1、 太原理工大学 2011 级线性代数练习册（一）第 1 页 一. 判断题（正确打，错误打）1. 阶行列式 的展开式中含有 的项数为 .( )nija1a1n正确答案： )!(解答：方法 1 因为含有 的项的一般形式是 ，1 njja其中 是 级全排列的全体，所以共有 项.nj )!(方法 2 由行列式展开定理，nnnaa nAaA111而 中不再含有 ，而 共有 项，所以含有 的项数是Aa11 1)!(n1.)!(n注意：含有任何元素 的项数都是 .ija)!(2. 若 阶行列式 中每行元素之和均为零，则 等于零 .( )ij ija解答：将 中的 列都加到第一列，则行 列式中有nnnaa n
2、、32一列元素全为零，所以 等于零.ij3. .( )32414432110ababb解答：方法 1 按第一列展开太原理工大学 2011 级线性代数练习册（一）第 2 页 . abababababab)(方法 2 交换 2，4 列，再交换 2，4 行= . ababbba ab方法 3 Laplace 展开定理：设在 阶行列式 中任意取定了 个行，由这nD)(nk行元素所组成的一切 阶子式与它们的代数余子式的乘积之和等于行列式 .kk D所以按 2，3 行展开= .)(abba abab4. 若 阶行列式 满足 , ,则 .()nijijijAn、,0ij解答：由行列式展开定理nnnaa AA
3、111.n215. 若 阶行列式 的展开式中每一项都不为零 ,则 .( )nija0ija太原理工大学 2011 级线性代数练习册（一）第 3 页 解答：反例如 .二. 单项选择题1. 方程 的根为（B）.081423x（A） ； （B） ； （C） ； （D ） .,12,102,1解答：（范德蒙行列式）， )()()(xxx所以根为 .2,12. 已知 ,那么 （D）.aa3 a3（A） ； （ B） ； (C) ； （D） .22解答： 。aa3 a-33. 已知齐次线性方程组 仅有零解，则（A）.0zyx（A） 且 ；（B ） 或 ；（C） 且 ；（D） 或011太原理工大学 2011
4、 级线性代数练习册（一）第 4 页 解答：因为 仅有零解，03zyx所以 ，02-1-21-0、所以 且 .4.下列行列式中不一定等于 的是（B）.n（A） ； （B） ；nna nna （C） ； （D） .nna n n 解答： 注意= ；nna )(nn而 = = .n n nn)(n5. 阶行列式 展开式中项 的符号为(D). ijaD12,2,31, nnnaa太原理工大学 2011 级线性代数练习册（一）第 5 页 （A）- ； （B）+； （C） ； （D） .2)1(n2)1(n三. 填空题1. 已知方程组 有唯一解,且 ,那么 4 .czyxba1x1cba解答：系数行列式
5、，01D而 ,所以 ,x1所以 .Dcbacbaa2. 已知 阶行列式中第 行的元素依次为 ，第 行的余子式依次为,，则 .,a解答：行列式第 行的代数余子式依次为)(,)(a故 ，解得 .a3. 若 为 阶范德蒙行列式, 是代数余子式，则 .VnijAnjiiA1,V太原理工大学 2011 级线性代数练习册（一）第 6 页 解答： .VAAnjiinjii 01,21121, 4. 120 .56789012430解答：方法 1 .12056789012430543214a方法 2 .1204501432-52014356789012430 5. 设 ，则 的展开式中 的系数为 -1 .xD
6、123D3x解答： 的展开式中有一项是 .34321a或者按第一行展开：，123123112123 xxxxxD 太原理工大学 2011 级线性代数练习册（一）第 7 页 由此可以看出 的系数为-1.3x四.计算题1. 已知 ，计算 .452103D43421AA解答：方法 143421AA103.11022103方法 2，所以 .43241A0132 1443241 AA方法 3.172543421 2. 计算行列式 D太原理工大学 2011 级线性代数练习册（一）第 8 页 解答： Dc.)( )(3. 计算行列式 3832629041解答：1280-563283194283629041
7、.574601-25612- 4. 计算行列式 11xx解答：（行和相等）太原理工大学 2011 级线性代数练习册（一）第 9 页 1111 xxxx.0104xxxx 5. 计算行列式 cba101解答：方法一 1010110101 cbacbacbacba方法二 cba1001 bacba、太原理工大学 2011 级线性代数练习册（一）第 10 页 .50746021-856128- 6. 计算行列式 baabnn 321321解答：（行和相等） baabbaab nnninn 32321321321 )、.)0) 11 nini bbbb、 7. 计算行列式 .n 2322解答：当 时： ；当 时：各行分别减第二行得n12太原理工大学 2011 级线性代数练习册（一）第 11 页 )!.2(-01200-23221 nn 五证明题1.设 ，证明：存在 ，使得 .3421)(xxf (0,1) ()0f证明： 是多项式，在0,1上连续， （0,1）内可导，且 ，由罗尔定)(f )(f理即得结论.2.证明当 时，行列式 .1 0741716365524141证明：当 时1 0.3-10-843-1-3840717163655244
