1、，l一、代数定义标杆命题揭秘极点辍线求解切线问题江志杰对于二次曲线C：Ax2+Bzy+Cy2+Dx+Ey+F一0，称点P(x。，Y。)与直线Z：Az。z+B学+cy。y+D半+E学+F一0是它的一对极点和极线也称点P为直线l关于曲线C的极点，直线z为点P关于曲线C的极线特别地，对于圆锥曲线C：Az2+Cy2+Dx+Ey+F一0，称点P(z。，Y。)与直线Z：Az。z+c弘y+D x了-PJCo+E芝专业+F=o是它的一对极点和极线特别地，对于椭圆c：x了z T矿yZ一1(口6o)，或双曲线CxA口。一葶一1(口o，6o)，点T(t，0)与直线t：z一竺_是它的一对极点和极线；焦点F(c，o)与
2、准线厂：z一专也是它的一对极点和极线特别地，对于抛物线C：Y22px，点T(，0)与直线t：z=一t是它的一对极点和极线；焦点F(号，o)与准线flx一-号也是它的一对极点和极线二、几何性质1若点P和直线Z是圆锥曲线C的一对极点和极线，则当极点P在曲线C上时，极线Z就是曲线C在点P处的切线证明 由Ax2+Cy2+Dx+Ey-kF=0两边对z求导，得2Ax+2Cyy7+D+Ey7-o，帅，=一秀糍设极点P(z。，Y。)，故曲线C在点P处的切线方程为Y-yo一一群(,Tg-7C0)，即Ax。xq-Cy。y+D号+E号一Azjc媚一D警一E警_0因为点P在曲线C上，必有Az：+Cy3+Dxo+Eyo
3、+F一0，即一AxjCy5一Dxo+Eyo+F代入得曲线C在点P处的切线方程为Ax ox+C弘y+D兰专旦+E芝专盟+Fo所以极线Z：Axox+Cy。y+D 3c-iJ-一xo+E掣+F=0就是曲线C在点P处的切线由此可得：矿峰一徽(1)过圆X2+y2+Dx+Ey+F一0(D2+E24F0)(或(z一口)2+(y-b)2一r2)上的点P(z。，Y。)的切线(P为切点)方程为w+yoy+D半+E学+Fo(或(zo-a)(x-a)+(y。-b)(了一6)=r2)；(2)过椭圆与+鲁一1(口6o)上的点 a。0。P(x。，yo)的切线(P为切点)方程为等+yoy1b 2 1(3)过双曲线事一等一1(
4、口o，b0)A2的点P(z。，Y。)的切线(P为切点)方程为墅兰一Yo_2：1n2 b 2 1(4)过抛物线Y22px上的点P(z。，Y。)的切线(P为切点)方程为YoYP(z卜zo)2若点P和直线Z是圆锥曲线C的一对极点和极线，则当极点P在曲线C外时，过极点P可作曲线C的两条切线，设切点分别为M，N，则极线Z就是直线MN证明 设点M(x1，Y1)，N(x：，y2)，由性质1，可得直线PM，PN的方程分别为Azlz+cyly+D三专旦+E芝专盟+F=o，Ax2x+cy2y+D半+E半+F_0设极点P(x。，yo)，故有Axl z。+Cyl y。+D三生翌+E业卫+F一0，Azzz。+Cyzyo
5、+D三止垒+E出丝+Fo说明极线Z：Az。z+Cyoy+D x下一-xo+E掣+F一0过M，N两点，所以极线z对极点和极线，则当极点P在曲线C内时，过极点P作任一直线，与曲线C交于M，N两点，则极线z过曲线C在M，N两点处的两切线的交点Q证明 设点Q(xQ，yQ)，由性质2，可得直线MN的方程为AxQx+c了Qy+D牮+E掣+F=o设极点P(x。，y。)，又直线MN过点P，故有Axox o+Cyoy o+D牮+E塑弓盟+F一0说明极线z：Az。z+Cy。y+D x下Jr-xo+E半+Fo过点Q4若点P和直线2是圆锥曲线C的一对极点和极线，过极线l上、曲线C外的点Q可作曲线C的两条切线，设切点分
6、别为M，N，则极点P在直线MN上证明 设点Q(xQ，YQ)，由性质2，可得直线MN的方程为AzQx+CyQy+D x-i卜XQ+E掣+F=o设极点P(z。，Y。)，又点Q在极线Z：Ax。x+Cy。y+D x丁-。f-xo+E学+Fo上，故有Az。zQ+Cy。yQ+D XQF“-Xo+E半+Fo说明点P在直线MN匕(编者按 实际上，设过极点P的直线与曲线C交于A，B两点，那么极线Z即为极点P关于线段AB的“调和点”Q的轨迹)，三、应用举例就是直线MN3若点P和直线z是圆锥曲线C的一 彭例1(2011年福建理科卷)已知直线Z：yz+m，mR(1)若以点M(2，0)为圆心的圆与直线Z相切于在Y轴上的
7、点P，求该圆的方程；(2)若直线Z关于z轴对称的直线为Z 7，问直线Z7与抛物线C：z2=4y是否相切?解析 (1)设圆M的方程为(x-2)2+y2一，2，则过点P(o，m)的切线方程为(02)(x-2)-+-myr2，即一2x+my+4一r20，对照过点P(O，m)的直线l的方程Yz+m，故T-2一号一导净m一2，r一2在故所求圆M的方程为(x-2)2+y28(2)设直线z 7与抛物线C：z24y相切于点Xo，孚)，则直线z7的方程为z。z一2(y+等)，即z。z一2y-萼一o，又直线z7的一z；方程为了一mx-m，故早一2一_2，解得z。一一2，m一1所以当m一1时，直线z 7与抛物线C相
