1、高三年级（数学）第 1 页（共 5 页）海淀区高三年级第一学期期末练习数 学 2020. 01本试卷共 4 页，150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。第一部分（选择题 共 40 分）一、选择题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）已知集合 ， ， ，则集合 是 1,235,6U1,35A2,34BUAB（A） ,56（B） ,（C） 1,（D） 1,5（2）抛物线 的焦点坐标为24yx（A） (0,1)（B） (10， )（C） (0,1)（D） (
2、1,0)（3）下列直线与圆 相切的是22()()xy（A） y（B） x（C） 2yx（D） 2yx（4）已知 ，且 ，则,abRab（A）1（5）在 的展开式中， 的系数为5()x3x（A） -（B） 5（C） 10-（D） 10（6）已知平面向量 满足 ，且 ，则 的值为,abc0c|abcab高三年级（数学）第 2 页（共 5 页）（A）12-（B）12（C）32-（D）32（7）已知 , , 是三个不同的平面，且 ， ，则“ ”是“ ”的=mnm （A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件（8）已知等边 边长为 3. 点 D 在 BC
3、边上，且 ， . 下列结论中错BCC7AD误的是（A）2DC（B）2ADCS（C）cos2BAD（D）sin2BAC（9）声音的等级 （单位：dB）与声音强度 （单位： ）满足()fxx2W/m. 喷气式飞机起飞时，声音的等级约为 140dB；一般说话时，声12()0lgfx音的等级约为 60dB，那么喷气式飞机起飞时声音强度约为一般说话时声音强度的（A） 倍610（B） 倍810（C） 倍10（D） 倍120（10）若点 为点 在平面 上的正投影，则记 . 如图，在棱长为 1 的正方体NMa()NfMa=中，记平面 为 ，平面 为 ，点 是棱 上一动1BCD-1ADbABgPC点（与 ， 不
4、重合） ， ， . 给出下列三个结论：()QfPg=2f线段 长度的取值范围是 ；2P,)存在点 使得 平面 ；1b存在点 使得 .2Q其中，所有正确结论的序号是（A） （B） （C） （D）P高三年级（数学）第 3 页（共 5 页）第二部分（非选择题 共 110 分）二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。（11）在等差数列 中， ， ，则 _. na25a7（12）若复数 ，则 =_. 1iz+=|z（13）已知点 A ，点 , 分别为双曲线 的左、右顶点. 若(0,3)BC213xya(0)aABC 为正三角形，则该双曲线的离心率为_.（14）已知函数 在区间 上存在最小值
5、，则实数 的取值范围是()afx(1,4)a_.（15）用“五点法” 作函数 的图象时，列表如下：()sin()fxAx则 _， _.(1)f1(0)2f（16）已知曲线 C： （ 为常数）.42xym（i）给出下列结论：曲线 C 为中心对称图形；曲线 C 为轴对称图形；x14125421403()fx2020高三年级（数学）第 4 页（共 5 页）当 时，若点 在曲线 上，则 或 .1m(,)PxyC|1x|y其中，所有正确结论的序号是 .（ii）当 时，若曲线 所围成的区域的面积小于 ，则 的值可以是 2 m.（写出一个即可）三、解答题共 6 小题，共 80 分。解答应写出文字说明、演算步
6、骤或证明过程。（17） （本小题共 13 分）已知函数 .21()cos3incos2fxx（）求函数 的单调递增区间；()f（）若 在区间 上的最大值为 ，求 的最小值.()fx0,m1m（18）（本小题共 13 分）如图，在三棱锥 中，平面 平面 ，VABCVABC和 均是等腰直角三角形， ， ，ABC2V， 分别为 , 的中点. MN（）求证： 平面 ；/CMN（）求证： ；ABV（）求直线 与平面 所成角的正弦值.（19）（本小题共 13 分）某市城市总体规划（20162035 年）提出到 2035 年实现“15 分钟社区生活圈”全覆盖的目标，从教育与文化、医疗与养老、交通与购物、休闲
7、与健身 4 个方面构建 “15 分钟社区生活圈”指标体系，并依据“15 分钟社区生活圈 ”指数高低将NMVCBA高三年级（数学）第 5 页（共 5 页）小区划分为：优质小区（指数为 0.61）、良好小区（指数为 0.40.6）、中等小区（指数为 0.20.4）以及待改进小区（指数为 0 0.2）4 个等级. 下面是三个小区 4个方面指标的调查数据：小区指标值权重A 小区 B 小区 C 小区教育与文化（0.20） 0.7 0.9 0.1医疗与养老（0.20） 0.7 0.6 0.3交通与购物（0.32） 0.5 0.7 0.2休闲与健身（0.28） 0.5 0.6 0.1注：每个小区“15 分钟
