1、第 1 页（共 20 页） 第 2 页（共 20 页）绝密启用前 试卷类型：A2016 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学测试本试题卷共 4 页，24 题（含选考题） 。全卷满分 150 分。考试用时 120 分钟。祝考试顺利注意事项:1、 答 卷 前 ， 先 将 自 己 的 姓 名 、 准 考 证 号 填 写 在 试 题 卷 和 答 题 卡 上 ， 并 将 准 考 证 号 条 形 粘 贴 在 答 题 卡上 的 指 定 位 置 。 用 2B 铅 笔 将 答 题 卡 上 试 卷 类 型 A 后 的 方 框 涂 黑 。2、 选 择 题 的 作 答 ： 每 小 题 选 出 答 案 后 ， 用 2
2、B 铅 笔 把 答 题 卡 上 对 应 题 目 的 答 案 标 号 涂 黑 。 写 在 试 题 卷 、草 稿 纸 和 答 题 卡 上 的 非 答 题 区 域 均 无 效 。3、 非 选 择 题 的 作 答 ： 用 签 字 笔 直 接 答 在 答 题 卡 上 对 应 的 答 题 区 域 内 。 写 在 试 题 卷 、 草 稿 纸 和 答 题 卡上 的 非 答 题 区 域 均 无 效 。4、 选 考 题 的 作 答 ： 先 把 所 选 题 目 的 题 号 在 答 题 卡 上 指 定 的 位 置 用 2B 铅 笔 涂 黑 。 答 案 写 在 答 题 卡 上 对应 的 答 题 区 域 内 ， 写 在
3、试 题 卷 、 草 稿 纸 和 答 题 卡 上 的 非 答 题 区 域 均 无 效 。5、考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知 为纯虚数，若 ，则 等于（ ）yRx,iyx2)(yxA3 B5 C D 32. 已知 ，则 等于( )43sin()si,02cos()A B C D5453. 对于下列命题：若命题 使得 ，命题 :,pxRtanx2:,lg10qxRx则命题“ 且 ”是真命题；若命题 P: ，则 ：pq“1,l1“p;命题“若 ，则 ”的否命题是“若 ，则 ”；x
4、x)1ln(),1(00 6si62sin“ 成等差数列 ”是“ ”成立的充要条件；设 ,则 是 的lg,yz2yxz 2:(),:log02xqxpq必要不充分条件.其中真命题的个数是（ ）A.1 个 B.2 个 C.3 个 D. 4 个4. 从装有若干个大小相同的红球、白球和黄球的袋中随机摸出 1 个球，摸到红球、白球和黄球的概率分别为 1,236，从袋中随机摸出一个球，记下颜色后放回，连续摸 3 次，则记下的颜色中有红有白但没有黄的概率为( )A. 5B. 13C.56D. 125.已知双曲线2(0,)xyab的右焦点为 F，直线 xa与双曲线的渐近线在第一象限的交点为 A，且直线 F与
5、双曲线的一条渐近线关于 yb对称，则双曲线的离心率为 ( )A. 5B.3 C. 2 D. 2第 3 页（共 20 页） 第 4 页（共 20 页）6. 我国古代数学名著数书九章中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸若盆中积水深九寸，则平地降雨量是_寸 （注：平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；一尺等于十寸； ）hSV）（台 体 31A 1 B 2 C 3 D 47. 已知等腰梯形 ABCD 中，AB/DC， 点 P 在线段 AD 上运动，则,8CBA的取值范围是（ ）PA. B. C. D. 34,682， 1
6、2,634，8.函数 的部分图像如图所示，）（ )cos()(xf则下列结论成立的是（ ）A函数 是偶函数 B函数 是奇函数 )12(f )3(xfC 的递增区间是)x Zkk,12,5D 是 图像的一条对称轴方程127)(f9. 如图是秦九韶算法的一个程序框图，则输出的 S 为（ ）Aa 1+x0（a 3+x0（a 0+a2x0）的值Ba 3+x0（a 2+x0（a 1+a0x0）的值Ca 0+x0（a 1+x0（a 2+a3x0）的值Da 2+x0（a 0+x0（a 3+a1x0）的值10. 设 ,则在 的展开式中的 的系数为（ ）dnsi7n）（ 23xA210 B910 C210 D9
7、6011. 某几何体的三视图如图所示，图中网格小正方形的边长为 1，则该几何体外接球的表面积为（ ）A B C D 321232812.函数 存在零点，则实数 的取值范围是（ ）)0(ln)(axexfa aA. B. C. D. 1021ee21e二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分）13.已知函数 ，则xxefsin)(的值为 )5(4)3(2)1(0)1(23)5( ffffff 14. 已知圆 C 过点 ，且圆心在 轴的负半轴上，直线 被该圆所截得的弦长为 ，则0,1 1:xyl 2圆 C 的标准方程为_15.若点 在不等式组 所表示的平面区域内，则原点 到直
