1、专题强化十三 动力学、动量和能量观点在电学中的应用专题解读 1.本专题是力学三大观点在电学中的综合应用,高考对本专题将作为计算题压轴题的形式命题.2.学好本专题,可以帮助同学们应用力学三大观点分析带电粒子在电场和磁场中的碰撞问题、电磁感应中的动量和能量问题,提高分析和解决综合问题的能力.3.用到的知识、规律和方法有:电场的性质、磁场对电荷的作用、电磁感应的相关知识以及力学三大观点.命题点一 电磁感应中的动量和能量的应用1.应用动量定理可以由动量变化来求解变力的冲量.如在导体棒做非匀变速运动的问题中,应用动量定理可以解决牛顿运动定律不易解答的问题.2.在相互平行的水平轨道间的双棒做切割磁感线运动
2、时,由于这两根导体棒所受的安培力等大反向,合外力为零,若不受其他外力,两导体棒的总动量守恒,解决此类问题往往要应用动量守恒定律.类型 1 动量定理和功能关系的应用例 1 如图 1 所示,两根电阻不计的光滑金属导轨竖直放置,相距为 L,导轨上端接电阻R,宽度相同的水平条形区域和内有磁感应强度为 B、方向垂直导轨平面向里的匀强磁场,其宽度均为 d,和之间相距为 h 且无磁场.一长度为 L、质量为 m、电阻为 r 的导体棒,两端套在导轨上,并与两导轨始终保持良好的接触,导体棒从距区域上边界 H 处由静止释放,在穿过两段磁场区域的过程中,流过电阻 R 上的电流及其变化情况相同,重力加速度为 g.求:图
3、 1(1)导体棒进入区域的瞬间,通过电阻 R 的电流大小与方向 .(2)导体棒通过区域的过程,电阻 R 上产生的热量 Q.(3)求导体棒穿过区域所用的时间.答案 (1) ,方向向左 (2) mg(hd) (3) BLR r2gH RR r B2L2dmgR r 2H hg 2Hg解析 (1)设导体棒进入区域瞬间的速度大小为 v1,根据动能定理:mgH mv12 12由法拉第电磁感应定律:EBLv 1 由闭合电路的欧姆定律:I ER r由得:IBLR r2gH由右手定则知导体棒中电流方向向右, 则通过电阻 R 的电流方向向左.(2)由题意知,导体棒进入区域的速度大小也为 v1,由能量守恒,得:Q
4、 总 mg(hd)电阻 R 上产生的热量 Q mg(hd)RR r(3)设导体棒穿出区域瞬间的速度大小为 v2,从穿出区域到进入区域,v 12v 222gh,得:v 2 2gH h设导体棒进入区域所用的时间为 t,根据 动量定理:设向下为正方向:mgtB Ltmv 2m v1I此过程通过整个回路的电荷量为:q tIBLdR r得:t B2L2dmgr R 2H hg 2Hg变式 1 (2018 甘肃天水模拟)如图 2 所示,竖直放置的两光滑平行金属导轨,置于垂直于导轨平面向里的匀强磁场中,两根质量相同的导体棒 a 和 b,与导轨紧密接触且可自由滑动.先固定 a,释放 b,当 b 的速度达到 1
5、0 m/s 时,再释放 a,经过 1 s 后,a 的速度达到 12 m/s,g 取 10 m/s2,则:图 2(1)此时 b 的速度大小是多少?(2)若导轨足够长,a、b 棒最后的运动状态怎样?答案 (1)18 m/s (2)匀加速运动解析 (1)当 b 棒先向下运动时,在 a 和 b 以及导轨所组成的闭合回路中产生感应电流,于是a 棒受到向下的安培力,b 棒受到向上的安培力,且二者大小相等.释放 a 棒后,经过时间 t,分别以 a 和 b 为研究对象,根据 动量定理, 则有(mgF)tmv a(mgF)tmv bmv 0代入数据可解得 vb18 m/s(2)在 a、b 棒向下运动的过程中,a
6、 棒的加速度 a1g ,b 产生的加速度 a2g .当 a 棒Fm Fm的速度与 b 棒接近时,闭合回路中的 逐渐减小,感 应电 流也逐渐减小,则安培力也逐渐减小,最后,两棒以共同的速度向下做加速度为 g 的匀加速运动.类型 2 动量守恒定律和功能关系的应用1.问题特点对于双导体棒运动的问题,通常是两棒与 导轨构成一个闭 合回路,当其中一棒在外力作用下获得一定速度时必然在磁场中切割磁感线,在 该闭合电路中形成一定的感 应电流;另一根导体棒在磁场中通过时在安培力的作用下开始运动,一旦运动起来也将切割磁感线产生一定的感应电动势,对原来电流的变 化起阻碍作用.2.方法技巧解决此类问题时通常将两棒视为
