1、正弦定理知识总结和应用同步练习一、知识必备：1直角三角形中各元素间的关系：在 ABC中， C90 ，AB c，AC b，BC a。（1）三边之间的关系： a2 b2 c2。（勾股定理）（2）锐角之间的关系： A B90；（3）边角之间的关系：（锐角三角函数定义）sinAcos B ，cosAsin B ，tanA 。cacba二、正弦定理（一）知识与工具：正弦定理：在ABC中， 。（外接圆圆半径）RCBbAa2sinisin在这个式子当中，已知两边和一角或已知两角和一边，可以求出其它所有的边和角。注明：正弦定理的作用是进行三角形中的边角互化，在变形中，注意三角形中其他条件的应用：(1)三内角和
2、为 180 (2)两边之和大于第三 边，两边之差小于第三边(3)面积公式： S= absinC= =2R2sinAsinBsinC 21Rabc4（其中 为三角形内切圆半径）sin()aShCrr, (海伦公式)(cbpcpbapS(4)三角函数的恒等变形。(5) sin(ABAB在 中 ， 即 大 边 对 大 角 ， 大 角 对 大 边 ）sin(A+B)=sinC，cos(A+B)=-cosC ，sin =cos ，cos =sin2C2BAC2sin,si,siaRbBcR（ 6） (边 化 角 公 式 ）i n2C（ 7） 角 化 边 公 式 ）:si:sicA（ 8） n(9),ab
3、bBc（10） sini(CaAB在 中 ， 即 大 边 对 大 角 ， 大 角 对 大 边 ）（二）题型 使用正弦定理解三角形共有三种题型题型1 利用正弦定理公式原型解三角形题型2 利用正弦定理公式的变形(边角互化)解三角形：关于边或角的齐次式可以直接边角互化。题型3 三角形解的个数的讨论已知a，b和A ，求B时的解的情况 : 如果sin AsinB，则B有唯一解；如果 sinA1，则B无解.方法一：画图看方法二：通过正弦定理解三角形，利用三角形内角和与三边的不等关系检验解出的结果是否符合实际意义，从而确定解的个数。【课堂同步练习】1.ABC中，a，b，c分别为角A，B，C 的对边，a= ，
4、 b= ，B=45，则角C的大小为32（ ）A15 B75 C15 或75 D60或1202.在 中， ，则60,43,2oabBA. B. C. D. 30o51153.已知 中， ， ， ，那么角 等于（ ） 260AA B C D1 9 4 304.在 中，已知 ， ，则 的值为( )BC4,absinA. B. C. D.62326335.在ABC 中，已知 A = 45， B = 15， a=1， 则这个三角形的最大边的长为 （ ） A. B. C. D.3466.在 中，若 ，则 （ ）BCbasin2A. B. C. 或 D. 或63657.在 中，角A、所对的边分别是 、 、
5、，若 ， ，则abcba21BAcos等于 A B 314151618. 中， ，则 形状是（ ）CcbA2cosBCA. 正三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形或直角三角形 D. 等腰直角三角形9.在 中， ，则此三角形为 ABBbcosA 直角三角形； B. 等腰直角三角形 C等腰三角形 D. 等腰或直角三角形10.已知 中， 分别是角 所对的边，且 60，若Ca、 A、 0,2axbA三角形有两解，则 的取值范围是（ ）xA、 B、 C、 D、3x02x33x11.设 ABC的内角A, B, C所对的边分别为a, b, c, 若 , cossinbBaA则ABC的形状为（ ）(A)
6、钝角三角形 (B) 锐角三角形 (C) 直角三角形 (D) 不确定12.在 ABC中， 分别是内角A , B , C所对的边，若 ， 则ABC（ ）,abc cosAb一定是锐角三角形 . 一定是钝角三角形 .A. 一定是直角三角形 . 可能是锐角三角形, 也可能是钝角三角形CD13.在 中，若 ，则 的形状是（ ）BbacosA等腰三角形 B.直角三角形C等腰直角形 D等腰三角形或直角三角形14.在 中， 30A， 3B， 1C，则 AB的面积等于A 23 B 4 C 2或 D 23或 415.在 中 ，则 的面积为（ ）Csin,85A. 3 B. 4 C. 6 D. 116.ABC中，a
7、，b，c分别是内角A，B，C的对边，且cos 2B3cos(AC)20， ，则 等于b=3csin C( )A31 B. 13C. 1 D21217. 的内角 ABC的对边分别是 abc，若 2BA， 1a， 3b，则c( )A.23 B.2 C. 2 D.118.如图，D，C，B在地平面同一直线上，DC10m，从D，C两地测得A点的仰角分别为30和45，则A点离地面的高AB等于（ ）A10m B5 m C5( 1)m D5( 1)m33319.设锐角 的三内角 、 、 所对边的边长分别为 、 、 ，ABabc且 ， , 则 的取值范围为 （ ）.1a2b )(3,)(3,1)(2,)(D2,
8、020.在 AB中， 所对的边长分别是 c.满足cCos2.则 BAsin的最大值是 k.s.5.u（ ）A B 1 C 2 D1221.在 中，角 ,的对边分别为 ,abc，若 5， 4B， tanA，则a等于 . 22.在 ABC中，已知a=8，B=60，A=45，则b等于 23.在ABC中， 分别是内角 所对的边，已知 ;ca,CBA, 60,a(1)求ABC周长的最大值；（2）求ABC面积的最大值；试卷答案1.C【考点】正弦定理【分析】由已知及正弦定理可得sinA= ，结合范围A （45，180），可求A ，利用三角形内角和定理可求C 的值【解答】解：a= ，b= ，B=45，由正弦定理可得：sinA= = = ，A（45，180），A=60，或120，C=180A B=15或75故选：C2.B3.C4.D5.A6.C略7.B8.B9.C10.D11.C12.C略13.D略14.D15.A略16.C17.B18.D19.A20.C略21.略22.【考点】正弦定理【分析】利用正弦定理即可得出【解答】解：由正弦定理： ，可得 = = 故答案为：4