8、切；当m1时，直线Z 7与抛物线C不相切参例2 (2011年安徽理科卷)设A0，定点A(1，1)，动点B(盘，口2)，点Q满足丽一AQ-X，经过点Q与z轴垂直的直线交抛物线yzz于点C，点P满足茹=A本，求点P的轨迹方程解析 设P(z，y)，由点A(1，1)，B(以，口2)和茄一A砑，得点Q(吲考，等普)由经过点Q与z轴垂直的直线交抛物线Yz2于点c，得点cra+瓦2，(爿专)2)由茹口4-A一愚得厂器；+A所以2x=y+l, Iy一盯反思 由结果可看出，动点P的轨迹恰好是定点A关于抛物线Yz2的极线推广 设AO，A，B分别是抛物线z 22py上的定点和动点，点Q满足B砭一AQ万，经过点Q与z
9、轴垂直的直线交抛物线z 22py于点C，点P满足QeA CF，则点P的轨迹方程是z。zP(y+y。)，其中z。，Y。分别是点A的横纵、坐标羹黧瑟霾簿翼辫1(2012年福建理科卷)如图1，椭圆E：7Xz T矿yZ一1(口6o)的左焦点为F，右焦点为F：，离心率P一过F，的直线交椭圆于A，B两点，且ABF：的周长为8(1)求椭圆E的方程；(2)设动直线z：y一是z+m与椭圆E有且只有一个公共点P，且与直线z一4相交于点Q试探究：在坐标平面内是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M?若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由 1 ) ， 氰一态妖j J图12(2012年安徽理科卷)如图2，F1，
10、F2分别是椭圆c：与+西y一1(n6o)的左、右口。 D。焦点，过点F。作z轴的垂线，交椭圆C的上半部分于点P，过点F：作直线PF：的垂线，交椭圆C的右准线于点Q(1)若点Q的坐标为(4，4)，求椭圆C的方程；(2)证明：直线PQ与椭圆C只有一个交点47标杆命题揭秘V Q乐 霸 乡一图23(2011年四川理科卷)如图3，椭圆有两顶点A(一1，0)，B(1，0)，过其焦点F(0，1)的直线Z与椭圆交于C，D两点，并与z轴交于点P，直线AC与直线BD交于点Q庄 瓤一爿弋 一，图3(1)当CD=号厄时，求z的方程；(2)当点P异于点A，B时，求证：0P0砭为定值4(2007年江苏卷)在平面直角坐标系
11、xOy中，过y轴正方向上一点C(o，f)任作一直线，与抛物线yz2相交于A，B两点，一条垂直于37轴的直线，分别与线段AB和直线：y一一c交于点P，Q，(1)若蕊磅一2，求c的值；(2)若P为线段AB的中点，求证：QA为此抛物线的切线；(3)试问(2)的逆命题是否成立?说明理由：一7翅霪萋羹薹耋1(1)百x2 1_了y21；(2)存在定点M(1，。)2(1)Tx2 7了y2=1；(2)略3(1)y=厂k+1；(2)定值为1，证明略4(1)2；(2)证明略；(3)成立，证明略(上接第16页)题上栽跟头，在考试时丢了不该丢的分，造成难以弥补的损失因此，做练习题时应从自己的实际情况出发，循序渐进，以
12、基础题、中档题为主，适当做一些综合性较强的题以提高能力和思维品质2贵在精选在可能的情况下多做些练习是好的，但贵在精首先，选题应结合高考的要求，不做偏题怪题；其次，做题后的回顾反思是非常重要的，做完题要尽可能想一下自己的思路，看看能不能一题多解，举一反三，并注意合理运算，优化解题过程；第三，对于重点问题要舍得花费时间；第四，在复习过程中也要不断做一些应用题，来提高阅读理解的能力和解决实际问题的能力3重视改错有的同学只重视解题的数量而忽视质量，表现在做题后不问对错，尤其老师已经批阅过的也视而不见错了就应该改，不仅要改还要记录下来，分析造成错。髓-锄r(误的原因，尤其是考试题更要注意只有不断地纠错，日积月累，才能不断地提高自己的解题能力4注意总结不仅包括题型、方法、规律的总结，还要掌握一些基本题进人高三后要服从老师的计划与安排，扎扎实实完成每一阶段的任务，不能急于求成首先，应做好系统的复习，经过适量、适当的训练达到掌握数学的基础知识、基本技能和基本方法的目的其次，通过有针对性的训练，提高知识与能力的综合性、应用性和创新性还有，要认真做好每次的提高性训练，以提升应试能力最后，保持良好的精神状态和平静的心理，坚信自己的实力，满怀信心迎接高考总之，高三是一个新的起点，我们要坚定信心，脚踏实地按照老师的要求并结合自己情况认真去做，采用科学的学习方法，持之以恒，一定能收获成功的喜悦!