7、一个整体,于是相互作用的安培力是系 统的内力, 这个变力将不影响整体的动量守恒.因此解题的突破口是巧妙选择系统,运用动量守恒(动量定理)和功能关系求解.例 2 (2017湖南 长沙四县三月模拟)足够长的平行金属轨道 M、N ,相距 L0.5 m,且水平放置;M、N 左端与半径 R0.4 m 的光滑竖直半圆轨道相连,与轨道始终垂直且接触良好的金属棒 b 和 c 可在轨道上无摩擦地滑动,两金属棒的质量 mbm c0.1 kg,接入电路的有效电阻 RbR c1 ,轨道的电阻不计.平行水平金属轨道 M、N 处于磁感应强度 B1 T的匀强磁场中,磁场方向与轨道平面垂直向上,光滑竖直半圆轨道在磁场外,如图
8、 3 所示,若使 b 棒以初速度 v010 m/s 开始向左运动,运动过程中 b、c 不相撞,g 取 10 m/s2,求:图 3(1)c 棒的最大速度;(2)c 棒达最大速度时,此棒产生的焦耳热;(3)若 c 棒达最大速度后沿半圆轨道上滑,金属棒 c 到达轨道最高点时对轨道的压力的大小.答案 (1)5 m/s (2)1.25 J (3)1.25 N解析 (1)在磁场力作用下, b 棒做减速运动, c 棒做加速运动,当两棒速度相等时, c 棒达最大速度.选两棒为研究对象,根据 动量守恒定律有mbv0(m bm c)v解得 c 棒的最大速度为:v v0 v05 m/smbmb mc 12(2)从
9、b 棒开始运动到两棒速度相等的过程中,系统减少的动能转化为电能,两棒中产生的总热量为:Q mbv02 (mbm c)v22.5 J12 12因为 RbR c,所以 c 棒达最大速度时此棒产生的焦耳热为 Qc 1.25 JQ2(3)设 c 棒沿半圆轨道滑到最高点时的速度为 v,从最低点上升到最高点的过程由机械能守恒可得:mcv2 mcv 2m cg2R12 12解得 v3 m/s在最高点,设轨道对 c 棒的弹力为 F,由牛 顿第二定律得mcg Fm cv 2R解得 F1.25 N由牛顿第三定律得,在最高点 c 棒对轨道的压力为 1.25 N,方向竖直向上.变式 2 如图 4 所示,平行倾斜光滑导
10、轨与足够长的平行水平光滑导轨平滑连接,导轨电阻不计.质量分别为 m 和 m 的金属棒 b 和 c 静止放在水平导轨上,b、c 两棒均与导轨垂直.12图中 de 虚线往右有范围足够大、方向竖直向上的匀强磁场.质量为 m 的绝缘棒 a 垂直于倾斜导轨静止释放,释放位置与水平导轨的高度差为 h.已知绝缘棒 a 滑到水平导轨上与金属棒 b发生弹性正碰,金属棒 b 进入磁场后始终未与金属棒 c 发生碰撞.重力加速度为 g.求:图 4(1)绝缘棒 a 与金属棒 b 发生弹性正碰后分离时两棒的速度大小;(2)金属棒 b 进入磁场后,其加速度为其最大加速度的一半时的速度大小;(3)两金属棒 b、c 上最终产生
11、的总焦耳热.答案 (1)0 (2) (3) mgh2gh562gh 13解析 (1)设 a 棒滑到水平导轨时,速度为 v0,下滑过程中 a 棒机械能守恒 mv02mgh12a 棒与 b 棒发生弹性碰撞由动量守恒定律:mv 0mv 1mv 2由机械能守恒定律: mv02 mv12 mv2212 12 12解出 v10,v 2v 0 2gh(2)b 棒刚进磁场时的加速度最大.b、c 两棒组成的系 统合外力为零,系 统动量守恒.由动量守恒定律:mv 2mv 2 v3m2设 b 棒进入磁场后任一时刻, b 棒的速度为 vb,c 棒的速度 为 vc,则 b、c 组成的回路中的感应电动势 EBL(v bv
