1、1利用极坐标解题知识点精析： 椭圆、双曲线、抛物线可以统一定义为：与一个定点(焦点)的距离和一条定直线(准线)的距离的比等于常数 e 的点的轨迹 以椭圆的左焦点(双曲线的右焦点、抛物线的焦点)为极点，过点 F 作相应准线的垂线，垂足为 K，以 FK 的反向延长线为极轴建立极坐标系 椭圆、双曲线、抛物线统一的极坐标方程为： .cos1ep其中 p 是定点 F 到定直线的距离，p0 当 0e1 时，方程表示椭圆； 当 e1 时，方程表示双曲线，若 0，方程只表示双曲线右支，若允许 0，方程就表示整个双曲线；当 e=1 时，方程表示开口向右的抛物线.引论（1）若 1+cosep则 0e1 当时，方程
2、表示极点在右焦点上的椭圆当 e=1 时时，方程表示开口向左的抛物线当 e1 方程表示极点在左焦点上的双曲线（2 ）若 -sinep当 0e1 时，方程表示极点在下焦点的椭圆当 e=1 时，方程表示开口向上的抛物线当 e1 时!方程表示极点在上焦点的双曲线（3） +sinep2当 0e1 时，方程表示极点在上焦点的椭圆当 e=1 时，方程表示开口向下的抛物线当 e1 时!方程表示极点在下焦点的双曲线例题选编 （1）二次曲线基本量之间的互求例 1.（复旦自招）确定方程 表示曲线的离心率、焦距、长短轴长。1053cos解法一： 231coss50eP，23255810103cacab25()8315
3、4e方 程 表 示 椭 圆 的 离 心 率 ， 焦 距 ， 25长 轴 长 ， 短 轴 长解法二：转化为直角坐标（2）圆锥曲线弦长问题若圆锥曲线的弦 MN 经过焦点 F，1、椭圆中， ， .cbap22 22cos)cos(1sabeppMN若椭圆方程为 ，半焦距为 ，焦点 ，设过 的直线 的倾斜角为 交椭圆于 A、B 两点，求弦长 。3解：连结 ，设 ，由椭圆定义得，由余弦定理得 ，整理可得 ，同理可求得 ，则弦长。同理可求得焦点在 y 轴上的过焦点弦长为 （a 为长半轴，b 为短半轴，c 为半焦距）结论：椭圆过焦点弦长公式：2、双曲线中， （注释：双曲线问题比较特殊，很多参考书上均有误解。
4、 ）若 M、N 在双曲线同一支上， ；22cos)cos(1sabeppMN若 M、N 在双曲线不同支上， 224设双曲线 ，其中两焦点坐标为 ，过的直线 的倾斜角为 ，交双曲线于 A、B 两点，求弦长|AB|。解：（1）当 时，（如图 2）直线 与双曲线的两个交点 A、B在同一交点上，连 ，设 ，由双曲线定义可得，由余弦定理可得整理可得 ，同理，则可求得弦长。（2）当 或 时，如图 3，直线 l 与双曲线交点 A、B在两支上，连 ，设 ，则 ，由余弦定理可得 ，5整理可得 ，则因此焦点在 x 轴的焦点弦长为同理可得焦点在 y 轴上的焦点弦长公式其中 a 为实半轴，b 为虚半轴，c 为半焦距，
5、 为 AB 的倾斜角。3、抛物线中， 2sin)cos(1spppMN若抛物线 与过焦点 的直线 相交于 A、B 两点，若 的倾斜角为 ，求弦长|AB|？（图 4）6解：过 A、B 两点分别向 x 轴作垂线 为垂足，设 ，则点 A 的横坐标为 ，点 B 横坐标为 ，由抛物线定义可得即则同理 的焦点弦长为的焦点弦长为 ，所以抛物线的焦点弦长为例 2 已知抛物线 y2=2px（p0） ，过其焦点且斜率为 k 的直线交抛物线于 A，B 两点，求 AB 长.7练习 1：过双曲线 的右焦点，引倾斜角为 的直线，交双曲线与 A、B 两点，2xy-1453求 AB 解：根据题意，建立以双曲线右焦点为极点的极
6、坐标系即得附录直角坐标系中的焦半径公式设 P（x,y）是圆锥曲线上的点，1、若 、 分别是椭圆的左、右焦点，则 ， ；F2 exaPF1 exa22、若 、 分别是双曲线的左、右焦点，当点 P 在双曲线右支上时， ， ；exPF1ex2当点 P 在双曲线左支上时， ， ；aaPF3、若 F 是抛物线的焦点， .2px利用弦长求面积例 3设过椭圆 的右焦点的弦 AB=8，求三角形 AOB 的面积。1625yx练习 2 （08 年海南卷）过椭圆 的焦点 作一条斜率为 2 的直线与椭圆交于2154xyFA，B 两点，O 为坐标原点，求 的面积AOB23cos12(,)(,)33AB1|AB5580|