8、线 的距离),(baP102xy O01byax的取值范围是 第 5 页（共 20 页） 第 6 页（共 20 页）16. 已知数列 中,对任意的 ,若满足 （ 为常数）,则na*nN123nnaas称该数列为 阶等和数列,其中 为 阶公和；若满足 （ 为常数）,则称4s4t该数列为 阶等积数列 ,其中 为 阶公积,已知数列 为首项为 的 阶等和数列,且满足3t3p4；数列 为公积为 的 阶等积数列,且 ,设 为数列 的前 项4231pnq12qnSnpq和,则 _06S三、解答题：解答应写出文字说明证明过程或演算步骤17.（本小题满分 12 分）在 中,角 的对边分别为 ,已知点 在直线AB
9、C, cba),(ba上cyAxsini)sin(（1）求角 的大小；C（2）若 为锐角三角形且满足 ,求实数 的最小值BBAmtan1ttam18.（本小题满分 12 分）某医学院读书协会研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系，该协会分别到气象局与某医院抄录了 1 至 6 月份每月 10 号的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数，得到以下频数分布直方图.该协会确定的研究方案是：先从这六组数据中选取 2 组，用剩下的 4 组数据求线性回归方程，则用被选的 2 组数据进行检验。（）记选取的 2 组数据相隔的月份数为 X，若是相邻 2组的数据，则 ，求 X 的分布列及数学期望；0（）已知选取的是
10、 1 月与 6 月的两组数据。（1）请根据 2 至 5 月份的数据，求出就诊人数 关于昼y夜温差 的线性回归方程；x（2）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过 2 人，则认为得到的线性回归方程是理想的，试问该协会所得线性回归方程是否理想?第 7 页（共 20 页） 第 8 页（共 20 页）19 （本小题满分 12 分）如图，四边形 ABCD 中， BCD为正三角形， 2ABD， 3，AC与 BD 交于 O 点将 ACD沿边 AC 折起，使 D 点至 P 点，已知 PO 与平面 ABCD 所成的角为 ，且 P点在平面 ABCD 内的射影落在 内(含边界) （1）求证：
11、 平面 PBD；（2）若已知二面角 PB的余弦值为 721，求 的大小.20. （本小题满分 12 分）已知点 F是椭圆 )0(12ayx的右焦点，点 (,0)Mm、 (,)Nn分别是 x轴、 y轴上的动点，且满足 0NM若点 P满足 PON2（1）求点 P的轨迹 C的方程；（2）设过点 F任作一直线与点 P的轨迹交于 A、 B两点，直线 A、 B与直线 ax分别交于点 S、 T（ O为坐标原点） ，试判断 ST是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由21 （本小题满分 12 分）已知 f（x）ln（mx1）2（m0 ） （）讨论 f（x）的单调性；（）若 m0，g（x）f （x ）
12、 42 存在两个极值点 x1，x 2，且 g（x 1）g（x 2）0，求 m 的取值范围请考生在第（22） 、 （23） （24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用 2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上22、 （本小题满分 10 分） 选修 4-1 几何证明选讲如图，过圆 O 外一点 P 作一条割线与圆 O 交于 C、A 两点，直线 PQ 切圆 O 于点 Q，BD 为过 CA 中点 F 的圆 O 的直径。（1）已知 4,6CQ，求 DFB的值；（2）过 D 作圆 O 的切线交 BA 的延长线于点 E，若 10,5DB，求 AE的值.23、 （本小
13、题满分 10 分）选修 4-4 坐标系与参数方程已知曲线 1的参数方程为 23cos(inxy为参数） ，以坐标原点 O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 2C的极坐标方程为 cos2in30。（1）分别写出曲线 1C的普通方程与曲线 的直角坐标方程；（2）若曲线 与曲线 2交于 P、Q 两点，求 O的面积 .24、 （本小题满分 10 分）选修 4-5 不等式选讲已知函数 fx（1）若不等式 1()(0)2m的解集为 2,，求实数 m的值；（2）对任意 ,xyR，求证： 423yfxx.第 9 页（共 20 页） 第 10 页（共 20 页）数学( 理科)参考答案一CCBAD CD