12、 c),由闭合电路欧姆定律得 I ,由安培力公式得 FBILma,联立ER总得 a .B2L2vb vcmR总故当 b 棒加速度为最大值的一半时有 v22(v 2v 3)联立得 v2 v256 562gh(3)最终 b、c 以相同的速度匀速运动.由动量守恒定律:mv 2(m )vm2由能量守恒定律: mv22 (m )v2Q12 12 m2解出 Q mgh13命题点二 电场中动量和能量观点的应用动量守恒定律与其他知识综合应用类问题的求解,与一般的力学问题求解思路并无差异,只是问题的情景更复杂多样,分析清楚物理过程,正确识别物理模型是解决问题的关键.例 3 如图 5 所示,光滑绝缘水平面上方分布
13、着场强大小为 E、方向水平向右的匀强电场.质量为 3m、电荷量为q 的球 A 由静止开始运动,与相距为 L、质量为 m 的不带电小球 B发生对心碰撞,碰撞时间极短,碰撞后作为一个整体继续向右运动.两球均可视为质点,求:图 5(1)两球发生碰撞前 A 球的速度大小;(2)A、B 碰撞过程中系统损失的机械能;(3)A、B 碰撞过程中 B 球受到的冲量大小.答案 (1) (2) EqL2EqL3m 14(3)6EqLm4解析 (1)由动能定理:EqL 3mv212解得 v2EqL3m(2)A、B 碰撞时间极短,可认为 A、B 碰撞过程中系统动量守恒,设向右为正方向,由 动量守恒定律:3mv(3mm)
14、 v1解得 v1 v34系统损失的机械能:E 3mv2 (3mm )v12 EqL12 12 14(3)以 B 为研究对象,设向右为正方向,由动量定理:I m v10解得 I ,方向水平向右6EqLm4变式 3 如图 6 所示,LMN 是竖直平面内固定的光滑绝缘轨道,MN 水平且足够长,LM 下端与 MN 相切.质量为 m 的带正电小球 B 静止在水平面上,质量为 2m 的带正电小球 A 从LM 上距水平面高为 h 处由静止释放,在 A 球进入水平轨道之前,由于 A、B 两球相距较远,相互作用力可认为是零,A 球进入水平轨道后,A、B 两球间相互作用视为静电作用,带电小球均可视为质点.已知 A
15、、B 两球始终没有接触.重力加速度为 g.求:图 6(1)A 球刚进入水平轨道的速度大小;(2)A、B 两球相距最近时,A、B 两球系统的电势能 Ep;(3)A、B 两球最终的速度 vA、v B的大小.答案 (1) (2) mgh (3) 2gh23 132gh 432gh解析 (1)对 A 球下滑的过程,据机械能守恒得:2mgh 2mv0212解得:v 0 2gh(2)A 球进 入水平轨道后,两球组成的系统动量守恒,以 A 球刚进入水平轨道的速度方向为正方向,当两球相距最近时共速: 2mv0(2m m) v,解得:v v023 232gh据能量守恒定律:2mgh (2mm)v 2E p,12
16、解得:E p mgh23(3)当两球相距最近之后,在静电斥力作用下相互远离,两球距离足够远时,相互作用力为零,系统势能也为零,速度达到稳 定.以 A 球刚进入水平轨道的速度方向为正方向,2mv02mv Amv B,2mv02 2mvA2 mvB212 12 12得:v A v0 ,vB v0 .13 132gh 43 432gh命题点三 磁场中动量和能量观点的应用例 4 如图 7 所示,ab、ef 是平行的固定在水平绝缘桌面上的光滑金属导轨,导轨间距为 d.在导轨左端 ae 上连有一个阻值为 R 的电阻,一质量为 3m,长为 d,电阻为 r 的金属棒恰能置于导轨上并和导轨良好接触.起初金属棒静
17、止于 MN 位置,MN 距离 ae 边足够远,整个装置处于方向垂直桌面向下、磁感应强度为 B 的匀强磁场中,现有一质量为 m 的带电荷量为 q的绝缘小球在桌面上从 O 点 (O 为导轨上的一点) 以与 ef 成 60角斜向右方射向 ab,随后小球直接垂直地打在金属棒的中点上,并和棒粘合在一起(设小球与棒之间没有电荷转移). 棒运动过程中始终和导轨接触良好,不计导轨间电场的影响,导轨的电阻不计.求:图 7(1)小球射入磁场时的速度 v0 的大小;(2)电阻 R 上产生的热量 QR.答案 (1) (2)qBd3m q2B2d2R72mR r解析 (1)小球射入磁场后将做匀速圆周运动,设圆周运动的半
