1、第二节导数与函数的单调性,总纲目录,教材研读,函数的导数与单调性的关系,考点突破,考点二利用导数求函数的单调区间,考点一利用导数判断（证明）函数的单调性,考点三已知函数的单调性求参数的范围,函数的导数与单调性的关系函数y=f(x)在某个区间内可导,(1)若f (x)0,则f(x)在这个区间内单调递增;(2)若f (x)0,得x2,故f(x)的单调递增区间是(2,+).,D,3.下列函数中,在(0,+)上为增函数的是()A.f(x)=sin 2xB.f(x)=xexC.f(x)=x3-xD.f(x)=-x+ln x,答案B对于A,易得f(x)=sin 2x的单调递增区间为(kZ);对于B, f
2、(x)=ex(x+1),当x(0,+)时, f (x)0,函数f(x)=xex在(0,+)上为增函数;,B,对于C, f (x)=3x2-1,令f (x)0,得x或x0,得0x0).令g(x)=x3+x2-x+1,则g(x)=3x2+2x-1=(3x-1)(x+1),令g(x)=(3x-1)(x+1)0,得x,令g(x)=(3x-1)(x+1)0,得0x0,所以g(x)在(0,+)上恒大于零,于是,当x(0,+)时, f (x)=ex0恒成立,所以当a=-1时,函数f(x)在(0,+)上为增函数.,方法技巧用导数法判断函数f(x)在(a,b)内的单调性的步骤求f (x).确定f (x)在(a,
3、b)内的符号.作出结论:f (x)0时为增函数;f (x)0,故g(x)为增函数.综上知,g(x)在(-,-4)和(-1,0)内为减函数,在(-4,-1)和(0,+)内为增函数.,解析(1)因为函数f(x)=xln x,所以f (x)=ln x+x=ln x+1,f (1)=ln 1+1=1.又因为f(1)=0,所以曲线y=f(x)在点(1, f(1)处的切线方程为y=x-1.(2)函数f(x)=xln x的定义域为(0,+),由(1)可知, f (x)=ln x+1.令f (x)=0,解得x=.f(x)与f (x)在区间(0,+)上的变化情况如下:,所以,f(x)的单调递增区间是;f(x)的
4、单调递减区间是.(3)当xe时,“f(x)ax-1”等价于“aln x+”.令g(x)=ln x+,x,则g(x)=-=,x.当x时,g(x)0,所以g(x)在区间(1,e)上单调递增.而g=-ln e+e=e-11.5,g(e)ln e+=1+0,解集在定义域内的部分为单调递增区间;(4)解不等式f (x)0,得x0,所以f(x)的单调增区间为(0,+).(2)f (x)=(x-a+1)ex.令f (x)=0,得x=a-1.所以当a-11,即a2时,在1,2上, f (x)0恒成立, f(x)单调递增;当a-12,即a3时,在1,2上, f (x)0恒成立, f(x)单调递减;当10, f(
5、x)单调递增.综上,无论a为何值,当x1,2时, f(x)的最大值都为f(1)或f(2).f(1)=(1-a)e, f(2)=(2-a)e2,f(1)-f(2)=(1-a)e-(2-a)e2=(e2-e)a-(2e2-e).所以当a=时, f(1)-f(2)0, f(x)max=f(1)=(1-a)e.当a=时, f(1)-f(2)0, f(x)max=f(2)=(2-a)e2.,解析(1)因为f(0)=1,所以曲线y=f(x)经过点(0,1),又f (x)=x2+2x+a,所以f (0)=a=-3,所以f (x)=x2+2x-3.令f (x)=0,解得x1=-3,x2=1.当x变化时, f
6、(x), f(x)的变化情况如下表:,所以函数f(x)的单调递增区间为(-,-3),(1,+),单调递减区间为(-3,1).(2)当函数f(x)在区间-2,a上单调递减时, f (x)0对x-2,a恒成立,即f (x)=x2+2x+a0对x-2,a恒成立,所以即解得-3a0.又-2a,所以-20时,若函数f(x)在区间(1,2)内单调递减,求k的取值范围.,解析(1)函数f(x)的定义域为x|x0.f (x)=k-+=.当k0时,令f (x)0,解得01,此时函数f(x)为单调递减函数.当k0时,当1时,令f (x)0,解得01,此时函数f(x)为单调递增函数;令f (x)1,即0k0,解得0,此时函数f(x)为单调递增函数;令f (x)1时,函数f(x)的单调递增区间为,(1,+),单调递减区间为.,(2)f (x)=,因为函数f(x)在(1,2)内单调递减,所以不等式0在(1,2)上恒成立.令g(x)=(kx-1)(x-1),则即解得0k.,