8、社区生活圈”指数 ，其中1234TwTw为该小区四个方面的权重， 为该小区四个方面的指标值（小1234,w1234,区每一个方面的指标值为 01 之间的一个数值）.现有 100 个小区的“15 分钟社区生活圈”指数数据，整理得到如下频数分布表：分组 0,0.2） 0.2,0.4） 0.4,0.6） 0.6,0.8） 0.8,1频数 10 20 30 30 10（）分别判断 A，B，C 三个小区是否是优质小区，并说明理由；（）对这 100 个小区按照优质小区、良好小区、中等小区和待改进小区进行分层抽样，抽取 10 个小区进行调查，若在抽取的 10 个小区中再随机地选取 2 个小区做深入调查，记这
9、 2 个小区中为优质小区的个数为 ，求 的分布列及数学期望.（20） （本小题共 14 分）高三年级（数学）第 6 页（共 5 页）已知椭圆 的右顶点 ，且离心率为 2:1xyCab(0)2,0A32（）求椭圆 的方程；（）设 为原点，过点 的直线 与椭圆 交于两点 ， ，直线 和 分别OlCPQAP与直线 交于点 , 求 与 面积之和的最小值.4xMNAMN（21） （本小题共 13 分）已知函数 .2()e1)(0xfa（）求曲线 在点 处的切线方程；()yf,()f（）若函数 有极小值，求证： 的极小值小于 .()fx()fx1（22） （本小题共 14 分）给定整数 ，数列 每项均为整
10、数，在 中去掉一(2)n2121,nnAx： 21nA项 , 并将剩下的数分成个数相同的两组，其中一组数的和与另外一组数的和之差的kx最大值记为 . 将 中的最小值称为数列 的特征km(1,2)n 121,nm 21n值.（）已知数列 ，写出 的值及 的特征值；5:1,23A123,5A（）若 ，当 ，其中1221nxx ()(1)0ijn高三年级（数学）第 7 页（共 5 页）且 时，判断 与 的大小关系，并说明理由；,12,ijn ij|ijm|ijx（）已知数列 的特征值为 ，求 的最小值.21nA1n21|ijijnx海淀区 2020 届高三年级第一学期期末练习参考答案数 学 2020
11、.01阅卷须知:1.评分参考中所注分数，表示考生正确做到此步应得的累加分数。2.其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分。一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10答案 D B A C A A B C B D二、填空题:本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分.题号 11 12 13 14 15 16答案 0 22 (1,6)；20 ； 均可2m三、解答题共 6 小题，共 80 分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。高三年级（数学）第 8 页（共 5 页）（17）解：（） 1cos231()in2xfxx3s
12、in2cosx. i()6因为 的单调递增区间为 ， sinyx2,()2kkZ令 ， 2,()62kkZ得 . ,()3xkk所以 的单调递增区间为 . ()fx,()36kkZ（）方法 1：因为 ， 0,m所以 . 2,6x又因为 ， 的最大值为 1，0,()fxsin2)6所以 . 26m解得 . 所以 的最小值为 . 6方法 2：由（）知：高三年级（数学）第 9 页（共 5 页）当且仅当 时， 取得最大值 1. =()6xkZ()fx因为 在区间 上的最大值为 ，()f0,m1所以 . 6所以 的最小值为 . （18）解：（）在 中，M ，N 分别为 VA，VB 的中点，VAB所以 为
13、中位线.所以 . /又因为 平面 ， 平面 ，ABCNCMN所以 平面 . /M（）在等腰直角三角形 中， ,VAV所以 . VCA因为平面 平面 ，平面 平面 ， 平面BCBCAV，所以 平面 . VCA又因为 平面 ，B所以 . （） 在平面 ABC 内过点 C 做 垂直于 AC，H由（）知， 平面 ，VAB因为 平面 ，H高三年级（数学）第 10 页（共 5 页）所以 . VCH如图,以 为原点建立空间直角坐标系 . Cxyz则 ， ， ， ， .(0,)(,02)(1,)B(,01)M(,)2N， ， . 1,VB,C,设平面 的法向量为 ，MN(,)xyzn则 0,.Cn即,10.2
