、常数.(2)五种常见幂函数的图象,(i)当0时,幂函数y=x有下列性质:a.图象都通过点(0,0)、(1,1).b.在第一象限内,函数值随x的增大而增大.(ii)当cbaB.abcdC.dcabD.abdc,答案B根据幂函数的性质及图象知选B.,B,3.已知函数f(x)=ax2+x+5的图象在x轴上方,则a的取值范围是()A.B.C.D.,答案C函数f(x)=ax2+x+5的图象在x轴上方,解得a.,C,4.已知f(x)=4x2-mx+5在2,+)上是增函数,则实数m的取值范围是.,答案(-,16,解析因为函数f(x)=4x2-mx+5的单调递增区间为,所以2,即m16.,(-,16,5.(2
3、017北京石景山一模)已知函数f(x)=若f(a)f(2-a),则a的取值范围是.,答案a1,解析当x0时, f(x)=x2+x,易知f(x)在0,+)上单调递增;当xf(2-a),a2-a,解得a1.,a1,考点突破,答案(1)C(2)h(x)g(x)f(x),解析(1)设幂函数的解析式为f(x)=xa,幂函数y=f(x)的图象过点(4,2),2=4a,解得a=.f(x)=,其定义域为0,+),且是增函数,当0g(x)f(x).,规律总结(1)作幂函数的图象要联系函数的定义域、值域、单调性、奇偶性等,对于一些幂函数只要作出它在第一象限内的图象,然后根据它的奇偶性可作出幂函数在定义域内完整的图
4、象.(2)利用幂函数的性质可处理比较大小问题,此类问题要根据待比较的数的特征,合理引入幂函数,利用幂函数的单调性进行比较.,1-1已知函数f(x)=(m2-m-1)是幂函数,且x(0,+)时, f(x)是增函数,则m的值为()A.-1B.2C.-1或2D.3,答案B函数f(x)=(m2-m-1)是幂函数,m2-m-1=1,解得m=-1或m=2.又函数f(x)在(0,+)上为增函数,m2+m-30,m=2.,B,1-2设a=,b=,c=,则a,b,c的大小关系是.,答案acb,解析y=(x0)为增函数,ac.y=(xR)为减函数,b.acb.,acb,1-3若(a+1(3-2a,则实数a的取值范
5、围是.,答案,解析易知函数y=的定义域为0,+),函数在定义域内为增函数,所以解得-1a0时, f(x)=ax2-2x的图象的开口方向向上,且对称轴为直线x=.当1,即a1时, f(x)在上递减,在上递增,f(x)min=f=-=-.当1,即0a1时, f(x)在0,1上递减.f(x)min=f(1)=a-2.,当a0时, f(x)=ax2-2x的图象的开口方向向下,且对称轴x=2x+m恒成立,求实数m的取值范围.,解析(1)由f(0)=1得c=1.f(x)=ax2+bx+1.又f(x+1)-f(x)=2x,a(x+1)2+b(x+1)+1-(ax2+bx+1)=2x,即2ax+a+b=2x,
6、因此, f(x)=x2-x+1.,(2)f(x)2x+m等价于x2-x+12x+m,即x2-3x+1-m0,令g(x)=x2-3x+1-m,要使g(x)=x2-3x+1-m0在-1,1上恒成立,只需使函数g(x)=x2-3x+1-m在-1,1上的最小值大于0即可.,g(x)=x2-3x+1-m在-1,1上单调递减,g(x)min=g(1)=-m-1,由-m-10得m0恒成立,则实数a的取值范围是()A.(0,2)B.(2,+)C.(0,+)D.(0,4),A,答案A二次函数的图象开口向上,对称轴为x=.x-1,1时, f(x)=x2-ax+0恒成立,即f(x)min0.当-1,即a-2时, f(x)min=f(-1)=1+a+0,解得a-,与a-2矛盾;当1,即a2时, f(x)min=f(1)=1-a+0,解得a0,解得0a2.综上可得,实数a的取值范围是(0,2),选A.,3-2(2017北京,11,5分)已知x0,y0,且x+y=1,则x2+y2的取值范围是.答案,解析解法一:由题意知,y=1-x,y0,x0,0x1,