18、径为 r,其轨迹如图所示由几何知识可知: rrsin (9060) d2小球在磁场中做匀速圆周运动:qv 0Bm v20r由得:v 0 qBd3m(2)小球和金属棒的碰撞过程,以向左为正方向,由动量守恒定律得:mv0(m 3m)v 金属棒切割磁感线的过程中,棒和小球的 动能转化为电能 进而转化成焦耳热:(m3m )v2Q 12QR Q RR r由可得:Q Rq2B2d2R72mR r变式 4 如图 8 所示,水平虚线 X 下方区域分布着方向水平、垂直纸面向里、磁感应强度为 B 的匀强磁场,整个空间存在匀强电场(图中未画出). 质量为 m、电荷量为q 的小球 P 静止于虚线 X 上方 A 点,在
19、某一瞬间受到方向竖直向下、大小为 I 的冲量作用而做匀速直线运动.在 A 点右下方的磁场中有定点 O,长为 l 的绝缘轻绳一端固定于 O 点,另一端连接不带电的质量同为 m 的小球 Q,自然下垂,保持轻绳伸直,向右拉起 Q,直到绳与竖直方向有一小于 5的夹角,在 P 开始运动的同时自由释放 Q,Q 到达 O 点正下方 W 点时速率为v0.P、Q 两小球在 W 点发生相向正碰,碰到电场、磁场消失,两小球黏在一起运动 .P、Q 两小球均视为质点,P 小球的电荷量保持不变,绳不可伸长,不计空气阻力,重力加速度为 g.图 8(1)求匀强电场场强 E 的大小和 P 进入磁场时的速率 v;(2)若绳能承受
20、的最大拉力为 F,要使绳不断,F 至少为多大?答案 (1) (2) 2mgmgq Im I mv022ml解析 (1)设小球 P 所受电场力为 F1,则 F1qE在整个空间重力和电场力平衡,有 F1mg联立得 Emgq由动量定理得 Imv故 v .Im(2)设 P、Q 相向正碰后在 W 点的速度 为 vm,以与 v0 相反的方向为正方向,由 动量守恒定律得mvmv 0( mm) vm此刻轻绳的拉力为最大,由牛 顿第二定律得F(mm)g vm2m ml联立相关方程,得F 2mg.I mv022ml1.如图 1 所示,两根彼此平行放置的光滑金属导轨,其水平部分足够长且处于竖直向下的匀强磁场中,磁感
21、应强度为 B.现将质量为 m1 的导体棒 ab 放置于导轨的水平段,将质量为 m2的导体棒 cd 从导轨的圆弧部分距水平段高为 h 的位置由静止释放.已知导体棒 ab 和 cd 接入电路的有效电阻分别为 R1 和 R2,其他部分电阻不计,整个过程中两导体棒与导轨接触良好且未发生碰撞,重力加速度为 g.求:图 1(1)导体棒 ab、cd 最终速度的大小;(2)导体棒 ab 所产生的热量.答案 (1)都为 (2) ghm2m1 m22gh R1R1 R2 m1m2m1 m2解析 (1)设导体棒 cd 沿光滑圆弧轨道下滑至水平面时的速度为 v0,由机械能守恒定律m2gh m2v02,解得 v0 ,随
22、后, 导体棒 cd 切割磁感线产生感应电动势,在回路中产生感12 2gh应电流,导体棒 cd、ab 受到安培力的作用,其中 导体棒 cd 所受的安培力为阻力,而导体棒 ab所受的安培力为动力,但系统 所受的安培力为零;当导体棒 cd 与导体棒 ab 速度相等时,回路的感应电动势为零,回路中无感 应电流,此后 导体棒 cd 与 导体棒 ab 以相同的速度匀速运动,以 v0 的方向为正方向,由动量守恒定律可得: m2v0(m 1m 2)v,解得两棒最终速度为 vm2m1 m22gh(2)由能量守恒定律可得系统产生的热量为 QE m2v02 (m1m 2)v2 gh12 12 m1m2m1 m2由焦
23、耳定律可得,导体棒 ab、cd 所产生的热量之比是: Q1Q2 R1R2解得 Q1 ghR1R1 R2 m1m2m1 m22.(2018湖南怀化质检)如图 2 所示,在光滑绝缘水平面上有两个带电小球 A、B,质量分别为 3m 和 m,小球 A 带正电 q,小球 B 带负电2q,开始时两小球相距 s0,小球 A 有一个水平向右的初速度 v0,小球 B 的初速度为零,若取初始状态下两小球构成的系统的电势能为零,试证明:当两小球的速度相同时系统的电势能最大,并求出该最大值.图 2答案 见解析解析 由于两小球构成的系统合外力为零, 设某状态下两小球的速度分 别为 vA和 vB,以 v0的方向为正方向,