14、DCB BA 二11 4)3(2yx1,25017.解：(1)由条件可知 ，(sin)siniaABbcC根据正弦定理得 ，3 分22bc又由余弦定理知 ，2oC5分.3,0（2） 1sincostan()()tainABmAB8分222sicosic()siCCab，10 分2(1)2()ba当且仅当 即 为正三角形时，AB实数 的最小值为 2.12 分m18.19.解：( ) 易知 O为 BD的中点，则 ACBD，又 PO，又 P， ,平面 ，所以 AC平面 5 分()方法一：以 为 x轴， 为 y轴，过 垂直于平面 向上的直线为 z轴建立如图所示空间直角坐标系，则 (0,1), (30,
15、)(3cos,in易知平面 PBD的法向量为 ,j7 分,)A， (cosin)DAByOPzxC第 11 页（共 20 页） 第 12 页（共 20 页）设平面 ABP的法向量为 (,)nxyz则由 n得， 30cossinABz=解得， 3cos1iny+zx，令 ，则 co1(,)i9 分则 2|3|, 7(cos1)4injj解得， 2(s3in+，即3sinco1=，即 ，又 ， 故 .12 分i60,方法二：作 OEPB，连接 AE，由()知 平面 D，又 PB平面 D， A，又 O， ,E平面 AO， 平面 ，又 平面 ， ， E即为二面角 的平面角 作 PF于 ，由 AC平面
16、及 PF平面 B知，C又 OD， ,平面 BD，所以 平面 ACD所以 即为直线 PO与平面 所成的角，即 OF在 RtAE中， 1,3cos3sinE22，由 cos= 27知， tan1iA，则 1in，又 ，所以 ，故 .12 分0,320.解 :（1） 椭圆 )(12ayx右焦点 F的坐标为 (,0)a，(,)NFa ,MNmn， 由 N，得 2mn 设点 P的坐标为 ,，由 PO，有 (,)(,),)xy，.2,ynxm代入 02，得 axy42 4 分 （2）(法一)设直线 AB的方程为 t，21(,)yA、2(,)yBa，则 xyalOA14:， xyalO24: 由 ax,，得
17、 1(,)S， 同理得24(,)Tay8 分ABCOPE第 13 页（共 20 页） 第 14 页（共 20 页）214(,)aFSy，24(,)aFTy，则4216aFSTy 由 xyt2，得 022t， 214a 则 4)(6424 aaTS 因此， F的值是定值，且定值为 0 12 分(法二)当 ABx时， (,)、 (,2)B，则 :2OAlyx， :2OBlyx由 2,ya 得点 S的坐标为 a，则 (,)FSa由 ,x 得点 T的坐标为 (,)，则 ,T(2)20FSaa 8 分当 AB不垂直 x轴时，设直线 AB的方程为 ()0ykxa， ),4(12yaA、 ),(2yB，同解
18、法一，得4216aSTy 由 2(),4ykx，得 20kk， 21y则 4)(6242 aaFTS 因此，的值是定值，且定值为 0 12 分 21.解：（I）由已知得 ， . 1 分1mx/1mfx10若 时，由 得 ,恒有 ，所以 在 上单调递增；x/0ffx,120若 时，由 得 ,恒有 ，所以 在 上单调递减.1mx1/fxfx,m综上：当 时， 在 上单调递增；0f,m当 时， 在 上单调递减. 4 分x1,（II） ，4ln120gx所以 . 5 分2/mx第 15 页（共 20 页） 第 16 页（共 20 页）令 ，42mxh当 时， ， ，所以 不存在极值点； 6 分来源:Z
19、xxk.Com10/gxgx当 时，令 ，得 ，0h121m或由 的定义域可知 ，所以 ，gxx且 21m且解得 . 7 分12m所以 为 的两个极值点，即 ，1x，g121xxm,且 ，得21240,11 21 24lnlngxmxx.22221246ln =ln1x m8 分令 ， ，来源:Z+xx+k.Com1t2lnFtt10 当 时， ，m0所以 . 所以 .2l2tt/210tF所以 在 上单调递减， .F,1t即当 时， 成立，符合条件. 10 分0021xg20当 时， ，所以 ，得 .m0t2lnFtt/210tF所以 在 上单调递减， .Ft, 1即当 时， ，不符合条件.1120gx综上所述， 的取值范围为 . 12 分,22.第 17 页（共 20 页） 第 18 页（共 20 页）23.24.第 19 页（共 20 页） 第 20 页（共 20 页）