14、xzy令 则 ， ,x1z所以 . (1,)n直线 与平面 所成角大小为 ，VBCMN. 2sin|co,|3|VBn所以直线 与平面 所成角的正弦值为 .VBCN（19）解：（）方法 1:A 小区的指数 ，0.72.0.5320.8.5T,所以 A 小区不是优质小区 ; .586B 小区的指数 ，0.92.60.7320.68.92高三年级（数学）第 11 页（共 5 页）,所以 B 小区是优质小区; 0.692.C 小区的指数 ，10.3.20.310.287T,所以 C 小区不是优质小区. 0.72.6方法 2:A 小区的指数 0.72.0.5320.8.5T,所以 A 小区不是优质小区
15、 ; .586B 小区的指数 0.92.60.7320.68.B 小区是优质小区; C 小区的指数 0.12.30.230.128T. .66.6C 小区不是优质小区. （在对 A、B、C 小区做说明时必须出现与 0.6 比较的说明.每一项中结论1 分，计算和说明理由 1 分）（）依题意，抽取 10 个小区中，共有优质小区 个，其它小3014区 个 . 1046依题意 的所有可能取值为 0，1，2. ； 2610C5()43P； 462108()5高三年级（数学）第 12 页（共 5 页）. 2410C6()5P则 的分布列为： 012P138515. 18240351E（20）解：（）解：依
16、题意，得 22(0),3.abc解得， ,1.ab所以椭圆 C 的方程为 . 214xy（）设点 ，依题意，点 坐标为 ，0(,)QP0(,)xy满足 （ 且 ）,2014xy02x0直线 的方程为 QA0()yx令 ，得 ，即 . 4x02yx02(4,)yNx高三年级（数学）第 13 页（共 5 页）直线 的方程为 ，同理可得 . PA0(2)yx02(4,)yMx设 为 与 轴的交点.B4x11|22APQMNPQMNSOAyABy000 |2x00012|2yx. 0024|yx又因为 ， ,204x0所以 . 0201|APQMNSyy0=|4|y当且仅当 取等号，所以 的最小值为
17、. 01yAPQMNS（21）解：（）由已知得 ， 2()e1)xfa因为 ， ， 01f=f所以直线 的方程为 . l1yx+（） （i）当 时， ，0a210ax4(1)0a记 是方程的两个根，不妨设 .12,x12则 120,.xa所以 .120此时 ， 随 的变化如下：()fxfx1,-112(,)x22(,)x+()fx+0 -0 极大值 极小值 所以 的极小值为 . ()fx2()fx又因为 在 单调递增， f2,0所以 . 2()1fxf=所以 的极小值为小于 .f22. 解：（）由题知：; 1(3)21m高三年级（数学）第 15 页（共 5 页）; 2(3)12m. 3的特征值
18、为 1. 5A（） . |=ijm|ijx理由如下：由于 ，可分下列两种情况讨论：(1)()0inj当 时， 1 ,2,ij根据定义可知： 21211()()innnimxxxx 21211 =nnni 同理可得： 21211()()jnnnjxxxx 所以 .ijijm所以 . |=|ijijx当 时，同 理可得： 2 ,1,2,1ijnn 121111()()inninmxxx 21111 =nnni 21111()()jnnnjxxxx 高三年级（数学）第 16 页（共 5 页）所以 .ijjimx所以 . |=|ijij综上有： .|ij|ijx（）不妨设 ，1221nx12|ijij
19、n12211()02nnnxxxnx ， 2 2()()n显然， ，2122nnnxxx21211()nnn .121221()nnnxxxm 当且仅当 时取等号；12n21211()nnnxxx 221231()nnnm 当且仅当 时取等号；1nx由（）可知 的较小值为 ，12,nm1n所以 .21211()nnnxxxn 当且仅当 时取等号，121n高三年级（数学）第 17 页（共 5 页）此时数列 为常数列，其特征值为 0，不符合题意，则必有21nA. 21211()nnnxxxn 下证：若 ， ，总有 .0pqk(2(1)kpqnpq证明： (2)(1)nnpq= 1kpk.()(nq0所以 . 21)(kpnp因此 12|ijijnx122()()()nnxx21211nnnx . ()当 时，0,1,21,kknx可取到最小值 ，符合题意.12|ijijn()所以 的最小值为 . 12|ijijnx 1n高三年级（数学）第 18 页（共 5 页）