7、7scos()点极径一个为正值一个为负值,长是 或 12 1212()12| |8简解：首先极坐标方程中的焦点弦长公式 求弦长，然后利用公式2|1cosepAB直接得出答案。B1|sin2AOSFO练习 3(2005 年全国高考理科 )已知点 为椭圆 的左焦点.过点 的直线 与椭2xyF1l圆交于 、 两点，过 且与 垂直的直线 交椭圆于 、 两点，求四边形PQ1l2lMN面积的最小值和最大值.MN解析：以点 为极点，建立极坐标系，则椭圆的极坐标方程为：F 21cos设直线 的倾斜角 ，则直线 的倾斜角为 ，由极坐标系中焦点弦长公式知：1l2l09，2|cosPQ202|11cos()sinM
8、N用他们来表示四边形的面积1|2SA21sinco4A21sin6即求 的最大值与最小值2sin6由三角知识易知：当 时，面积取得最小值 ；当 时，面积取得最119sin20大值 利用弦长公式解决常量问题例 4过椭圆 的左焦点 F，作倾斜角为 60 的直线 交椭圆于)0(12bayx lA、B 两点，若 ，求椭圆的离心率.FBA简解：建立极坐标系，然后利用等量关系，可很快求出离心率。设椭圆的极坐标方程为 则 ，cos1ep 0024cos1,6cos1epFBepFA9 ，解得 ；21epe3练习 4求过椭圆 的左焦点，且倾斜角为 的弦长 和左焦点到左准线cos4AB的距离。解：先将方程 化为
9、标准形式： 则离心率 ， ，231cos13e2p所以左焦点到左准线的距为 2。2p设 ，代入极坐标方程，则弦长125(,)(,)4AB45173coss4（3）定值问题例 5. 抛物线 的一条焦点弦被焦点分为 a,b 的两段，证明： 定值。2(0)ypx 1ab解：以焦点 F 为极点，以 FX 轴为极轴建立极坐标系，则抛物线的极坐标方程为，设1cos(,),)AaBb将 A,B 两点代入极坐标方程，得 ,1coscs()ppab则 = = （定值）1abcos1s()p2点睛：引申到椭圆和双曲线也是成立的。推论：若圆锥曲线的弦 MN 经过焦点 F，则有 epNFM21例 6经过椭圆的的焦点作
10、两条相互垂直的弦 AB 和弦 CD,求证 为定值。ABCD证明：以椭圆的左焦点建立极坐标系，此时椭圆的极坐标方程为 ，又设cos1ep则代入可得 12343A,B,+C,D+2210， 则 2|1cosepAB2|1sinepAB21-e=ABCDp注释。此公式对抛物线也成立，但对双曲线不成立。注意使用的范围。推广 1 若经过椭圆的中心做两条相互垂直的弦，倒数和也为定值。需要以原点为极点建立极坐标方程。推广 2 若不取倒数，可以求它们和的最值。例 7(2007 重庆理改编)中心在原点 的椭圆 ，点 是其左焦点，在椭圆上任O21367xyF取三个不同点 使 123P, 0121FPP 证明： 为
11、定值，并求此定值213F解析：以点 为极点建立极坐标系，则椭圆的极坐标方程为： ，设点 对92cos1P应的极角为 ，则点 与 对应的极角分别为 、 ， 、 与 的极2P3 010123径就分别是 、 与 1|F9cos2|FP092cos()3|F，因此092cos()2131，而在三角函数的学习中，我们知道00s()cos()999，因此00cos(12)(12)为定值 213FP点睛：极坐标分别表示 、 与 ，这样一个角度对应一个极径就不会象解1|2|FP3|11析几何那样，一个倾斜角，对应两个点，同时对应两条焦半径（极径） ，这就是极坐标表示圆锥曲线的优点推广： 若放在抛物线和双曲线中是否成立呢？例 8 （2006 全国联赛江苏）椭圆 的右焦点为 F，P 1，P 2，P 24 为 24 个1625yx依逆时针顺序排列在椭圆上的点，其中 P1 是椭圆的右顶点，并且P 1FP2=P 2FP3=P 3FP4=P 24FP1.若这 24 个点到右焦点的距离的倒数和为 S，求 S的值推广: 设 椭圆上的 n 个点，且 圆周角等分则123Pn 是 123NFP,也为定值n2i=1iO作业（2003 年希望杯竞赛题）经过椭圆 的焦点 作倾斜角为 60的直线21(0)xyab1F和椭圆相交于 A，B 两点， 1|FB（1）求椭圆的离心率 ；e（2）若 ，求椭圆方程15|412