24、由动量守恒定律得 3mv03mv Am vB 所以,系统的动能减小量为 Ek 3mv02 3mvA2 mvB2 12 12 12由于系统运动过程中只有电场力做功,所以系 统的动能与 电势能之和守恒,考 虑到系统初状态下电势能为零,故该状态下的 电势能可表示为EpE k 3mv02 3mvA2 mvB2 12 12 12联立两式,得 Ep6mv A29m v0vA3m v02 由式得:当 vA v0 34时,系统的电势能取得最大值 ,而将 式代入式,得 vBv A v0 34即当两小球速度相同时系统的电势能最大,最大 值为 Epmax mv02 383.如图 3 所示, “”型绝缘滑板(平面部分
25、足够长) ,质量为 4m,距滑板的 A 壁为 L1 的 B 处放有一质量为 m、电荷量为 q 的大小不计的小物体,小物体与板面的摩擦不计,整个装置处于场强为 E、水平向右的匀强电场中,初始时刻,滑板与小物体都静止,试求:图 3(1)释放小物体,第一次与滑板 A 壁碰前小物体的速度 v1 为多大?(2)若小物体与 A 壁碰后相对水平面的速度大小为碰前的 ,碰撞时间极短,则碰撞后滑板速35度为多大?(均指对地速度)(3)若滑板足够长,小物体从开始运动到第二次碰撞前,电场力做功为多大?答案 (1) (2) (3) qEL12qEL1m 252qEL1m 135解析 (1)对物体,根据动能定理,有 q
26、EL1 mv12,得 v112 2qEL1m(2)物体与滑板碰撞前后动量守恒,设物体第一次与滑板碰后的速度为 v1,滑板的速度为 v,以水平向右为正方向,由动量守恒定律得mv1mv 14mv若 v1 v1,则 v v1,因为 v1v,不符合实际,35 110故应取 v1 v1,则 v v1 .35 25 25 2qEL1m(3)在物体第一次与 A 壁碰后到第二次与 A 壁碰前,物体做匀变速运动,滑板做匀速运动,在这段时间内,两者相对于水平面的位移相同 .所以 (v2v 1)tvt,即 v2 v1 .12 75 75 2qEL1m对整个过程运用动能定理得:电场力做功 W mv12( mv22 m
27、v1 2) qEL1.12 12 12 1354.(2017山东青岛一模)如图 4 所示,两平行光滑金属导轨由两部分组成,左面部分水平,右面部分为半径 r0.5 m 的竖直半圆,两导轨间距离 d0.3 m ,导轨水平部分处于竖直向上、磁感应强度大小 B1 T 的匀强磁场中,两导轨电阻不计.有两根长度均为 d 的金属棒ab、cd,均垂直导轨置于水平导轨上,金属棒 ab、cd 的质量分别为 m10.2 kg、m 20.1 kg,电阻分别为 R10.1 、 R2 0.2 .现 让 ab 棒 以 v0 10 m/s 的 初 速 度 开 始 水 平 向 右 运 动 ,cd 棒 进 入 圆 轨 道 后 ,
28、 恰 好 能 通 过 轨 道 最 高 点 PP , cd 棒 进 入 圆轨道前两棒未相碰,重力加速度 g10 m/s 2,求:图 4(1)ab 棒开始向右运动时 cd 棒的加速度 a0;(2)cd 棒刚进入半圆轨道时 ab 棒的速度大小 v1;(3)cd 棒进入半圆轨道前 ab 棒克服安培力做的功 W.答案 (1)30 m/s 2 (2)7.5 m/s (3)4.375 J解析 (1)ab 棒开始向右运动时, 设回路中电流为 I,有EBdv 0IER1 R2BIdm 2a0解得:a 030 m/s 2(2)设 cd 棒刚进入半圆轨道时的速度为 v2,系统动量定恒,有m1v0m 1v1m 2v2m2v22m 2g2r m2vP212 12m2gm 2v2Pr解得:v 17.5 m/s(3)由动能定理得 m1v12 m1v02W12 12解得:W4.375 J.